Как найти наибольшее и наименьшее значение функции

Общая информация
Исследование функции — распространенная задача, которая показывает ее поведение и свойства. Одним из элементов считается нахождение максимума и минимума функции. Существуют специальные программы для нахождения этих значений (онлайн-калькулятор). Однако каждому следует понимать принцип нахождения, поскольку это может пригодиться в жизни.
Для решения такого типа задач необходим определенный «багаж» знаний, поскольку без него вообще не обойтись. В его состав входят следующие элементы:

- Нахождение области определения функции (ОДФ).
- Понятие дифференциала и основные методы его нахождения.
- Умение решать уравнения.
- Знание графиков простых функций.
- Основные типы функций, полуинтервал и интервал.
Все пять навыков приобрести несложно, кроме второго. В этом нужно подробно разобраться, поскольку очень важно уметь находить производные (дифференциалы) не только табличных элементарных функций, но и сложных. Важно знать основные свойства, которые применяются для нахождения производной.
Область определения
Область определения какой-либо функции вида y = f(x) — область значений аргумента, при которых она существует. У каждой функции существует два типа неизвестных: зависимые и независимые. К первым следует отнести переменную y, которая зависит от независимой переменной «х». Необходимо отметить, что бывают функции, в которых нет аргумента. Примером их считается функция вида y = const, где const — константа (любое число).
Область определения обозначается в теории литерой «D». Однако обозначение можно менять, когда исследуются несколько функций. Чтобы не путаться, специалисты рекомендуют следующую запись D(f(x)). Например, для y = x^2 - 27x и y = 12sinx ОДФ записывается таким образом: D(x^2 - 27x) и D(12sinx) соответственно.
Обозначение интервалов
Результатом решения задач на нахождение ОДЗ является определенный интервал. Важно правильно его обозначать, поскольку это существенно влияет на решение. Нужно руководствоваться следующими правилами:

- Жесткая граница обозначается квадратной скобкой «[» или «]». Она обозначает, что число входит включительно в этот интервал. Можно использовать не только одну скобку, но и две одновременно.
- Для обозначения числового значения, которое не входит в промежуток, пользуются круглыми скобками «(» и «)». Их можно применять одновременно.
- Типы границ можно комбинировать.
- Если нужно объединить интервалы, то следует использовать символ «U».
Очень важно правильно читать интервалы. Например, запись (1;4) читается следующим образом: переменная принимает значения, которые находятся в интервале от 1 не включительно до 4 не включительно. Это числа 2 и 3, поскольку 1 и 4 не входят в промежуток. Запись вида [5;10) читается таким образом: некоторое значение принадлежит интервалу от 5 включительно, до 10 не включительно.
Зависимость от типа
Функции различаются между собой. От этого и зависит нахождение их области определения. Они бывают простыми и сложными. Первые состоят из единичных элементов, а сложные включают в себя несколько типов. Их еще называют составными. Простые классифицируются на три вида:

- Алгебраические: рациональные и иррациональные.
- Тригонометрические: sin, cos, tg и ctg.
- Трансцендентные: степенные, показательные и логарифмические.
Рациональные бывают целыми и дробными. Они не включают в себя выражения, содержащие такие элементы: корень, степень, логарифм и тригонометрические функции. D(f) этих функций — все действительные числа (Z). Если она является дробной, то это означает, что в ее числителе и (или) знаменателе находится аргумент, значение которого не должно обращать ее в пустое множество.
Когда под корнем находится выражение, содержащее независимую переменную, то она называется иррациональной. В этом случае D(f) — множество Z, кроме тех, которые превращают выражение под корнем четной степени в отрицательное значение. Функция, представленная степенными выражениями, имеет D(f) = Z, но только тогда, когда значение аргумента не превращает функцию в пустое множество.
Метод нахождения
Для решения любой задачи нужно применять определенные правила. Они называются алгоритмом. Для каждого типа функций существует конкретный вариант решения. Для дробной он является следующим:

- Найти корни уравнения знаменателя, приравнивая его к 0.
- Определить интервал, значения из которого может принимать аргумент.
В случае, когда выражение является иррациональной функцией, корень которой является четным, следует решать не уравнение, а неравенство. Его значение не должно быть меньше 0. Для логарифмического типа выражение натурального логарифма (ln) должно быть всегда больше 0.
