Деление двузначного числа на однозначное - примеры и алгоритмы

Общие сведения

Операция деления двузначного значения на однозначное при отсутствии калькулятора, как умножение, сложение и вычитание, производится в столбик. Она бывает 2 типов. В первом случае результат является целым числом, а во втором — целым и остатком. При выполнении деления без остатка требуется знать признаки деления, которые позволяют выяснить делимость одного значения на другое. Изучается операция деления двузначного на однозначное в 3 классе.

Признаки делимости

Для разбора алгоритма деления 2 значений, которые являются внетабличными (отсутствуют в таблице умножения), необходимо обозначить элементы операции. Пусть дано некоторое выражение v: t = p. Коэффициенты в нем расшифровываются следующим образом:

1. V — делимое, т. е. число, которое требуется разделить.
2. T — математики называют его делителем.
3. P — частное является числовым результатом, который будет получаться при делении двух величин.

Иногда в литературе с физико-математическим уклоном можно встретить такую запись: v / t = p. Кроме того, числа классифицируются на простые и составные. К первой группе относятся все значения, которые делятся без остатка только на 1 или на значение равное исходному, т. е. 23 делится на 1 и на 23, а остальных делителей у него нет вообще. Вторая группа — значения, состоящие из нескольких множителей. Например, 100 = 25 * 4 = 5 * 5 * 2 * 2.

Работа осуществляется в основном с десятичной системой счисления, хотя бывают двоичная, троичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Они применяются в сфере информационных технологий.

Десятичная система состоит из однозначных цифр, формирующих двузначные, трехзначные, четырехзначные, пятизначные числа (количество разрядов можно продолжать до бесконечности). Для деления двухзначного значения на однозначное без остатка необходимо знать следующие свойства (признаки деления):

1. 0: операция невозможна, поскольку превращает все выражение в пустое множество.
2. 1: делятся все значения.
3. 2: последняя цифра является четным значением, т. е. 0, 2, 4, 6 и 8.
4. 3: сумму цифр, составляющих число, можно разделить на 3. Например, проверить возможность деления 72 на 3. Для этого следует применить такое правило: 7 + 2 = 9. По таблице умножения 9 делится на 3 без остатка. Следовательно, 72 делится на 3.
5. 4: сумма двух цифр делится на 4. Если представлено 5-значное число, то нужно рассматривать 2 последних цифры.
6. 5: последней цифрой является 0 или 5.
7. 6: деление на составные части, т. е. на 2 и 3.
8. 7: возможность выполнения операции определяется по формуле [a * b — 2 * c] / 7, где а, b и с — соответствуют первой, второй и третьей цифрам. Для двузначной величины — a / 7 и b / 7.
9. 8: должно делиться на 2 и 4. Если количество цифр больше 2, то следует рассматривать делимость без остатка трех последних цифр.
10. 9: деление по таблице умножения. Если число состоит из трех и более цифр, то следует рассматривать деления их суммы на 9.

Для примера можно разобрать следующее выражение: 52 / 3. В этом случае первая величина не делится на 3 без остатка. Доказывается это очень просто: 5 + 2 = 7. Семерка по таблице умножения не делится на 3, поскольку является простым числом (7 / 1 = 7 и 7 / 7 =1).

Определение типа числа

В математике числа делятся на простые и составные. Существует несколько способов определения их принадлежности к тому или иному виду:

1. Автоматизированный.
2. Ручной.

В первом случае применяются специальные таблицы простых чисел, тренажеры или вычислительные машины. Второй является наиболее трудоемким, поскольку нужно рассматривать каждый признак делимости. Если величина делится на 1, на саму себя и какое-либо другое, то является составным. Алгоритм определения простого числа:

1. Выполнить перебор всех делителей.
2. Сделать вывод.

