Площадь прямоугольной трапеции через угол и основания

Особенности и свойства трапеций

Прежде чем разобраться, как найти площадь прямоугольной трапеции, следует подробнее рассмотреть свойства этого класса фигур. Все они представляют собой выпуклые четырехугольники, у которых две и всего две стороны параллельны между собой. Они называются основаниями и имеют разную длину. Оставшиеся две стороны наклонены друг относительно друга под определенным и неравным нулю углом. Они называются боковыми.

Нетрудно догадаться, что основания фигуры должны всегда отличаться по длине. В противном случае параллельными между собой окажутся также боковые стороны, и получится не трапеция, а прямоугольник или квадрат.

Терминология и элементы

Из определения трапеции следует, что эта фигура состоит из двух оснований и двух боковых сторон. Помимо них, в геометрии выделяют также следующие линейные характеристики:

1. Диагонали — соединяющие несмежные (противоположные) вершины отрезки, в общем случае они имеют разную длину и могут быть вычислены из знания всех длин сторон фигуры. Соответствующие формулы имеют вид: D1 = (a*b + d ² — a*(d ² -c ² )/(a-b))^0,5 и D2 = (a*b + c ² — a*(c ² -d ² )/(a-b))^0,5. Здесь буквами a и b обозначены основания, c и d — это боковые стороны.
2. Высота — расстояние между параллельными основаниями, она соответствует длине перпендикуляра, опущенного от малого основания к большому. Обычно ее обозначают буквой h. Через четыре стороны фигуры она так же, как и диагонали, может быть рассчитана. Соответствующая формула является несколько громоздкой. Она имеет вид: h = (4*(a-b)^2*d ² — (d ² + (a-b)^2 — c ² )^2)^0,5/(2*(a-b)).
3. Средняя линия или медиана M — отрезок, который соединяет середины сторон боковых, его длина однозначно рассчитывается из знания длин обоих оснований. Выражение для M имеет следующую форму: M = (a+b)/2 — полусумма длин оснований.
4. В некоторых задачах также встречается отрезок n, который соединяет середины обеих диагоналей. Его длина рассчитывается как полуразница оснований: n = (a-b)/2.

Все формулы для нахождения длин соответствующих линейных элементов трапеции справедливы независимо от значений ее сторон и внутренних углов.

Существующие типы

Несмотря на простоту построения трапеции, она бывает нескольких типов. Последние определяются однозначно с учетом значения внутренних углов фигуры. В геометрии выделяют следующие типы:

1. Общий. Этот тип фигуры является наименее симметричным. В ней все четыре угла отличаются друг от друга, при этом два из них являются тупыми, и два острыми. Их расположение может быть либо попарным, либо противоположным. Кроме того, трапеция общего типа имеет разные длины боковых сторон.
2. Равнобедренный. Это самый симметричный тип фигуры. Равнобедренная трапеция по определению имеет две одинаковые по длине боковые стороны и, как следствие, равные попарно углы при основаниях (два острых и два тупых). Прямая, проходящая через середины оснований, является осью симметрии фигуры. Ее диагонали равны, а противоположные углы в сумме составляют 180 °. В такую трапецию можно вписать окружность, радиус которой составит половину высоты фигуры (r = h/2), однако, это не всегда возможно.
3. Прямоугольный. Как следует из названия, для этого типа трапеции характерно наличие внутренних прямых углов, то есть таких, мера которых составляет 90 °. Поскольку сумма односторонних углов, заключенных между параллельными прямыми, всегда составляет 180 °, то в прямоугольной трапеции всегда существует два прямых угла. Два других угла являются острым и тупым.

Для всех перечисленных типов трапеции справедлив тот факт, что сумма четырех углов составляет 360 °. В любой тип фигуры можно вписать окружность. Для этого необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:

a + b = c + d.

Другими словами, сумма длин оснований должна быть в точности равна сумме боковых сторон.

Прямоугольная фигура и ее характеристики

Несмотря на невысокую симметрию трапеции с прямыми углами, работать с ней удобно при решении задач, поскольку можно напрямую использовать теорему Пифагора.

Пусть имеется фигура, в которой a и b — это основания, c — сторона, которая им обоим перпендикулярна и образует с ними прямые внутренние углы, d — боковая сторона, которая наклонена под некоторым углом к основаниям. Из такого построения ясно, что боковая сторона c также является высотой h фигуры.

Углы и диагонали

Формулы для расчета внутренних углов и длин диагоналей в прямоугольной фигуре имеют простой вид. Чтобы найти тупой и острый углы, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник, который образован следующими отрезками:

• перпендикуляром к основанию c;
• боковой стороной d;
• стороной a-b.

Нетрудно доказать, что синус острого угла α при основании может быть рассчитан по следующей формуле:

sin (α) = c/d.

Поскольку вместе с тупым углом β он составляет 180 °, тогда справедливы равенства:

sin (α) = sin (β) = c/d и β = 180 ° - α.

