Правильный треугольник - свойства, признаки и формулы

Общие сведения

Любое пространство можно описать размерностью. В трёхмерном измерении плоская геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков и такого же количества точек, в которых они соединяются, называется треугольником. Отрезки называют сторонами или боковыми гранями, площадь, ограниченная ими — внутренней, а точки — вершинами. Фигура имеет 3 угла и является невырожденной.

Строгого требования к обозначениям элементов многоугольника нет. Но традиционно вершины подписывают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, а противолежащие им стороны — аналогичными строчными знаками. В качестве обозначений для углов используют греческие символы: α, β, γ. Например, если имеется треугольник ABC, у него будут углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут подписываться и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA.

В зависимости от соотношения размеров сторон, все треугольники разделяют на 3 вида. Они бывают:

1. Равнобедренными — многоугольники, у которых одна сторона не равна двум другим. Эта грань называется основанием. Углы при этой стороне равны.
2. Разносторонние (неправильные) — длины всех граней разные.
3. Равносторонние — треугольники, имеющие одинаковые стороны. Часто эти фигуры называют правильными. По сути, они являются частным случаем равнобедренного многоугольника.

Существуют правила, позволяющие утверждать о равенстве или подобии двух и более треугольников. Они считаются идентичными, то есть их параметры полностью совпадают, если 2 стороны и угол равны или все грани имеют одинаковую длину. А также фигуры будут одинаковыми, когда у них совпадают 2 стороны и угол, располагающийся напротив большего отрезка.

Признаки подобия помогают определить вид треугольника при сравнении с известным. Если 2 любых угла равны в обеих фигурах, они считаются похожими. Когда же 2 стороны многоугольника пропорциональны двум отрезкам другого, причём углы, заключённые между этими гранями, равны, такие фигуры подобны.

Особые линии и точки

Медиана, высота и биссектриса — 3 замечательные линии любого треугольника. Представляют они собой внутренние отрезки, построенные из углов на противоположные стороны. Линия, соединяющая вершину с серединой противоположной грани, называется медианой. Луч, разделяющий угол на 2 равные части — это биссектриса, а перпендикуляр, построенный к стороне — высота.

В любом правильном треугольнике можно начертить 3 отрезка. Если отложить медиану, а потом биссектрису и высоту, можно заметить, что эти линии совпадут. Эта особенность и есть замечательным свойством равностороннего многоугольника, то есть если в любой другой трёхугольной фигуре можно построить 12 особых линий, то в рассматриваемом только 3.

Доказать это утверждение можно следующим образом: пусть имеется треугольник АВС, в котором проведена высота ВH. Далее, рассуждения нужно построить так:

1. Отрезок BH перпендикулярен прямой AC по построению.
2. Точка H разделяет отрезок AC на AD и CD. Если это утверждение будет верным, это означает, что построенная высота BH будет медианой треугольника.
3. Отрезок BH создаёт в многоугольнике 2 угла — ∠ABH и ∠CBH. При верности этого утверждения можно утверждать, что отрезок BH является биссектрисой.

Если создать зеркальное отражение треугольнику и совместить его с оригинальным, все углы попарно совместятся. Совпадут и стороны. Так как ВH — высота, она перпендикуляр. Значит, в точке H отрезок образует прямой угол с боковой гранью AC. Отсюда следует, что образованные треугольники AHB и CBH прямоугольные.

Они являются равными по общей гипотенузе и острому углу. Это следует из того, что правильный многоугольник — частный случай равнобедренного. Так как треугольники совпадают, у них одинаковые углы ABH и CBH. Причём они смежные, поэтому BH — биссектриса. В то же время точка H делит AC на 2 равных отрезка, значит, BH — медиана.

Точка, в которой пересекаются отрезки, будет центром тяжести фигуры. Её особенность в том, что она разделяет эту линию на 2 части в отношении 2 к 1, если считать от угла. Кроме этого, из-за равенства медианы и биссектрисы эта точка будет и ортоцентром.

Основные формулы

Для каждого треугольника существует набор формул, с помощью которых можно определить его элементы. Чаще всего приходится выяснять длины сторон, площадь, высоты и периметр. При этом если известны боковые грани, можно найти практически любые остальные параметры.

Вокруг правильной фигуры можно описать круг, причём окружность можно и вписать в середину. Что интересно, их центры совпадут между собой и с местом пересечения высот. В этом случае радиус внешнего круга равняется R = (a * √‎3) / 3 = a / 2 * sin (a), а внутреннего: r = (a * √‎3) / 6 = R / 2. Чтобы найти высоту, зная радиус, используют выражение: h = (3 *R) / 2. Кроме этой формулы, довольно часто применяют равенство, связывающее сторону и перпендикуляр: h = (a * √‎3) / 2.

