Задачи на треугольники для 7 класса

Что такое треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

У треугольника есть:

• три стороны;
• три угла;
• три вершины.

Обычно вершины обозначают большими буквами, например A, B, C, а сам треугольник называют треугольником ABC.

Какие бывают треугольники

Треугольники различают по сторонам и по углам.

По сторонам

Равносторонний треугольник — все стороны равны.

Равнобедренный треугольник — две стороны равны.

Разносторонний треугольник — все стороны разные.

По углам

Остроугольный треугольник — все углы меньше 90°.

Прямоугольный треугольник — один угол равен 90°.

Тупоугольный треугольник — один угол больше 90°.

Что нужно помнить о треугольнике

Есть несколько главных правил, которые используются почти во всех задачах.

Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон.

Чтобы треугольник существовал, сумма любых двух его сторон должна быть больше третьей стороны.

Площадь треугольника находят по формуле:

S = a × h : 2

где a — сторона треугольника, а h — высота, проведенная к этой стороне.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону или на ее продолжение.

Как решать задачи на треугольники

Сначала нужно понять, что именно спрашивают в задаче:

• найти периметр;
• найти угол;
• определить вид треугольника;
• проверить существование треугольника;
• найти площадь;
• найти сторону или высоту.

После этого нужно выбрать подходящее правило или формулу и только потом выполнять вычисления.

Примеры задач с решениями

Задача 1. Найти периметр треугольника

Стороны треугольника равны 5 см, 7 см и 9 см. Найдите его периметр.

Решение

Периметр — это сумма всех сторон:

5 + 7 + 9 = 21

Ответ: 21 см.

Задача 2. Найти периметр равнобедренного треугольника

У равнобедренного треугольника две стороны по 6 см, а третья сторона 4 см. Найдите периметр.

Решение

Складываем все стороны:

6 + 6 + 4 = 16

Ответ: 16 см.

Задача 3. Найти третий угол треугольника

В треугольнике два угла равны 50° и 60°. Найдите третий угол.

Решение

Сумма углов треугольника равна 180°.

Сначала найдем сумму двух известных углов:

50° + 60° = 110°

Теперь найдем третий угол:

180° − 110° = 70°

Ответ: 70°.

Задача 4. Найти углы равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании.

Решение

Сумма углов треугольника равна 180°.

Сначала найдем сумму двух углов при основании:

180° − 40° = 140°

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит:

140° : 2 = 70°

Ответ: по 70°.

Задача 5. Проверить, существует ли треугольник

Может ли существовать треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 8 см?

Решение

Проверим правило существования треугольника.

Сумма двух меньших сторон должна быть больше третьей стороны:

3 + 4 = 7

7 меньше 8, значит, такой треугольник существовать не может.

Ответ: нет, не может.

Задача 6. Найти площадь треугольника

Основание треугольника равно 10 см, а высота, проведенная к этому основанию, равна 6 см. Найдите площадь.

Решение

Используем формулу площади:

S = a × h : 2

S = 10 × 6 : 2

S = 60 : 2 = 30

Ответ: 30 см².

Задача 7. Найти основание по площади

Площадь треугольника равна 24 см², а высота, проведенная к основанию, равна 6 см. Найдите основание.

Решение

Используем формулу площади:

S = a × h : 2

Подставим данные:

24 = a × 6 : 2

24 = 3a

a = 24 : 3 = 8

Ответ: 8 см.

Задача 8. Найти высоту по площади

Площадь треугольника равна 18 см², а основание равно 9 см. Найдите высоту, проведенную к этому основанию.

Решение

Используем формулу площади:

S = a × h : 2

Подставляем данные:

18 = 9 × h : 2

9h : 2 = 18

9h = 36

h = 36 : 9 = 4

Ответ: 4 см.

Задача 9. Найти угол прямоугольного треугольника

У треугольника один угол равен 90°, а второй — 35°. Найдите третий угол.

Решение

Сумма углов треугольника равна 180°.

Сначала сложим известные углы:

90° + 35° = 125°

Теперь найдем третий угол:

180° − 125° = 55°

Ответ: 55°.

Задача 10. Найти периметр равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника равна 8 см. Найдите его периметр.

Решение

У равностороннего треугольника все стороны равны, значит:

8 + 8 + 8 = 24

Можно решить и короче:

3 × 8 = 24

Ответ: 24 см.

Что чаще всего путают

В задачах на треугольники есть несколько типичных ошибок.

Часто забывают, что сумма углов любого треугольника всегда равна 180°.

Путают равнобедренный и равносторонний треугольники.

В задачах на площадь иногда умножают основание на высоту, но забывают разделить результат на 2.

Еще одна частая ошибка — не проверять, может ли треугольник существовать с заданными сторонами.

Как проверить ответ

После решения полезно задать себе несколько вопросов:

• Я нашел именно то, что спрашивали?
• Правильно ли применил формулу или правило?
• Не забыл ли разделить на 2 в задаче на площадь?
• Реально ли существует такой треугольник?

Такая проверка помогает вовремя заметить ошибку.

Итог

Задачи на треугольники встречаются очень часто, потому что в этой теме соединяются сразу несколько важных понятий: стороны, углы, периметр, площадь и свойства фигур. Чтобы решать такие задачи уверенно, нужно помнить основные правила: сумма углов треугольника равна 180°, периметр — это сумма всех сторон, а площадь равна половине произведения основания на высоту.

Если ученик понимает, какое именно свойство нужно использовать в задаче, тема обычно не вызывает трудностей.