Для sin(x) и cos(x) областью определения является множество значений Z. Однако для tg(x) и ctg(x) следует помнить, что аргумент не должен принимать значение x = (Pi / 2) + Pi * k и x = Pi * k соответственно. Следует отметить, что коэффициент k принадлежит множеству чисел Z.
Для примера нужно разобрать задачу, в которой следует найти D(3x / [(x - 1) * (x + 1) * (10 - x)^(1/2)]). Решать ее необходимо по такому алгоритму:
- Знаменатель является сложным. Он состоит из двух выражений: (x - 1) * (x + 1) и (10 - x)^(1/2).
- Первое выражение (решить уравнение): (x - 1) * (x + 1) = 0. Оно имеет два корня: x1 = -1 и x2 = 1. Числовой промежуток: (-бесконечность;-1) U (1;+бесконечность).
- Второе (неравенство): (10 - x) < 0. Интервал: (-бесконечность;10].
- Результат (объединение всех интервалов): (-бесконечность;-1) U (1;10].
Данный пример показывает особенность решения задачи, которая заключается в объединении двух алгоритмов. Это довольно часто практикуется. Результат — объединение трех множеств, при объединении которых получается два интервала.
Сведения о производных
Производная — скоростное изменение какой-либо функции. Эта характеристика присуща не всем, поскольку некоторые из них являются постоянными. Если она имеет производную в некоторой точке, то является дифференцируемой. Дифференцирование применяется не только для исследования функций, но и во многих отраслях науки и техники.
Для нахождения дифференциалов необходима таблица производных. Кроме того, следует освоить все основные правила, поскольку не во всех случаях функция соответствует одному из табличных значений. Для этого нужно воспользоваться некоторыми свойствами. Математики-специалисты рекомендуют применять на начальных стадиях обучения алгоритм нахождения производной, который позволяет существенно сократить время выполнения задания, а также количество ошибок.
Таблица дифференциалов
В некоторых простых задачах возникает необходимость определить производную некоторой элементарной функции. Для этих целей применяется специальная таблица, в которой записаны основные простые выражения.

Данные значения были получены практическим методом — нахождением отношения приращения функции к приращению аргумента. Необходимо учитывать, что последний стремится к нулевому значению.
Однако иногда приходится упрощать выражение, а потом находить его производную. Для этого существует специальный простой алгоритм:
- Выполнить математические преобразования (упростить выражение).
- Найти производную по таблице.
Данный алгоритм справедлив только для простых выражений. Для сложных функций нужно руководствоваться некоторыми свойствами.
Основные свойства
Когда выражение не совпадает с табличным значением или состоит из нескольких элементов, то нужно применять специальные правила. Ими являются следствия из доказательств различных теорем. К ним можно отнести следующие:

- Если константа A (в некоторых источниках «С»), то при дифференцировании ее можно выносить за знак производной: (A * f(x))' = A(f(x))'.
- Дифференциал суммы или разности 2 и более функций эквивалентен дифференциалу каждой из них: (w(x) + z(x))' = w'(x) + z'(x) и (w(x) - z(x))' = w'(x) - z'(x).
- Производная произведения 2 функций соответствует сумме, которая является произведением каждой из них на дифференциал другой: (w(x) * z(x))' = (w'(x) * z(x) + w(x) * z'(x).
- Если нужно взять производную дробной функции вида w(x) / z(x), то результат действия является дробью, числитель которой равен разности произведений дифференциала числителя на знаменатель, и дифференциала знаменателя, умноженного на числитель. Знаменатель результирующей дроби соответствует знаменателю исходной функции, возведенного в квадрат: (w(x) / z(x))' = [(w'(x) * z(x) - w(x) * z'(x)] / (z(x))^2.
В некоторых случаях функция является сложной. Для нахождения ее дифференциала нужно разбить ее на составные функции. Затем взять отдельно производную каждого из элементов. Результат — произведение дифференциалов всех элементов. Например, нужно найти дифференциал z = (1/8 * sin (4x^4 - 3x^3 + 6). Алгоритм решения следующий:
- По правилу нужно вынести константу, равную 1/8.
- Состоит из 2 частей: sin и (4x^4 - 3x^3 + 6).
- Производная последней - дифференциал разности (2 свойство): [4x^4 - 3x^3 + 6]' = ((4 * x^3) / 4) - ((3 * x^2) / 3) + 0 = x^3 - x^2.
- Для второй: (sinx)' = cosx.
- Итоговый результат: z' = (1/8) * (x^3 - x^2) * sin (4x^4 - 3x^3 + 6).