Доказательство верности формулы для нахождения радиуса вписанной окружности можно построить исходя из выражения, справедливого к равнобедренной фигуре: r = b / 2 √(‎(2 a — b) / (2 a + b)). Так как стороны равны, то a = b. Получается, что r = a / 2 √‎(2a — a) / (2a + a) = (a / 2) * √‎(1 / 3) = a / (2 * √‎3) = (a √‎3) / 6.

Чтобы определить длину стороны, нужно знать высоту и теорему Пифагора. Согласно ей, квадрат гипотенузы находится как сумма квадратов высоты и длины разделённого основания. Применяя теорему к правильной фигуре, можно записать: AB² = h² + (AB / 2)². Это равенство решают следующим образом: AB² = h² + AB² / 2². Выражение можно преобразовать в вид: (3a² / 4) = h ² → a ² = (4 * h²) / 3 → a ² = √‎((4 * h²) / 3) → a = (2 * h) / √3.

Из других существующих формул можно перечислить те, что чаще всего применяют при решении примеров:

1. Площадь. Находят из выражения: S = (a ² * √3) / 4. Вывести эту формулу довольно просто. Если взять за основу, что равенство для площади верно, то исходя из свойств фигуры можно записать: S = ½ * a² * sin 60 = ½ * a² * √3 / 2 = (√3 / 4) * a². Что и следовало доказать.
2. Периметр. Чтобы его определить, нужно сложить длины всех сторон, но так как в правильной фигуре они равны, можно воспользоваться формулой: P = 3 * a.

Существуют ещё 2 значимые теоремы: косинусов и синусов. Согласно первой, квадрат стороны фигуры будет ранятся удвоенному произведению двух оставшихся отрезков и косинусу угла между ними, отнятому из суммы квадратов: a² = b² + c² — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, длины отрезков пропорциональны синусам углов, лежащих напротив: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sinс.

Решение задач

Чтобы уметь решать различные задания, связанные с треугольником, нужно помнить всего несколько формул. Но понадобится знать, что углы в фигуре равны друг другу и составляют 60 градусов. Часто придётся применять и теорему Пифагора. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в седьмом классе:

1. Какой будет радиус вписанной в правильный треугольник окружности, если его высота равняется 9 см. Зная свойство фигуры, решить задачу можно за пару секунд. Так как радиус равен 1/3 высоты, ответом на задачу будет: r = h / 3 = 9 / 3 = 3 см.
2. Сторона равностороннего треугольника равняется корню из трёх. Определить диаметр описанной окружности. Известно, что отношение синуса к противолежащему углу составляет 2R. Следовательно: R = a / 2 * sin (a) = √‎3 * 2 / 2 * √‎3 = 1.
3. Вокруг треугольной фигуры со стороной 8 √‎3 описан круг. Узнать его радиус. Эта задача в 2 действия. Используя формулу для нахождения вписанного радиуса и определение r = R / 2 можно записать: R = 2 * a * √‎3 / 6 = 2 * 8 * √‎3 * √‎3 / 6 = 2 * 4 = 8.
4. Пусть имеется квадрат, вокруг которого описана окружность. В ней так же располагается правильный треугольник. Периметр треугольной фигуры равен 9 √‎ 6. Нужно вычислить сумму всех сторон квадрата. На первом шаге необходимо определить длину боковой грани треугольника. Найти её можно по формуле: a = 3 √‎6. Теперь возможно рассчитать радиус описанной окружности: a = R * √‎3. Выполнив подстановку, найти ответ несложно: R = 3 √‎6 / √‎3 = 3 * √‎2. На третьем шаге можно выяснить, чему равняется сторона четырёхугольника. В этом поможет равенство: 3 √‎2 = (n √‎2) / 2. Отсюда n = 6. Значит, периметр квадрата равняется: P = 4 * 6 = 24.

Проверить правильность решения, возможно, используя онлайн-калькуляторы. Это сервисы, которые предлагают бесплатно вычислить элементы правильной фигуры. При этом от пользователя требуется лишь внести в специальную форму исходные данные и нажать кнопку «Рассчитать».

Следует отметить, что выучить наизусть все формулы сложно, поэтому обычно используют логическое мышление и теоремы синусов-косинусов. Учитывая, что любой угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусов практически любую формулу вывести можно самостоятельно.