Таблица значений котангенсов всех углов

Общие сведения

Однако нельзя сразу воспользоваться таблицей значений котангенсов (ctg). Для этого следует обладать некоторыми дополнительными навыками: знать классификацию углов, основные соотношения, иметь представление о тригонометрических функциях и окружности. Формулы (соотношения) позволяют сократить выражение, уменьшая объем и время вычислений. Например, для вычисления котангенса двойного угла следует знать некоторое соотношение, позволяющее быстро найти значение исходной функции.

В некоторых случаях для получения минимума и максимума (экстремумов) функции нужно знать значение производной котангенса. Кроме того, следует также ознакомиться с универсальным инструментом, который называется тригонометрической окружностью. С ее помощью можно вычислить большую часть значений функции для заданных углов, не используя таблицу Брадиса или онлайн-калькулятор.

Классификация углов

Углом называет геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, которые не лежат на одной прямой. Единицами измерения его размерности являются градус и радиан. Чтобы перевести одну размерность в другую, нужно воспользоваться такими формулами:

1. Градусы в радианы: РАД = ГРАД * Pi / 180.
2. Радианы в градусы: ГРАД = РАД * 180 / Pi.

Следует отметить, что Pi является константой. Ее значение эквивалентно примерно 3,1416. Однако в тригонометрических функциях его значение принято считать равным 180 градусов. Например, tg(Pi) = tg(180) = 0. На примере можно разобрать перевод 1 градуса в радианы: РАД = 1 * 3,1416 / 180 = 0,0174533 (рад). Чтобы выполнить обратную операцию, нужно воспользоваться вторым соотношением: ГРАД = 1 * 180 / 3,1416 = 57 (градусов). Однако бывают производные единицы измерения градуса. Ими являются минута (') и секунда (''). Соотношение можно записать в таком виде: 1 град = 60' = 3600''.

В математических дисциплинах существует понятие «отрицательного» угла. Отсчет величины положительного значения происходит против часовой стрелки, а отрицательного — по часовой. Однако их классификация выполняется только по размерности следующим образом в виде интервалов:

1. (0 < q < 90): острые.
2. q = 90: прямые.
3. (90 < q < 180): тупые.
4. q = 180: развернутые.
5. (180 < q < 360): выпуклые.
6. q = 360: полные.

Когда дан некоторый угол q со значением, которое эквивалентно (равно) 60 градусам, просматривают каждый из интервалов. Например, в данной интерпретации он является острым, поскольку его величина удовлетворяет условию интервала в первом пункте, т. е. 0 < 60 < 90.

Информация о функциях тригонометрии

Тригонометрическими называются элементарные функции, которые применяются для расчетов каких-либо параметров прямоугольного треугольника (один из углов равен 90). Следует отметить, что ученые выделяют четыре базовых соотношения:

1. Синус — sin(q).
2. Косинус — cos(q).
3. Тангенс — tg(q).
4. Котангенс — ctg(q).

Однако перед формулировкой определений тригонометрических функций нужно ознакомиться с прямоугольным треугольником. Он состоит из трех сторон: гипотенузы и двух катетов. Угол между последними равен 90 градусов. Все остальные являются острыми, поскольку 180 - 90 = 90. Однако последнее значение приходится на два остальных угла. Естественно, что градусная мера одного из них не может быть эквивалентна 90. Следовательно, они оба являются острыми.

Синусом угла называется результат отношения противолежащего катета к гипотенузе. Косинус — частное операции деления прилежащего катета на гипотенузу. Тангенсом угла называется результат, полученный при отношении противолежащего к прилежащему катету. Котангенс — величина, обратная тангенсу, т. е. отношение размерности прилежащего катета к противолежащему.

Основные формулы

При расчетах или исследованиях необходимы некоторые соотношения, которые называются формулами. С их помощью можно одну неизвестную величину выразить через известную. Кроме того, они позволяют упрощать выражения, значительно повышая скорость расчетов. Формул и производных от них очень много.

Однако следует знать только базовые, которые позволят выводить другие соотношения. В их число также следует включить производную и первообразную. Математики выделяют следующие формулы котангенса:

1. Производная: [ctg(q)]' = -1 / (sin(q))^2.
2. Первообразная (интеграл от исходной функции): ln|sin(q)| + C (натуральный логарифм из модуля функции sin(q) + константа С).
3. Соотношение tg(q) и ctg(q): tg(q) * ctg(q) = 1.
4. Нахождение через другие функции: ctg(q) = [1 - (sin(q))^2]^(1/2) / sin(q) = 1 / tg(q). Необходимо отметить, что (sin(q))^2 - квадрат синуса, а (sin(q))^(1/2) — квадратный корень.
5. Формула суммы котангенсов (ctg(q + p))для углов q и p: [ctg(q) * ctg(p) - 1] / [ctg(p) + ctg(q)].

После описания основных соотношений следует перейти к построению тригонометрической окружности, которая позволяет находить значения не только котангенсов углов, но и другие значения.

Тригонометрический круг

Тригонометрической называется единичная окружность для определения значений функций. Для ее построения применяется прямоугольная декартовая система координат. Следует отметить, что для наглядности можно использовать масштабирование. На компьютере ее можно приблизить. Точкой пересечения осей абсцисс (ОХ) и ординат (ОУ) является 0. Кроме того, для нахождения значений следует знать теорему Пифагора.

Необходимо знать такие соотношения между острыми углами (q и p) прямоугольного треугольника (∠s = 90). Это позволит выразить неизвестную величину через известную. К этим формулам можно отнести следующие:

1. q + p = 90.
2. cos(q) = sin(p).
3. cos(p) = sin(q).
4. tg(q) = ctg(p).
5. tg(p) = ctg(q).
6. tg(q) = 1 / ctg(q).
7. tg(p) = 1 / ctg(p).

