Содержание:

Доказательство теоремы

Чтобы подтвердить такую теорему, можно действовать несколькими способами. Один из самых простых и понятных – это использование параллельных прямых.

Рассмотрим треугольник ABC и нарисуем через точку A прямую, параллельную стороне BC. Обозначим точку пересечения этой прямой со стороной AB через D, а точку пересечения со стороной AC через E.

∠CAD и ∠ADE будут равны, так как они соответственные при параллельных прямых. Аналогично, ∠ABC и ∠CDE одинаковы.

Из этого следует, что ∠CAD + ∠ABC + ∠AED + ∠CDE = 180°. Заметим, что ∠CAD равен ∠BAC, а ∠ABC равен ∠BCA.

Подставив эти равенства в формулу, получаем: ∠BAC + ∠BCA + ∠ACB = 180°. Именно этот результат и является подтверждением теоремы, рассказывающей о суммировании углов треугольника.

Также возможно привести доказательства данного утверждения, используя сходные треугольники. В любом случае, мы получаем один и тот же результат – сумма углов обязательно равна 180 градусам.

сумма углов прямоугольного треугольника

Примеры решения задач

Рассмотрим несколько примеров задач, где используется теорема об углах треугольника.

Пример 1

Даны два угла треугольника: один равен 50°, а второй – 70°. Найдите третий угол.

Решение:

Согласно ранее подтвержденной теореме, результат суммирования углов обязательно получится 180°. Значит, чтобы найти третий угол, нужно вычесть сумму двух известных из 180°: 180 – 50 – 70 = 60°.

Ответ: третий угол равен 60°.

Пример 2

В треугольнике ABC ∠А равен 50°, а ∠В в 3 раза больше угла А. Найдите ∠С.

Решение:

Ориентируемся на теорему, поэтому сумма углов непременно будет 180°. Значит, чтобы найти ∠С, нужно рассчитать значение угла В: ∠В = 3 × 50 = 150°.

Теперь мы знаем значения двух углов (А и В), поэтому можем узнать ∠С, вычитая сумму углов А и В из 180°: С = 180 – 50 – 150 = -20°.

Полученное значение ∠С является отрицательным, что говорит о том, что данный треугольник не существует.

Ответ: данный треугольник не существует.

Пример 3

В прямоугольном треугольнике АВС ∠А равен 90°, а ∠В равен 30°. Найдите ∠С.

Решение:

Так как АВС является прямоугольным, то ∠С является прямым и равен 90°. Сумма углов прямоугольного треугольника равняется 180°, значит, чтобы найти ∠С, нужно узнать значение угла А: ∠А = 180 – 90 – 30 = 60°.

Ответ: ∠С в прямоугольном треугольнике АВС равен 90°, ∠А равен 60°.