Для вычисления диагоналей прямоугольной трапеции можно воспользоваться общими формулами для D1 и D2.

Однако, для этого типа фигуры их можно упростить, воспользовавшись теоремой Пифагора. Любая из проведенных диагоналей образует внутри рассматриваемой трапеции прямоугольный треугольник, поэтому для D1 и D2 можно записать следующие равенства:

• D1 = (a ² + c ² )^0,5;
• D2 = (b ² + c ² )^0,5.

Для вычисления диагоналей D1 и D2 необязательно знать длину боковой стороны d.

Вычисление площади

Существует несколько выражений, используя которые можно определить площадь любой трапеции. Для прямоугольной фигуры все эти формулы имеют упрощенный вид. В первую очередь следует отметить общее выражение для площади S, которая равна произведению медианы M на высоту h:

S = M*h.

Для прямоугольной трапеции эта формула преобразуется в следующее равенство:

S = c*(a+b)/2.

Где h=c и M = (a+b)/2.

Удобно определять площадь рассматриваемой фигуры также через ее диагонали D1, D2 и угол их пересечения γ. Эта формула имеет вид:

S = D1*D2/2*sin (γ).

То есть половина произведения диагоналей на синус угла их пересечения дадут площадь всей фигуры. Необходимо отметить, что неважно, какой брать угол (острый или тупой) они связаны друг с другом (в сумме дают 180 °) и их синусы равны. Если диагонали пересекаются под прямым углом, то формула для S сводится к выражению:

S = D1*D2/2.

Существует еще одна формула площади трапеции прямоугольной через ее основания a, b и острый угол α. Применяя следующие рассуждения и выкладки можно ее получить:

1. Следует рассмотреть прямоугольный треугольник, ограниченный отрезками c, b-a и d, где основание b больше, чем a.
2. Высота c определяется следующей тригонометрической формулой: c = (b-a)*tg (α).
3. Площадь фигуры рассчитывается из выражения общего типа: S = (b+a)*(b-a)*tg (α)/2. Эту формулу можно преобразовать таким образом: S = (b ² — a ² )*tg (α)/2.

Аналогичную формулу можно использовать, если известен не острый угол α, а тупой β. В этом случае выражение для S примет вид:

S = (a ² -b ² )*tg (β)/2.

Функция tg (β) здесь является отрицательной величиной, поэтому вычитаемое и уменьшаемое в множителе a-b поменялись местами. Все выражения для расчета площади применимы при определении объема призм в трехмерном пространстве, у которых основания представляют собой трапеции.

Примеры решения задач

Пример 1. Пусть задана прямоугольная трапеция, медиана которой равна 12 см и острый угол при основании составляет 45 °. Также известно, что боковая сторона, которая не является высотой, составляет 10 см. Необходимо рассчитать площадь этой фигуры.

Если рассмотреть треугольник прямоугольный, который образован двумя боковыми сторонами и заданным острым углом, то можно рассчитать высоту фигуры:

h = d*sin (α) = 10*sin (45 °) = 7,071 см.

Поскольку из условия задачи известна медиана, то можно применить общую формулу для определения площади трапеции:

S = h*M = 7,071*12 = 84,852 см ² .

Любопытно отметить, что для решения этой задачи не понадобилось знать длины каждого из оснований.

Пример 2. Известно, что большее из оснований трапеции прямоугольной имеет длину 12 см, ее наклонная сторона равна 10 см, а угол при основании составляет 53,13 °. Необходимо выяснить, как найти площадь прямоугольной трапеции из этих данных.

Для решения задачи удобно использовать следующие общепринятые обозначения:

• α = 53,13 °;
• b = 12 см;
• d = 10 см.

Рассматривая треугольник с прямым углом, который заключен между сторонами b-a, d и c, можно вычислить все неизвестные длины отрезков:

• c = d*sin (α);
• b-a = d*cos (α), откуда a = b — d*cos (α).

Общая формула для площади трапеции приобретает вид:

S = M*h = (a+b)/2*c = (2*b — d*cos (α))*d*sin (α)/2.

Все величины в формуле известны из условия задачи. Если их подставить, то получится ответ: 72 см².

Пример 3. Известно, что в трапеции с прямыми углами диагонали составляют 7 см и 11 см, высота фигуры равна 5 см. Необходимо найти ее площадь.

Из теоремы Пифагора следует, что каждое из оснований трапеции может быть вычислено следующим образом:

• a = (D1 ² -c ² )^0,5 = (49−25)^0,5 = 4,9 см;
• b = (D2 ² -c ² )^0,5 = (121−25)^0,5 = 9,8 см.

Тогда площадь фигуры составит: S = (a+b)*c/2 = (4,9+9,8)*5/2 = 36,75 см².

Таким образом, прямоугольная трапеция является простой фигурой, для вычисления площади которой удобно воспользоваться теоремой Пифагора. Существуют несколько формул для определения величины S, параметрами которых являются длины сторон и непрямые углы.