Очень важно уметь разбивать выражение на части, поскольку от этого зависит результат решения. В некоторых случаях выражение можно упростить.
Наибольшее и наименьшее значения
Задачи на нахождения максимума и минимума применяются не только в математике, но и в бизнесе, науке, производстве и т. д. Например, вычисление наименьшего значения функции на отрезке (за последний промежуток времени) позволяет узнать минимизацию издержек производства. Кроме того, можно определить максимальную прибыль, найти оптимальную загрузку техники и т. д. Данные значения следует искать на каких-либо интервалах. Они классифицируются следующим образом:
- Отрезок: [a;b].
- Открытый тип: (a;b), (a;b] и [a;b).
- Промежуток бесконечности (в некоторой литературе обозначается «inf»): (-бесконечность;а], (-inf;а), [a;+inf), (a;+inf) и (-inf;+inf).
Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение производной по графику функции можно также найти, однако расчетный метод намного проще.
Универсальный алгоритм
Для данной операции, как и для других математических действий, существуют определенные правила или последовательность действий, которые называются алгоритмом. Специалисты для решения различных задач в любых сферах рекомендуют использовать их. Они позволяют не только существенно экономить время, минимизируя количество вычислений, но и с их помощью можно избежать некоторых ошибок. Суть алгоритма очень проста. Он состоит из определенной последовательности таких шагов:

- Найти D(f(x)).
- Проверить вхождение заданного интервала.
- Взять производную и выполнить поиск всех точек, в которых она не существует (их может и не быть).
- Приравнять к нулю результат, полученный в пункте 4, и найти корни уравнения. Это и будут стационарные точки, но они могут не существовать.
- Подставить в исходную функцию значения границ и стационарные точки.
- Выбрать из них MAX(f(x)) и MIN(f(x)).
Выполнение шестого шага зависит от вида интервала. В некоторых случаях можно просто подставить значение, а в других — найти предел. Если указана скобка «[» или «]», то x равен значению возле этой скобки. Когда указаны круглые скобки, нужно брать предел x = lim (f(x)), где x стремится к числовому значению или бесконечности, которые находятся возле скобки (x->a). Например, (a;+inf): х = lim [f(x)], где x->a и x->+inf.
Для нахождения минимального и максимального значения функции достаточно материала, изложенного выше. Специалисты рекомендуют разобраться с теорией, а затем переходить к практике.
Примеры решений
Дана квадратичная функция y = x^2 + 6x + 9. Необходимо найти наименьшее значение функции квадратного уравнения на отрезке [1;5]. Для этой цели нужно воспользоваться алгоритмом:
- D(y): все множество Z.
- Отрезок входит в D(y).
- Производная: y' = [x^2 + 6x + 9]' = 2x + 6 (существует во всех точках).
- Стационарные точки (y' = 0): 2x + 6 = 0. Отсюда, x = -3.
- Подставить в исходное выражение: y(-3) = (-3)^2 + 6 * (-3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0, y(1) = (1)^2 + 6 * (1) + 9 = 1 + 6 + 9 = 16 и y(5) = (5)^2 + 6 * (5) + 9 = 25 + 30 + 9 = 64.
- Максимум и минимум (с учетом стационарной точки и интервала): MIN(y) = 0 и MAX(y) = 64.
Одним из простейших типов задач является следующая: найдите наибольшее значение линейной функции z = 5x + 10 на отрезке [-3;3]. Для ее решения можно также воспользоваться алгоритмом:

- D(z) — все значения от бесконечно малого до бесконечно большого чисел.
- Промежуток, на котором нужно найти максимум и минимум, полностью входит в D(f).
- Дифференциал: z' = 5 (существует во всех точках, а стационарных точек нет вообще).
- Минимум и максимум: MIN(z(-3)) = 5 * (-3) + 10 = -5 и MAX(z(3)) = 5 * (3) + 10 = 25.
Последнюю задачу необязательно решать по алгоритму, поскольку она считается простейшей. Математики рекомендуют тренироваться в нахождении MIN и MAX функции, поскольку только практика позволяет быстро решать задачи.
Таким образом, для нахождения максимального и минимального значений заданной функции необходимо пользоваться специальным универсальным алгоритмом. Кроме того, нужно правильно находить дифференциалы, область определения, а также разбираться в интервалах.