Для примера следует разобрать значение 71. Следует обратить внимание на признаки деления. Новичкам рекомендуется выписать все цифры от 1 до 9. Далее следует возле каждого значения записать результат, поставив знак «+" при делении без остатка или «-" — с остатком:

1. 1: «+".
2. 2: «-" (не является четным).
3. 3: «-" (7 + 1 = 8, 8 не делится на три).
4. 4: «-" (7 и не делятся на 4).
5. 5: «-" (последняя цифра не эквивалентна 0 или 5).
6. 6: «-" (8 не делится на 3, но делится на 2. Этого условия недостаточно).
7. 7: «-" (числа не делятся на 7).
8. 8: «-" (не делится сумма цифр на 2 и 4).
9. 9: отсутствует в таблице умножения на 9.

Из этого примера можно сделать вывод, что 71 является простым числом. Если величина является составной, то существует алгоритм, позволяющий делить столбиком двузначные числа на однозначные.

Методика деления в столбик

Существует определенный алгоритм для деления в столбик. Изучается он в начальных классах средних образовательных школ. Методику можно применять не только для положительных, но и отрицательных значений. При этом нужно учитывать знак:

1. Деление отрицательной величины на отрицательную — положительное значение.
2. При делении положительного на отрицательное или наоборот — отрицательная величина.

Существует 2 разновидности операции: с остатком и без него. В первом случае результат записывается в виде целого значения и остатка, а во втором — является только целой величиной.

Алгоритм без остатка

Методика применяется в том случае, когда делимое является не простым числом, а содержит множители. Кроме того, при его делении на делитель, не соответствующий одному из признаков деления. Например, 33 делится на 2 с остатком. Однако, когда делитель равен 3, то последнего нет.

Для применения алгоритма нужно наглядно разобрать следующий пример: требуется разделить 78 на 2. Методика выполнения этой операции имеет следующий вид:

1. Записать делимое с левой стороны, а делитель — справа.
2. По карточке простых чисел или при помощи ручного метода необходимо определить принадлежность делимого к простым значениям (78 делится на 2, поскольку заканчивается на четную цифру 8).
3. Разделить две значения вертикальной чертой.
4. Выделить I неполное делимое: 7.
5. По таблице умножения подобрать ближайшее целое (3). При произведении его на делитель должно получиться значение, которое меньше первого неполного делимого (3 * 2 = 6 < 7). Если записать 4, то 4 * 2 = 8 > 7 (вариант не подходит).
6. Записать число, полученное при умножении делителя на подобранное значение, под I неполным делимым. Произвести операцию вычитания (7 — 6 = 1).
7. Результат вычитания (1), который называется остатком, не делится на 2. Следовательно, нужно дописать II неполное делимое (18). Если по какой-то причине, результат делится на делитель, то подобранное значение является неверным.
8. Значение 18 делится на 2, т. е. 18/2 = 9.
9. Результат деления 78 на 2 равен 39.

Правильность выполнения операции можно проверить посредством умножения результата на множитель, т. е. 39 * 2 = 78.

Операция с остатком

Не во всех случаях результат деления двух чисел является целой величиной. В школьной программе встречается группа примеров, в которых требуется найти остаток, полученный при выполнении операции деления 2 значений (77/3). Алгоритм похож на предыдущий, но имеются некоторые особенности:

1. Два числа записываются, как и в предыдущем случае.
2. Принадлежность к множеству простых чисел не проверяется.
3. Выделить I неполное делимое: 7.
4. Подобрать ближайшее целое число, записав его в результат: 2.
5. Выполнить проверку: 3 * 2 = 6 < 7 (значение подходит).
6. Записать 6 под 7, а затем выполнить операцию вычитания: 7 — 6 = 1. Остаток меньше 3, следовательно, число подобрано правильно.
7. Выполнить подбор множителя для 17: целочисленного значения нет. Следовательно, нужно подобрать ближайшее целое: 5.
8. Произвести проверку: 3 * 5 = 15 < 17.
9. Записать 5 в результат и определить остаток: 17 — 15 = 2.
10. Результат деления 77 на 3 эквивалентен: 25 с остатком 2.

Таким образом, для выполнения операции деления двузначного числа на однозначное нужно знать признаки делимости величин, а также основные алгоритмы деления с остатком и без него.