Наименьшее общее кратное (НОК) - алгоритмы и примеры определения

Базовые понятия

Для вычисления НОК (наименьшее общее кратное) необходимо разобраться с терминами и определениями. Если любое натуральное число делится на Х без остатка, это число считается кратным Х. Например, 14, 49, 63 кратны 7.

Любое число в математике может иметь бесконечное множество кратных. А вот количество делителей для него самого ограничено. У простых чисел их всего 2 — это единица и само простое число.

НОК может быть общим сразу для нескольких величин. Если какая-то из них делится без остатка сразу на 2 числа, она называется общим кратным этой пары. Например, 10 кратно одновременно 2 и 5, то есть его можно разделить нацело на 2 и на 5. Однако для 2 и 5 кратным может быть не только 10, но и другие величины — 20, 50, 100 и так далее. С математической точки зрения, важно определить меньшую из этих величин.

Наименьшее общее кратное или НОК для величин А и В — это самое маленькое число, которое одновременно делится на А и на В. То есть оно кратно сразу А и В.

Вместо переменных можно подставлять любые числа и искать для них этот показатель.

Методы нахождения

Чтобы найти НОК 2 чисел, в математике используются три способа. Каждый из них может быть применен для проведения вычислений. Если все операции совершены правильно, в результате получится один и тот же ответ при всех методах.

Первый способ

При этом способе применяется метод простого подбора. Для многих учеников он самый простой. Порядок вычисления будет такой:

1. Выписывают кратные первого числа.
2. Определяют кратные для второго.
3. Рассматривают оба числовых ряда и выбирают самое маленькое, которое будет общим для них. Это и будет наименьшим кратным для 2 цифр.

Пример: необходимо найти НОК для 6 и 8. Сначала составляется ряд кратных 6. Он будет выглядеть так: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 и так далее. Для числа 8 ряд кратных будет иметь вид: 8, 16, 24, 32, 40. 48, 56, 64, 72, 80 и так далее. Если изучить оба ряда, можно обнаружить 2 одинаковых числа — 24 и 48. Меньшим из них является 24. Это и есть НОК для 6 и 8. Для проверки делят 24 на эти величины. В обоих случаях получаются целые величины без остатка.

Второй вариант

Для вычисления вторым способом нужно разложить на простые множители обе величины. Простым множителем в математике принято называть число, которое делится без остатка только на 1 и на себя.

Следующий шаг — выписываются все множители из первого ряда. Затем добавляются те цифры, которых не было в первом ряду, но были во втором. Получится цепочка из нескольких простых чисел. Их необходимо перемножить между собой, в результате чего получится НОК.

Пример: требуется найти НОК для 8 и 12. Для начала нужно разложить на простые множители 8. Получится 2, 2 и 2. Дальше раскладывается аналогичным образом число 12. Получается 2, 2 и 3. Выписываются множители из первого разложенного ряда 2х2х2. Далее добавляются цифры из второго ряда, которых нет в первом — 2х2х2х3.

После перемножения этих величин получается 24. Это и будет НОК для 12 и 8, поскольку оно делится нацело на оба числа. Фактически все действие сводится к разложению на простые множители двух величин одновременно.

Третий алгоритм

Существует еще один метод нахождения НОК. Решать примеры с его помощью можно только для двух чисел. Необходимо заранее знать наибольший общий делитель — НОД. Так принято называть самое большое число, на которое 2 какие-либо переменные делятся без остатка. Вместо переменных можно ввести конкретные данные. НОД возможно вычислить не только для 2, но и для большего количества величин. В математике это понятие принято записывать кратко НОД (х, у).

Пример: требуется рассчитать НОД для 90 и 117. При разложении на простые множители 90 получается ряд 2,3,3,5. Ту же операцию проводят с числом 117 — получается 3,3,13. Для вычисления НОД умножают общие для двух рядов множители — 3х3=9. Значит, НОД (90,117) = 9.