Все тесты
- Биология
- Литература
- Окружающий мир
- География
- История
- Русский язык
- Экономика
- Фонетический разбор
- Орфография
- Сочинения
- Подготовка к ЕГЭ
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Психология
- Правоведение
- Тест на тему Значение двигательной активности для здоровья человека 4 вопроса
- Тест на тему Организм как единое целое 5 вопросов
- Тест на тему Основные способы движения животных 5 вопросов
- Тест на тему Искусственные экосистемы - что это и для чего нужны 5 вопросов
- Тест на тему История развития органического мира 5 вопросов
- Тест на тему Личная гигиена и здоровье человека 5 вопросов
- Тест на тему Виды и особенности двоякодышащих рыб 5 вопросов
- Тест на тему В чем разница между плазмолизом и деплазмолизом? 5 вопросов
- Тест на тему Виды и особенности насекомоядных животных 5 вопросов
- Тест на тему Типы и описание работы механорецепторов 5 вопросов
- Тест на тему Методы и значение селекции микроорганизмов 5 вопросов
- Тест на тему Строение и особенности кровеносной системы 5 вопросов
- Тест на тему Строение и функционирование кровеносной системы рыб 5 вопросов
- Тест на тему Признаки и связь генотипа и фенотипа 5 вопросов
- Тест на тему Описание процессов ассимиляции и диссимиляции 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев повести “Отрочество” Л.Н. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести “Нос” Н.В. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Изумруд” А.И. Куприна 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев баллады “Василий Шибанов” А. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев рассказа “Размазня” А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Русский характер” А.Н. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “В прекрасном и яростном мире” А. Платонова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев рассказа “Каштанка” А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в сказке “Премудрый пискарь” М. Е. Салтыкова-Щедрина 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Человек на часах” Н.С. Лескова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе «Толстый и тонкий» А. П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе «Злоумышленник» А. П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в балладе «Лесной царь» В. Жуковского 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести «Майская ночь, или Утопленница» Н.В. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в романе «Таинственный остров» Жюля Верна 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе «Налим» А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказа «Чудик» В. Шукшина 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в поэме «Железная дорога» Н. Некрасова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в сказке «Алиса в Стране чудес» Льюиса Кэрролла 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе «Критики» В. Шукшина 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в романе «Слепой музыкант» В. Короленко 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика Кутузова из романа «Война и мир» Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Образ Ромео в пьесе «Ромео и Джульетта» У. Шекспира 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе «Пересолил» А. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ повести «Очарованный странник» Н. Лескова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев рассказа “Как я ловил человечков” Б. Житкова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в сказке “Карлик Нос” Вильгельма Гауфа 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в сказке “Городок в табакерке” В. Одоевского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения “Воспоминания в царском Селе” А. Пушкина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения “А вы могли бы?” В. Маяковского 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в "Темных аллеях" И. Бунина 5 вопросов
- Тест на тему Персонажи романа "Дон Кихот" Мигеля де Сервантеса 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев повести В. Распутина "Прощание с Матёрой" 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев повести “Заколдованное место” Н.В. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Лошадиная фамилия” А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в сказе “Хозяйка Медной горы” П. Бажова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев повести “Черная курица, или Подземные жители” А. Погорельского 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в романе “Робинзон Крузо” Даниэля Дефо 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в поэме “Руслан и Людмила” А.С. Пушкина 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев рассказа “Хирургия” А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в романе “Дети капитана Гранта” Жюля Верна 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Васюткино озеро” В. Астафьева 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения по рассказу «Улыбка» Р. Брэдбери 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения по рассказу «Чудесный доктор» А. Куприна 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев рассказа “Чук и Гек” А.П. Гайдара 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в романе “Господа Головлевы” М. Е. Салтыкова-Щедрина 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в комедии “Ревизор” Н.В. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев поэмы “Песня про купца Калашникова” М.Ю. Лермонтова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в комедии “Недоросль” Д.И. Фонвизина 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Матренин двор” А.И. Солженицына 5 вопросов
