Содержание:

Наименьшее общее кратное (НОК) — это самое маленькое число, которое делится нацело на каждое из данных чисел. Например, для чисел 4 и 6 таким числом будет 12: оно делится и на 4, и на 6, а меньшего общего числа с этим свойством нет.

Как найти НОК: разложение на простые множители по шагам

Способ через разложение на простые множители

Это основной способ, которым находят НОК в школе. Разберём его по шагам на примере чисел 12 и 18.

По теме: Задачи на нахождение НОК и НОД для 6 класса и Итоговое сочинение: «Как найти свое место в мире и обществе?».

Сначала каждое число раскладывают на простые множители:

  • 12 = 2 × 2 × 3
  • 18 = 2 × 3 × 3

Теперь смотрят, какие простые множители встретились хотя бы в одном разложении, и берут каждый в наибольшей из встретившихся степеней. Двойка встречается в 12 два раза, в 18 один раз — берём два раза. Тройка встречается в 12 один раз, в 18 два раза — берём два раза.

Получаем: НОК(12, 18) = 2 × 2 × 3 × 3 = 36.

Проверка простая: 36 делится и на 12 (36 : 12 = 3), и на 18 (36 : 18 = 2). Меньшего числа с таким свойством нет.

Как оформить решение для нескольких чисел

Способ работает не только для двух чисел, а для любого их количества. Разложить нужно каждое число, а потом собрать множители со всех разложений — снова в наибольшей степени.

Пример для трёх чисел: 8, 12 и 20.

  • 8 = 2 × 2 × 2
  • 12 = 2 × 2 × 3
  • 20 = 2 × 2 × 5

Двойка максимально встречается три раза (в разложении 8), тройка — один раз, пятёрка — один раз. НОК = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120.

Удобно оформлять разложение столбиком: делить число на наименьший простой множитель, пока не получится 1. Это привычная запись, которую используют при разложении на множители в других задачах.

Когда можно найти НОК без разложения

Для небольших чисел иногда быстрее подобрать НОК перебором кратных. Выписывают числа, кратные большему из данных чисел (само число, потом его удвоенное значение, утроенное и так далее), и проверяют, какое из них делится на второе число.

Для чисел 4 и 6: кратные 6 — это 6, 12, 18... Первое из них, что делится на 4, — 12. Значит, НОК(4, 6) = 12.

Этот способ подходит только для двух небольших чисел. Если чисел три и больше или числа большие, перебор становится долгим и разложение на простые множители надёжнее.

Отдельный случай — когда одно число делится на другое без остатка. Тогда НОК равен большему из чисел. Например, НОК(5, 15) = 15, потому что 15 уже делится и на 5, и на себя.

Частые ошибки при поиске НОК

Первая ошибка — путают НОК с наибольшим общим делителем (НОД). Это разные понятия, и решают их по-разному.

Вторая ошибка — при сборе множителей складывают все степени вместе, а не берут наибольшую из встретившихся. Если тройка встретилась один раз в одном числе и два раза в другом, в ответ идёт тройка в степени два, а не пять.

Третья ошибка — забывают проверить ответ делением. Проверка занимает пару секунд, а ошибку в разложении находит сразу.

НОК и НОД: в чём разница

ПризнакНОКНОД
Полное названиенаименьшее общее кратноенаибольший общий делитель
Что находятсамое маленькое число, которое делится на каждое из данныхсамое большое число, на которое делятся все данные числа
Пример для 12 и 18366
Как связаны степени множителейберут наибольшую степень каждого множителяберут наименьшую степень общего множителя

Вопросы про наименьшее общее кратное

Как найти НОК двух чисел, если они взаимно простые

Если у двух чисел нет общих простых множителей — например, у 5 и 8 — их НОК равен просто произведению этих чисел. НОК(5, 8) = 40. Это частный случай общего правила: раз общих множителей нет, наибольшую степень каждого берут из своего числа, и все они перемножаются целиком.

Можно ли найти НОК без разложения на множители

Можно, если числа небольшие: перебирают кратные большего числа и проверяют делимость на остальные числа. Для чисел с большими значениями или для трёх и более чисел разложение на простые множители работает быстрее и с меньшим риском ошибки.

Что делать, если одно из чисел — простое

Если число простое и не входит в разложение других чисел, оно просто добавляется отдельным множителем в первой степени. Например, для чисел 6 и 7 (7 — простое, не связанное с 6) НОК = 6 × 7 = 42.

Главное, что путают: НОК ищут в наибольших степенях множителей, а НОД — в наименьших. Если запомнить эту разницу, ошибок в разложении станет заметно меньше.

Читайте также