Часто получается, что наибольший общий делитель равняется одному из чисел. Так бывает, если на него можно разделить все остальные. Например, для 10, 20 и 30 наибольшим делителем будет 10.

Если в задаче необходимо найти одновременно НОД и НОК, применяют третий способ вычисления. Алгоритм работы следующий:

1. Находят наибольший общий делитель для 2 величин.
2. Чтобы найти общее кратное, их перемножают.
3. Полученное произведение делят на НОД.

Пример: требуется найти НОД и НОК для чисел 115 и 175. Вначале вычисляется НОД. В этом случае он будет равняться 5. Затем 25 и 40 перемножают, получается 20125.

Полученный результат делят на 5, в итоге НОК 15 и 40 равно 4025.

Чтобы проверить достоверность результата, можно вычислить НОК первым или вторым методами.

Например, нужно найти НОК (25, 40).

Наибольшим делителем для них будет 5. Тогда (25х40):5 = 200.

Проверка вторым способом:

1. Выписывают кратные 25 — это 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 250.
2. Делают то же самое для 40 — получается ряд 40, 80, 120, 160, 200, 240.
3. Находят наименьшее кратное 200 — оно и будет наименьшим.

Такой же результат будет получен и при решении вторым методом.

Особые случаи

Не во всех случаях вычисление проводится стандартными способами. Существуют пары чисел с особыми свойствами, для которых найти НОК можно без громоздких вычислений.

К таким случаям относятся следующие:

1. Одно из чисел делится на второе без остатка. В этом случае делимое будет одновременно и наименьшим общим кратным. Например, нужно узнать НОК (25, 75). Поскольку 75 делится на 25 нацело, оно и есть НОК для 2 величин.
2. Существует пара взаимно простых чисел — это величины, у которых нет общего делителя, кроме 1. Чтобы найти наименьшее кратное, достаточно перемножить их. К примеру, 9 и 11 имеют единственный общий делитель -1. В этом случае НОК (9,11) = 9х11 = 99.
3. Чтобы вычислить кратное для отрицательных чисел, у них меняют знак на противоположный. Дальнейшие расчеты проводят одним из приведенных способов.

Большинство учащихся быстро усваивают, как найти НОК двух чисел.

Однако некоторых вводят в растерянность ситуации, когда требуется вычислить НОК или НОД для трех или более исходных. В этом случае необходимо последовательно находить кратное для каждой пары из имеющегося ряда.

Для этих случаев в математике есть особая теорема. Если имеется числовой ряд с формулой А1, А2, А3… Ах, то НОК для всех показателей вычисляется последовательно. Вначале НОК (А1, А2), затем для А2, А3 и так далее.

Однако такой путь может оказаться довольно трудоемким.

Чтобы сэкономить время, можно воспользоваться другим методом поиска:

1. Все исходные величины разложить на простые множители.
2. Выписывают произведение множителей из первого числа.
3. Добавляют недостающие из второго.
4. Дописывают аналогичным образом недостающие компоненты из всего ряда.
5. Перемножают полученные цифры и получают искомое НОК.

Применение онлайн-калькулятора

Современные технологии позволяют не рассчитывать нужные данные на бумаге. Любой пользователь может найти в интернете НОД и НОК калькулятор, работающий в онлайн-режиме. Такой онлайн-сервис особенно удобен, если нужно найти делитель и кратное для 3 и более чисел.

Чтобы получить нужные расчеты, достаточно ввести в окошки калькулятора исходные данные и выбрать НОД или НОК. Поскольку между этими понятиями существует тесная связь, обычно они вычисляются вместе. Внизу находится кнопка «найти», которую нужно нажать. Через 2−3 секунды внизу появится ответ. Кроме того, некоторые сервисы выдают не только конечные результаты, но и пошаговый порядок расчетов. Здесь же можно найти онлайн-тесты на заданную тему.

Таким образом, учащийся может понять алгоритм действий и усвоить правило при вычислении НОК онлайн. Это всегда проще сделать на практическом примере.