- Тест на тему Пресный водоем как природное сообщество 5 вопросов
- Тест на тему Природное сообщество луга 5 вопросов
- Тест на тему Лесное природное сообщество 5 вопросов
- Тест на тему Лесные зоны в России 5 вопросов
- Тест на тему Сообщение про манула для школьников 5 вопросов
- Тест на тему Сообщение о волчьем лыке по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Сообщение про грача для учеников 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Описание выдры для детей 5 вопросов
- Тест на тему Рассказ про герань по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Описание и свойства шиповника — доклад для 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Сообщение о планете Юпитер для детей 5 вопросов
- Тест на тему Правила поведения на лугу для детей 5 вопросов
- Тест на тему Доклад о снежном барсе для учеников 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Доклад о работе скорой помощи для детей 5 вопросов
- Тест на тему Организм человека - доклад по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Части термометра - доклад для 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Что загрязняет воздух - доклад по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Правила поведения в общественном транспорте для детей 5 вопросов
- Тест на тему Сообщение про скворца для учеников 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Описание лебедя — сообщение для 4 класса 5 вопросов
- Тест на тему Рассказ про шмеля по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Описание и свойства фикуса - доклад для 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Описание и применение можжевельника — доклад для 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Доклад про гладиолус по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Сообщение для 3 класса о Нидерландах 5 вопросов
- Тест на тему Доклад на тему: «Население и культура Австрии» 5 вопросов
- Тест на тему Медуница - описание для детей 5 вопросов
- Тест на тему Кукушка: описание птицы для детей 5 вопросов
- Тест на тему Доклад о панде для учеников 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Лось: описание животного 5 вопросов
- Тест на тему Известные достопримечательности мира 5 вопросов
- Тест на тему Страны Центральной Европы и их столицы 5 вопросов
- Тест на тему Возрождение Руси после ордынского ига 5 вопросов
- Тест на тему Особенности экономики Челябинской области 5 вопросов
- Тест на тему Особенности экономики Кировской области 5 вопросов
- Тест на тему Путешествие по разным материкам Земли 5 вопросов
- Тест на тему Наши подземные богатства 5 вопросов
- Тест на тему Модель цепи питания, схемы и описание 5 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов о домашних животных 5 вопросов
- Тест на тему Откуда на Земле берется лед 5 вопросов
- Тест на тему Ледяной дождь – что это такое и где его можно увидеть 5 вопросов
- Тест на тему Интересные факты о городе Родос для детей 5 вопросов
- Тест на тему В каких цветах собаки видят наш мир? 5 вопросов
- Тест на тему Что растет у нас на подоконнике 5 вопросов
- Тест на тему Рассказ на тему: “Красота животных родного края” 5 вопросов
- Тест на тему Почему почва становится плодородной 7 вопросов
- Тест на тему Где бывает опасно находиться? 5 вопросов
- Тест на тему Какова связь между экономикой и экологией? 5 вопросов
- Тест на тему Доклад для 4 класса: «Краткая история Петра 1» 5 вопросов
- Тест на тему Виды зерновых культурных растений 5 вопросов
- Тест на тему Почва как особое природное образование 5 вопросов
- Тест на тему Атмосфера и человек - влияние и взаимодействие 5 вопросов
- Тест на тему Литосфера и человек - изучение оболочки Земли 5 вопросов
- Тест на тему Мировой транспорт, его роль в размещении и развитии мирового хозяйства 5 вопросов
- Тест на тему Хозяйство Дальнего Востока - характеристика и особенности 5 вопросов
- Тест на тему Географическое положение, население и особенности природы Дальнего Востока 5 вопросов
- Тест на тему Размещение населения по территории нашей страны 5 вопросов
- Тест на тему Районы Евразии - деление и характеристика 5 вопросов
- Тест на тему 10 распространенных растений в тропических лесах 5 вопросов
- Тест на тему Формы и особенности рельефа зоны лесов 5 вопросов
- Тест на тему Условные обозначения полезных ископаемых на карте 5 вопросов
- Тест на тему Какие животные обитают во влажных тропических лесах 5 вопросов
- Тест на тему Герои космоса - доклад по географии 5 вопросов
- Тест на тему Земная кора: что это, строение и состав 5 вопросов
- Тест на тему Виды и характеристика вулканов нашей планеты 5 вопросов
- Тест на тему Список крупнейших городов Восточной Сибири 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика растений Северной Америки 5 вопросов
- Тест на тему Основные течения Северного ледовитого океана 5 вопросов
- Тест на тему География гор Хибинов: расположение, рельеф, вершины 5 вопросов
- Тест на тему Рельеф и полезные ископаемые Балтийского щита 5 вопросов
- Тест на тему Смешанные леса на Дальнем Востоке: климат, растения, животные 5 вопросов
- Тест на тему Характеристики четырех полушарий Земли 5 вопросов
- Тест на тему Виды и характеристики сейсмических волн 5 вопросов
- Тест на тему Расположение, рельеф и климат Балканского полуострова 5 вопросов
- Тест на тему Географическое описание пустыни Сахара: расположение, климат, рельеф 5 вопросов
- Тест на тему Жизнь и открытия голландского мореплавателя Абеля Тасмана 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика Бразильского плоскогорья: рельеф, климат, гидрология 5 вопросов
