Целые числа - определение, свойства и арифметические действия с ними

Исторические данные

Математика зародилась одновременно с необходимостью подсчета. Группа натуральных чисел появилась еще во времена первобытных людей. Они считали количество овец, дней, людей. Позже человек познакомился со сложением и вычитанием. Умножение и деление появились позже, их считали пакетными суммой и разностью (к примеру, 2х3 = 2+2+2).

Ноль первыми начали применять индийские математики. Сначала он использовался как цифра для позиционной записи чисел, постепенно он превратился в полноценную. В Древнем Китае и Индии возникла отрицательная группа, хотя Вавилон, Греция и Египет были не согласны с ее существованим. Если в результате расчетов получалось значение со знаком минус, его отвергали как невозможное. Но Диофант в третьем веке уже умел умножать отрицательные цифры. А через четыре столетия их важность признали и другие математики.

В Европе отрицательные числа считались мнимыми, ложными или абсурдными. И только после выхода работы Пизанского «Книга абака» в 1202 их начали использовать для записи долгов. В XVII веке появилась аналитическая геометрия, цифры со знаком минус нашли свое место на координатной оси. Но еще долгое время оставались непонятными арифметические действия с ними. А в XIX столетии Гамильтон и Грассман создали полную теорию отрицательных чисел.

Свойства чисел

В математике существуют три основных арифметических действия: умножение, сложение и вычитание. И для каждой операции множеству целых чисел присущи некоторые свойства:

• вычитание и сложение — коммутативность, ассоциативность, противоположного элемента и нуля;
• возведение в степень и умножение — добавляется дистрибутивность и свойство единицы;
• упорядоченность;
• делимость.

В первом случае используется правило знаков при открытии скобок: -(-а) = а, -(а+в) = -а-в, -(а-в) = -а+в. Если складываются только положительные или отрицательные значения, то суммируются их величины. А если знаки разные, то из большего вычитают меньшее и приписывают символ уменьшаемого. С целыми выражениями вычитание выполнимо всегда. Некоторым сложно считать выражения с разными знаками. Тогда можно представить себе цифры на координатной оси. При сложении положительных нужно двигаться вправо, отрицательных — влево. В случае вычитания все наоборот.

Произведение чисел с разными знаками отрицательно, в остальных случаях оно положительно: (-а)в = а (-в) = -ав и (-а)(-в) = ав. Целые цифры возводятся в степень так же, как и натуральные. Если это произведение, то нужно возвести каждый множитель, в выражениях с одинаковым основанием показатели складываются, при делении они вычитаются.

Упорядоченность необходима для сравнения целых чисел. Положительными являются те, что больше нуля, отрицательными — меньше. При сравнении выражений с минусовыми знаками большим оказывается то, у которого меньше абсолютная величина.

Делиться целый ряд может с остатком или нацело. В первом случае формула будет содержать делимое, делитель, неполное частное и всегда положительный остаток. Если это деление нацело, то остаток равен нулю. У каждого целого выражения n, которое не равно 0 или 1, есть четыре тривиальных делителя: n и — n, 1 и -1. Если других нет, то это выражение называется простым.

В алгебре для натуральных чисел есть возможность разложить их на простые множители. Это же определение присуще и целой группе, но нужно учитывать знаки.

Основные виды

Есть несколько видов целых выражений, которыми можно оперировать при расчетах. Основные из них:

• вещественные;
• неположительные;
• неотрицательные.

В некоторых задачах ответ нужно округлить до целого значения, то есть заменить его более подходящим выражением из этого ряда. Если оно изменяется в меньшую сторону, то обозначается по правилу Гаусса или Лежандра: [ x ] или E (x). А когда нужно округлить до большего значения, то применяется функция «потолок». Также можно убрать дробную часть или записать ближайшее целое число.

Вещественный ряд в любом случае можно приблизить рациональным, это связывает его с целыми выражениями.

Лучшим инструментом для выполнения этой задачи считаются цепные или непрерывные дроби. К примеру, необходимо разложить число Пи: десятичную дробь 3,14159265 записывают в виде обыкновенных и целого числа — 3, 22/7, 333/106, 355/113. Наиболее подходящим является второе выражение — 22/7.

Целые выражения бывают неположительными и неотрицательными. К первым относят все со знаком минус и нуль, ко вторым — со знаком плюс. А сам 0 нельзя назвать ни положительным, ни отрицательным. Используется такое высказывание для упрощения. Можно не говорить, что а больше или равно нулю, достаточно сказать: оно неотрицательное. Простые примеры целых чисел для двух случаев: 0, 13, 28 и 0, -7, -24.

Описание изменения величин

Класс целых значений применяется для описания изменения различных величин. В частности, с их помощью решают простые задачи: на складе хранится 400 насосов, 300 привезли вчера, а 200 увезли сегодня, нужно найти остаток. Если добавилось 300 предметов, то их записывают со знаком плюс: 400+300 = 700. А для уменьшения количества перед числом ставят минус: 700−200 = 500. Искомое выражение — 500 насосов. Если никаких передвижений товаров не будет, то на неизменность количества укажет нуль.

Основное преимущество целых значений перед натуральными заключается в том, что они четко характеризуют увеличение или уменьшение величин. Удобно использовать их при описании температуры воздуха. Мороз записывают именно отрицательными числами, а тепло — положительными.

А также они применяются в финансовых расчетах. Если человек должен отдать кому-то 10 долларов, то на данный момент у него есть -10 долл. То есть долги можно записать отрицательными числами, а прибыль — положительными. Общую задолженность также узнают с помощью целого ряда: если за электроэнергию нужно заплатить 200 рублей, а за квартплату отдать 100, то вместе счет за коммунальные платежи -200+(-100) = -300 р.

Применение в науках

После того, как стало понятно, что такое целое число в математике, можно разобраться с его применением. А используют этот тип чисел в разных сферах:

• прикладные науки;
• информатика;
• общая алгебра.

При исследованиях различных объектов природы некоторые данные записываются отрицательными и положительными числами. Это удобно в том случае, если приходится составлять таблицы для финансовых отчетов, формировать задачи с неделимыми предметами — временными периодами, единицами техники, живыми объектами.

В физике для описания микромира используются маленькие квантовые числа, все они являются целыми или полуцелыми. А для решения задач с ними разработаны специальные математические методы: теория диофантовых уравнений или целочисленное программирование.

Информатика также оперирует целыми числами. В этой сфере они используются как один из видов данных в языках программирования. Они превращаются в фиксированный набор битов, один из них кодирует знак, а другой сами цифры. У современных компьютеров есть большой набор команд для операций с целочисленными выражениями. В общей алгебре выстроена четкая иерархия множеств. Натуральные числа входят в целые, которые включены в рациональные. Также есть вещественные и иррациональные выражения.

Множества чисел бесконечны. Целых столько же, сколько и натуральных. На них похожи некоторые алгебраические структуры: гауссовы комплексные и формулы Эйзенштейна. С целыми значениями можно выполнять любые арифметические действия, осуществлять проверки и описывать изменения величин.