Площадь прямоугольной трапеции через угол и основания

138

Время на чтение: 19 минут

A A

8 Мая 2020

5811

Следующей после треугольника по сложности фигурой, которую изучают в школьной программе геометрии, является трапеция. Многие задачи с ее участием связаны с определением периметра и площади. В прямоугольной трапеции через угол и основания можно рассчитать обе эти величины, применяя теорему Пифагора.

Содержание:

Особенности и свойства трапеций
Прямоугольная фигура и ее характеристики
Примеры решения задач

Пример 1. Пусть задана прямоугольная трапеция, медиана которой равна 12 см и острый угол при основании составляет 45 °. Также известно, что боковая сторона, которая не является высотой, составляет 10 см. Необходимо рассчитать площадь этой фигуры.

Если рассмотреть треугольник прямоугольный, который образован двумя боковыми сторонами и заданным острым углом, то можно рассчитать высоту фигуры:

h = d*sin (α) = 10*sin (45 °) = 7,071 см.

Поскольку из условия задачи известна медиана, то можно применить общую формулу для определения площади трапеции:

S = h*M = 7,071*12 = 84,852 см².

Любопытно отметить, что для решения этой задачи не понадобилось знать длины каждого из оснований.

Пример 2. Известно, что большее из оснований трапеции прямоугольной имеет длину 12 см, ее наклонная сторона равна 10 см, а угол при основании составляет 53,13 °. Необходимо выяснить, как найти площадь прямоугольной трапеции из этих данных.

Для решения задачи удобно использовать следующие общепринятые обозначения:

α = 53,13 °;
b = 12 см;
d = 10 см.

Рассматривая треугольник с прямым углом, который заключен между сторонами b-a, d и c, можно вычислить все неизвестные длины отрезков:

c = d*sin (α);
b-a = d*cos (α), откуда a = b — d*cos (α).

Общая формула для площади трапеции приобретает вид:

S = M*h = (a+b)/2*c = (2*b — d*cos (α))*d*sin (α)/2.

Все величины в формуле известны из условия задачи. Если их подставить, то получится ответ: 72 см².

Пример 3. Известно, что в трапеции с прямыми углами диагонали составляют 7 см и 11 см, высота фигуры равна 5 см. Необходимо найти ее площадь.

Из теоремы Пифагора следует, что каждое из оснований трапеции может быть вычислено следующим образом:

a = (D1²-c²)^0,5 = (49−25)^0,5 = 4,9 см;
b = (D2²-c²)^0,5 = (121−25)^0,5 = 9,8 см.

Тогда площадь фигуры составит: S = (a+b)*c/2 = (4,9+9,8)*5/2 = 36,75 см².

Таким образом, прямоугольная трапеция является простой фигурой, для вычисления площади которой удобно воспользоваться теоремой Пифагора. Существуют несколько формул для определения величины S, параметрами которых являются длины сторон и непрямые углы.

Все тесты