- Тест на тему Доклад на тему: “История изобретения компаса” 5 вопросов
- Тест на тему Виды, особенности циркуляции атмосферы и ее влияние на климат 5 вопросов
- Тест на тему Экономическое развитие в 2000-е годы 5 вопросов
- Тест на тему Политическая жизнь России в начале XXI века 5 вопросов
- Тест на тему Геополитическое положение России, её внешняя политика в 90-е гг. 5 вопросов
- Тест на тему Национальная политика: Сопротивление имперским амбициям СССР 5 вопросов
- Тест на тему Демократизация политической системы в СССР 5 вопросов
- Тест на тему Экономическая политика Б.Н. Ельцина и его команды 5 вопросов
- Тест на тему Северо-Западная Русь Между Востоком и Западом 5 вопросов
- Тест на тему Римская империя в период правления императора Константина 5 вопросов
- Тест на тему История Черниговского княжества: основные события, экономика, культура 5 вопросов
- Тест на тему Краткая история Великого княжества Смоленского 5 вопросов
- Тест на тему Период бироновщины в истории России 5 вопросов
- Тест на тему Как Русь освободилась от ордынского ига 5 вопросов
- Тест на тему Как было организовано общество в Древней Руси 5 вопросов
- Тест на тему Как жило племя радимичей в Древней Руси 5 вопросов
- Тест на тему Биография Всеволода Большое гнездо и годы правления 5 вопросов
- Тест на тему История русско-польской войны: причины, ход, итоги 5 вопросов
- Тест на тему Годы правления князя Василия 3 Ивановича 5 вопросов
- Тест на тему Как жили крестьяне при Петре 1? 5 вопросов
- Тест на тему История вхождения Украины в состав России в 17 веке 5 вопросов
- Тест на тему Принятие Новоторгового устава в 1667 году: суть и значение 5 вопросов
- Тест на тему Как был подписан вечный мир России с Польшей в 1686 году 5 вопросов
- Тест на тему Суть и условия Андрусовского перемирия России и Речи Пополотой 5 вопросов
- Тест на тему Краткая история Киевской Руси в период 9-12 века 5 вопросов
- Тест на тему Основные занятия и быт древних славян 5 вопросов
- Тест на тему Суть и условия Белградского мира с Турцией 5 вопросов
- Тест на тему Как жили племена полян в Древней Руси 5 вопросов
- Тест на тему Суть и последствия акта о супрематии в Англии в 1534 году 5 вопросов
- Тест на тему Биография Ивана 2 Красного и основные события во время княжения 5 вопросов
- Тест на тему Детали Угличского дела (убийства царевича Дмитрия) 5 вопросов
- Тест на тему Участие батареи Раевского в Бородинском сражении 5 вопросов
- Тест на тему История битвы при Нейзби: предпосылки, ход, итоги 5 вопросов
- Тест на тему История Великого шелкового пути между Азией и Средиземноморьем 5 вопросов
- Тест на тему Период иконоборчества: сущность, предпосылки и хронология 5 вопросов
- Тест на тему Поход женщин на Версаль 5–6 октября 1789 5 вопросов
- Тест на тему Краткая история Карлукского каганата 5 вопросов
- Тест на тему История Великой Булгарии: от образования до распада 5 вопросов
- Тест на тему История зарождения демократии в Афинах 5 вопросов
- Тест на тему Главные события в истории Древнего мира 5 вопросов
- Тест на тему История образования славянских государств 5 вопросов
- Тест на тему Как было образовано Нововавилонское царство 5 вопросов
- Тест на тему История Людовика 18 - короля в изгнании 5 вопросов
- Тест на тему Правление и казнь короля Людовика 16 5 вопросов
- Тест на тему Как речь Уинстона Черчилля в Фултоне положила начало Холодной войны 5 вопросов
- Тест на тему Правление Гуго Капета - основателя династии французских королей 5 вопросов
- Тест на тему Предпосылки и последствия Вареннского кризиса во Франции в 1791 году 5 вопросов
- Тест на тему История становления и падения Делийского султаната 5 вопросов
- Тест на тему Образование государства Израиль: как это было 5 вопросов
- Тест на тему Предыстория и условия Деулинского перемирия 1618 года 5 вопросов
- Тест на тему Влияние ордынского владычества на русские земли 5 вопросов
- Тест на тему Александрия Египетская: история и занимательные факты 5 вопросов
- Тест на тему Что такое синтаксическая синонимия и для чего она нужна 5 вопросов
- Тест на тему Пунктуационные нормы современного русского языка 5 вопросов
- Тест на тему Жанры публицистического стиля речи и их особенности 5 вопросов
- Тест на тему Значение, виды, примеры фразеологизмов в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Список и оттенки значений модальных частиц в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Изменяемые и неизменяемые формы глаголов в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Виды фонетических средств выразительности в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Способы словообразования имен прилагательных 5 вопросов
- Тест на тему Определение и склонение сложных числительных 5 вопросов
- Тест на тему Как можно определить падеж имени прилагательного? 5 вопросов
- Тест на тему Каких видов бывает речевая деятельность человека 5 вопросов
- Тест на тему «Удобнее» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Надолго» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Локтя» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Откупорить» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Стоящий» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Ненадолго» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Деланный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Бальмонт» – как правильно ставить ударение 5 вопросов
