Среднее арифметическое - методы и примеры расчетов

Общие сведения

Понятие среднеарифметической величины впервые предложил древнегреческий ученый — Пифагор. Позднее этот термин стал использоваться в математике. Чтобы понять его смысл, необходимо получить базовые знания о числовых значениях. Они делятся на 2 вида:

1. Целые.
2. Дробные.

Первый тип — натуральные числа, они применяются при устном счете предметов.

Дробные бывают также двух типов:

1. Десятичными.
2. Обыкновенными.

Десятичные дроби делятся на конечные, периодические и непериодические бесконечные. Первый тип состоит из целой и дробной частей, разделенных между собой запятыми. Как правило, количество разрядов ограничено определенным значением. Если рассматривать бесконечные периодические десятичные дробные выражения, они состоят из множества элементов. Последние повторяются с определенной периодичностью. Например, 5,(321), где величина периода указывается в круглых скобках.

В случае когда дробное тождество является бесконечным непериодическим, очень часто представление осуществляется в форме обыкновенной дроби. Последняя состоит из делимого и делителя, отделенных друг от друга косой чертой «/". Первый элемент именуется числителем, а второй — знаменателем.

Обыкновенные дробные выражения бывают правильными, неправильными, а также могут записываться в форме смешанного числа, т. е. величины, состоящей из целого компонента и обыкновенной правильной дроби.

Перед подсчетом значения среднего арифметического в 5 классе специалисты рекомендуют ознакомиться с алгоритмом работы со смешанными величинами.

Смешанные числа

Смешанные числа являются промежуточными величинами между обыкновенными дробями и целыми. Не каждое дробное тождество можно представить в таком виде. Для этого подойдет только неправильное выражение. Алгоритм преобразования:

1. Записать неправильную дробь: 79/11.
2. Рассчитать целое число: 79/11=7.
3. Вычислить новое значение числителя: 79−11*7=2.
4. Записать смешанную величину: 7 2/11.

Методика обратной конвертации смешанного числа в неправильное дробное выражение является еще одной операцией, о которой нужно знать. Ее реализация:

1. Записать смешанное выражение: 7[2/11].
2. Вычислить величину нового числителя: 7*11+2=79.
3. Результат: 79/11.

Специалисты рекомендуют начинающему математику потренироваться, придумывая различные задания на конвертацию числовых выражений.

Далее необходимо перейти непосредственно к определению, позволяющему расшифровать, что значит среднее арифметическое чисел, а также к самой методике расчета искомой величины.

Алгоритм нахождения среднего значения

Среднее арифметическое — математическая характеристика, позволяющая найти оптимальное значение.

Например, на уроках выставляется оценка за месяц. Для ее вычисления необходимо найти среднее значение всех отметок, полученных учеником.

Кроме того, среднее арифметическое используется при вычислении какой-либо характеристики опытным путем.

Например, при расчете заряда электрона производится определенное количество измерений, а затем рассчитывается средняя величина заряда частицы.

Методика определения среднеарифметического значения:

1. Записать все значения.
2. Сложить все элементы, записанные в первом пункте.
3. Поделить сумму, полученную на втором шаге, на количество элементов.
4. Записать результат.

Для реализации алгоритма на практике необходимо записать несколько чисел — 4, 7, 8, 12, 15. Решение выглядит следующим образом:

1. Количество элементов: 5.
2. Сумма: 4+7+8+12+15=46.
3. Среднее арифметическое: 46/5=9,2.
4. Результат: 9,2.

В некоторых случаях результат необходимо округлять. Однако этого можно не делать при подсчете какой-либо физической величины.

При проведении опытов необходимо брать больше значений, поскольку это существенно влияет на точность получения данных.

Пример решения

Для закрепления теории необходимо разобрать пример и решить его. Например, нужно найти среднее арифметическое четырех смешанных чисел, а именно: 3 2/3, 4 5/7 и 6 3/8.

Решение выполняется по следующему алгоритму:

1. Записать величины: 3 2/3, 4 5/7 и 6 3/8.
2. Количество: 3.
3. Конвертировать их в неправильные дроби: 11/3, 33/7 и 51/8.
4. Привести к единому знаменателю: (11*56)/168=616, 33*24/168=792 и 51*21/168=1071/168.
5. Вычислить сумму: 2479/168.
6. Определить среднее арифметическое: (2479/168):3=(2479/168)*1/3=2479/504.
7. Преобразовать в смешанное дробное выражение: 2479/504=4 463/504.
8. Значение искомой величины равно 4 463/504.

При получении результата в виде неправильной дроби, его нужно преобразовать в смешанную величину. Это считается «правилом хорошего тона» в математике, поскольку любой ответ должен переводиться в читабельную сокращенную форму.

Кроме того, можно проверить результат выполнения операции, воспользовавшись онлайн-сервисами. Однако пользоваться ими часто не рекомендуется, поскольку нужно уметь искать ошибки самостоятельно.

Таким образом, для вычисления среднеарифметического значения необходимо знать специальную методику, предложенную специалистами в области математики.