Зная основные соотношения, можно приступить к построению тригонометрической окружности, при помощи которой можно заполнить таблицу котангенсов. Следует отметить, что на весь цикл операции может потребоваться некоторое время. Однако при дальнейших расчетах можно использовать уже готовый образец.

Построение инструмента

Обыкновенный тригонометрический круг имеет начало в точке 0. Это требует дополнительных вычислений, поскольку нужно найти сначала значения косинуса и синуса. Затем по формулам вычислить значение котангенса. Процедура не очень удобная. Специалисты рекомендуют воспользоваться уже готовым вариантом — тригонометрическим кругом тангенсов и котангенсов (рис. 1).

Рисунок 1. Готовый макет.

Когда нет возможности воспользоваться рисунком 1, тогда следует построить обыкновенный инструмент, изображенный на рисунке 2.

Рисунок 2. График тригонометрического круга.

Процесс нахождения значений угла заключается в точке, которую следует отметить на окружности. Затем ее нужно соединить с центром системы. При этом будет образован некоторый угол между ОХ и отрезком. После этого из точки следует опустить перпендикуляр на ОХ. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 1. Следует отметить, что по ОХ определяются косинусы, а ОУ — синусы. Алгоритм нахождения следующий:

1. Отметить точку A на единичной окружности и соединить ее с началом координат с помощью отрезка.
2. Опустить перпендикуляр AB из точки на ОХ (построить прямоугольный треугольник).
3. Выразить синус: sin(q) = sin(∠AOB) = AB / AO = АВ / 1 = АВ.
4. По формулам найти другие значения.

Следует рассмотреть реализацию вышеописанного алгоритма на примере заполнения таблицы котангенсов.

Таблица значений

Для практической реализации алгоритма можно решить задачу, в которой следует найти котангенс 30 градусов. Вычисление выполняется по следующим правилам:

• Построение угла и треугольника с углом 90.
• Противолежащий катет лежит напротив 30 градусов. Его значение соответствует 1/2.
• Выразить синус: sin(30) = (1/2) / 1 = 0,5.
• Косинус находится по такому соотношению: cos(30) = [1 - (sin(30))^2]^(1/2) = 3^(1/2) / 2.
• Котангенс находится по такому соотношению: ctg(30) = cos(30) / sin(30) = 3^(1/2).

Следуя по вышеописанному алгоритму, можно составить таблицу котангенсов для некоторых углов (табл. 1).

Таблица 1. Значения котангенсов.

После этого необходимо приступить к дальнейшим вычислениям ее элементов. Чтобы рассчитать значения для 45 градусов, нужно воспользоваться таким алгоритмом:

1. Другой угол равен также 45, поскольку 180 - 90 - 45 = 45. Из соотношения следует, что треугольник является прямоугольным и равнобедренным. У него катеты равны.
2. Воспользовавшись соотношением, можно вычислить синус и косинус (они будут эквивалентны): (sin(45))^2 + (cos(45))^2 = 1. Двойку нужно умножить на (sin(45))^2: 2 * (sin(45))^2 = 1. Следовательно, sin(45) = cos(45) = 2^(1/2) / 2.
3. Тангенс и котангенс равны 1, поскольку синус и косинус равны.

Используя формулы, можно вычислить значение cos(60) = sin(30) = 1/2. Тогда sin(60) = cos(30) = 3^(1/2) / 2. В результате этого можно получить значения тангенса и котангенса: tg(60) = 3^(1/2) и сtg(60) = 1 / 3^(1/2). Если sin(0) = 0 и cos(0) = 1, то sin(90) = 1 и cos(90) = 0. Из этих значений можно произвести расчет tg(90) и сtg(90). Первого не существует, поскольку на 0 делить нельзя, а второй равен 0.

Произвести расчет нестандартного угла 120 градусов тоже довольно просто. Для этого нужно представить в виде суммы 120 = 90 + 30. Котангенс рассчитывается следующим образом: ctg(90 + 30) = - (0 + 1/(3^(1/2)) = -1/(3^(1/2). Значение получается со знаком «—», поскольку 120 находится во II четверти декартовой системы. Аналогично рассчитываются другие значения. Величины, обратные тангенсу и котангенсу, называются арктангенсом и арккотангенсом.

Знаки функции

Знак зависит от текущего положения угла. Круг пересекается с осями ОХ и ОУ в следующих точках: (1;0), (0;1), (-1;0) и (0;-1). Области, которые делят систему, являются четырьмя четвертями:

• Все координаты положительные.
• Координаты: x < 0 и y > 0.
• Все значения отрицательные.
• Координаты: x > 0 и y < 0.

На основании четвертей и определяется знак. Например, значение соответствует величине 5Pi / 2. Нужно определить знак функции, не вычисляя ее. Решение является элементарным и выполняется по определенному алгоритму:

1. Руководствуясь свойством единичной окружности (один оборот равен 2Pi), нужно разложить угол: 5Pi/2 = 2Pi + 2Pi + Pi/2 = Pi/2.
2. Исходя из первого пункта, можно сделать вывод, что он находится в первой четверти и является положительным (знак «плюс»).

При вычислениях необходимо постоянно проверять знак. Этот метод позволяет избежать ошибок при решении задач.

Таким образом, нахождение значений для таблицы котангенсов осуществляется при помощи таблиц Брадиса, компьютера или калькулятора, а также с использованием основных тригонометрических соотношений и тригонометрической окружности.