- Тест на тему «Ударный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Плода» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Инсульт» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Снята» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Положена» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Положить» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Прибыли» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Облегченный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Документ» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Развитый» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Понятые» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Развитой» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Приму» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Развили» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Вороты» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Средства» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «ПослЕ» или «послИ» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПравилО» или «правилА» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «МалЕнький» или «малИнький» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВЕди» или «вИди» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Несчастье» или «не счастье» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ИзгибаТЬся» или «изгибаТся» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВЕлико» или «вИлико» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КАртина» или «кОртина» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КомнАта» или «комнОта» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ОбидЕться» или «обидИться» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «МОрозов» или «мАрозов» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Овраг» или «Авраг» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ГлаСный» или «глаСТный» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ОпредЕлить» или «опредИлить» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «СерДЦе» или «серЦе» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КОльцо» или «кАльцо» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «АВтобус» или «аФтобус» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КроССворд» или «кроСворд» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «АВтомобиль» или «аФтомобиль» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПечЁнка» или «печОнка» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Дед Мороз» или «дед Мороз» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «НачИнающих» или «начЕнающих» - как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПрАшло» или «прОшло» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПИсать» или «пЕсать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЦелЕй» или «целИй» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «СледУЮщую» или «следУщую» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПОшло» или «пАшло» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Осеннюю» или «осенюю» – как правильно пишется 5 вопросов
- Тест на тему «РаССтраивайся» или «раСтраивайся» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «УчаСТвующих» или «учаВствующих» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Вырастать» или «выростать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Затем» или «за тем» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Всерьез» или «в серьез» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Те же» или «теже» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «РаСтаять» или «раССтаять» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПозвОню» или «позвАню» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЗадаННых» или «задаНых» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Не рАскрыта» или «не рОскрыта» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПЕтляющий» или «пИтляющий» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПрЕдать» или «прИдать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «УвАжать» или «увОжать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему СГС, ПГС, СИС: виды сказуемых и как их отличать 5 вопросов
- Тест на тему Правописание суффиксов -н- и -нн- в кратких причастиях 5 вопросов
- Тест на тему Правописание суффиксов -ива, -ева в глаголах 5 вопросов
- Тест на тему Правописание суффиксов -ем, -им в причастиях 5 вопросов
- Тест на тему «УвидИшь» или «увидЕшь» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «По жизни» или «по-жизни» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Правописание Е и И в окончаниях имен существительных 5 вопросов
- Тест на тему «В виде» или «ввиде» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «По-русски» или «порусски» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Великая Отечественная война в моей семье» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Борьба с фашизмом была, может быть, первой в истории человечества всемирной заботой» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Репортаж с новостройки» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Романтика в нашей жизни» 5 вопросов
- Тест на тему Образ Луки в пьесе «На дне» М. Горького 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Смысл названия пьесы “Гроза”» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Жизненные принципы Чацкого и Молчалина» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Мое отношение к Петру Гриневу» 5 вопросов
- Тест на тему Смысл эпиграфа к поэме «Мцыри» М. Лермонтова 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Блокада Ленинграда» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Интерьер моего класса» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Описание смиренной, но опрятной обители» 5 вопросов
- Тест на тему Как соседи относились к Дубровскому в одноименном романе Пушкина? 5 вопросов
- Тест на тему Отношение Кирсанова и Базарова к аристократии 5 вопросов
- Тест на тему Философия и жизненные принципы Сатина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ романа “Преступление и наказание” Ф. Достоевского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ комедии “Ревизор” Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему «Почему мне понравился роман “Дубровский”» 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Детство Темы” Н. Гарина-Михайловского 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в сказке “Снежная королева” Х. К. Андерсена 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести “Муму” И. Тургенева 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Один день из жизни Ильи Обломова» И. Гончарова 5 вопросов
- Тест на тему Болезнь и смерть отца Владимира Дубровского - краткий пересказ 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: “Почему Чацкий уехал из Москвы на 3 года?” 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести “Дети подземелья” В. Короленко 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: “Смысл названия комедии Недоросль Д. Фонвизина” 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: “Герои повести Ася И. Тургенева” 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: “Главные герои повести Алые паруса А. Грина” 5 вопросов
- Тест на тему Как возник фразеологизм "Прокрустово ложе" и что он означает? 5 вопросов
- Тест на тему Как возник фразеологизм "Тришкин кафтан" и что он означает? 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: “Жизненные принципы человека” 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение-описание внешности и характера одноклассника 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: “Моя родословная” 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: “Воскресная прогулка” 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение-рассуждение на тему: «Если бы я был директором школы» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение-рассуждение на тему: «Почему нужно беречь литературный русский язык» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: “Что такое окружающая среда?” 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Как красива осенняя березка» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: “Если бы я был учителем” 5 вопросов
- Тест на тему Биография писателя Василия Белова 5 вопросов
- Тест на тему Биография австрийского композитора Йозефа Гайдна 5 вопросов
- Тест на тему Нерон: тиран и убийца или настоящий император? 5 вопросов
- Тест на тему Биография советского поэта Р. Гамзатова 5 вопросов
- Тест на тему Биография советского писателя и поэта В. Шаламова 5 вопросов
- Тест на тему Биография российского государственного деятеля П. Столыпина 5 вопросов
- Тест на тему Биография русского поэта В. Хлебникова 5 вопросов
- Тест на тему Биография инженера-изобретателя М. Калашникова 5 вопросов
- Тест на тему Биография поэта и писателя Вальтера Скотта 5 вопросов
- Тест на тему Биография башкирского поэта и писателя Мустая Карима 5 вопросов
- Тест на тему Биография русского писателя А. Аверченко 5 вопросов
- Тест на тему Биография советского педагога А. Макаренко 5 вопросов
- Тест на тему Биография итальянского поэта Данте Алигьери 10 вопросов
- Тест на тему Биография философа и богослова Августина Блаженного 10 вопросов
- Тест на тему Биография императора Александра Второго 5 вопросов
- Тест на тему Биография Афанасия Никитина 5 вопросов
- Тест на тему Биография писателя и педагога А. Лиханова 5 вопросов
- Тест на тему Биография ирландского драматурга Бернарда Шоу 5 вопросов
- Тест на тему Биография В. Берестова - писателя, поэта и переводчика 5 вопросов
- Тест на тему Биография королевы детективов Агаты Кристи 5 вопросов
- Тест на тему Биография А. Бестужева-Марлинского - писателя и близкого друга Пушкина 5 вопросов
- Тест на тему Биография поэта и писателя Ф. Сологуба 5 вопросов
- Тест на тему Биография А. Вознесенского - поэта и наставника царской семьи 5 вопросов
- Тест на тему Биография поэтессы Беллы Ахмадулиной 5 вопросов
- Тест на тему «Подскажите пожалуйста» – выделяется запятыми или нет 5 вопросов
- Тест на тему «Интересно» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «При необходимости» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «По возможности» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «На мой взгляд» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему “Собственно”: выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «В отличие от»: запятая нужна или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «Естественно»: выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «Вследствие» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «На данный момент» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «Вроде» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «По причине» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «Как всегда» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему Свойства и развитие высших психических функций человека 5 вопросов
- Тест на тему Классификация поведенческих реакций человека 5 вопросов
- Тест на тему Чем интроверты отличаются от экстравертов? 5 вопросов
- Тест на тему Обзор методов профилактики стресса 5 вопросов
- Тест на тему Симптомы и методы борьбы с апатией 5 вопросов
- Тест на тему Что такое ненасильственное, или экологичное общение: методика Розенберга 5 вопросов