Теорема Пифагора - формула, доказательство и примеры применения

Общие сведения

Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника описывает теорема Пифагора, формула которой позволяет определить неизвестную сторону. Однако возникают случаи, когда это сделать сложно. Причина заключается в отсутствии знаний в области геометрии. Теорему еще называют утверждением или гипотезой, которые следует доказать. Хотя она уже доказана, но порядок доказательства должен знать каждый.

Процедуру следует сделать самостоятельно, поскольку благодаря постоянной практике развивается мышление. Специалисты рекомендуют ознакомиться с теоремами и способами их доказательств, поскольку этот факт может существенно помочь в решении какой-либо сложной задачи. Однако сначала нужно ознакомиться с аксиомами геометрии Евклида.

Формулировка аксиом

Евклидовая, или плоскостная геометрия основана на аксиомах (базовое утверждение или факт) и теоремах. Первой считается утверждение, которое не требует доказательств. Примером такого «термина» является книга. Она является именно «книгой», а не стулом или столом. Иными словами, аксиома — это факт, общепринятый в научных кругах. Можно привести много таких примеров.

Теоремой (утверждением или гипотезой) называется научное предположение, которое нужно доказать каким-либо методом, используя аксиомы и определения. В плоскостной геометрии ученые выделяют пять базовых фактов:

1. На ограниченном пространстве существует множество точек, а через две из них можно провести только одну прямую.
2. Если на некотором пространстве, ограниченном плоскостью, существует прямая и точка, не лежащая на ней, то через последнюю можно провести только одну прямую, параллельную первой.
3. На любой прямой существует точка, которая лежит между двумя соседними.
4. Равенство отрезков: если на плоскости существуют три отрезка (угла), причем первый равен второму, а второй — третьему, то все отрезки равны между собой.
5. Аксиома Архимеда заключается в следующем: если существует произвольная прямая, а на ней лежат два отрезка с тремя точками на каждом, и расстояния между точками одного равны расстояниям между точками другого, то такие отрезки равны между собой.

Чтобы понять первую аксиому евклидовой геометрии, нужно представить некоторую плоскость, ограниченную отрезками.

Примером может послужить обыкновенный лист бумаги. На нем можно отметить любую точку. Далее можно отметить еще одну и провести через нее прямую.

После этого можно отметить еще одну точку, которая не должна лежать на прямой. Затем необходимо отметить вторую так, чтобы через нее можно было провести параллельную прямую исходной. Если отметить еще одну точку и попробовать провести еще одну прямую, то она не будет параллельна первой. Далее необходимо отметить на любой из двух прямых точку, которая будет лежать между двумя другими. Если продолжить эти действия, то можно сделать вывод о достоверности утверждения.

После этого можно провести еще одну прямую. На листе бумаги их будет три. Затем следует отметить на каждой отрезки: первый должен быть равен второму, а второй — третьему. Померив их, можно самостоятельно сделать вывод о равенстве третьего первому.

Элементарные фигуры

Точка в геометрии считается базовой единицей. С ее помощью формируются более сложные фигуры, к которым относятся прямая, луч и отрезок. Первой называется бесконечная линия, не имеющая начала и конца. Она является плоской и лежит всегда только в одной плоскости. Это утверждение справедливо только для евклидовой геометрии. В науке об объемных телах прямая может существовать одновременно в нескольких плоскостях, поскольку происходит преломление из-за времени и искажений (аномальных зон).

Лучом называется фигура, у которой есть начало (исходит из некоторой точки), но нет конца. Отрезком называется линия, ограниченная с двух сторон некоторыми точками. Последние называются границами. Каждый элемент применяется для построения фигур. Луч и отрезок могут лежать на прямой. В некоторых случаях отрезок также может входить в состав луча.

Теорема Пифагора

Открытие связи между сторонами прямоугольного треугольника принадлежит Пифагору. Для вычисления сторон применялись обыкновенные счеты, которые были также разработаны этим древнегреческим ученым. В геометрии существует прямая и обратная теоремы. В первом случае формулировка имеет такой вид: в произвольном прямоугольном треугольнике квадрат его гипотенузы «с» эквивалентен сумме квадратов остальных его сторон (а и и), т. е. катетов.

В математическом виде утверждение записывается следующим образом: с ² = а ² + b ² . Следует знать, что треугольники бывают нескольких видов: равнобедренными, равносторонними и разносторонними.

Однако существует и обратная теорема Пифагора: если для произвольного треугольника со сторонами а, b и с выполняется тождество c ² = а ² + b ² (с > a и с > b), то он является прямоугольным. В источниках существует множество доказательств теоремы Пифагора (около 350 проектов). Среди них можно выделить несколько основных, которые следует рассмотреть:

1. Через подобие треугольников.
2. Метод площадей.
3. На основании бесконечно малых величин.

Наиболее распространенным методом считается первый. Однако следует для общего развития ознакомиться и с остальными алгоритмами, доказывающими основное тождество.

Подобие треугольников

На уроках в учебных заведениях большой популярностью пользуется простая методика, построенная на подобии треугольников. Формула выводится алгебраическим способом из аксиом. Для доказательства следует начертить произвольный прямоугольный треугольник АВС, у которого имеются такие параметры:

1. ВС = а.
2. АС = b.
3. АВ = с.

Далее следует провести высоту из точки С на гипотенузу АВ. Она образует со стороной треугольника прямой угол ∠АНС = ∠ВНС. Образовались два подобных треугольника АВС и АСН (СВН). Они подобны по двум углам.

Следовательно, справедливы для этого случая отношения: а / с = НВ / а и b / с = АН / b. По правилам пропорции можно осуществить перемножение крайних и средних членов: а ² = c * НВ и b ² = c * AH. Если произвести сложение частей, то получается такое тождество: а^ + b ² = c * [НВ + AH] = c ² . Утверждение доказано.

Метод площадей

В истории известно доказательство Евклида, основанное на методике сопоставления площадей. Оно направлено на установку равенства площадей прямоугольников, которые образованы в результате рассечения квадрата над гипотенузой из прямого угла. Над катетами также есть фигуры в виде квадратов. Для прямоугольного треугольника строится некоторая высота. Луч, продолжающий ее, разбивает квадрат над гипотенузой на 2 прямоугольника.

Равенство последних доказывается через эквивалентность треугольников. Площадь одного из них эквивалентна половине величины площади прямоугольника. У прямоугольников есть общая сторона — катет вышеописанного треугольника. Следовательно, площадь квадрата над гипотенузой соответствует сумме площадей прямоугольников над катетами. Утверждение доказано.

Еще одним примером доказательства является утверждение о том, что площади (S) некоторых подобных треугольников относятся друг к другу, как квадраты сторон. Для доказательства следует построить прямоугольный треугольник АВС, а затем провести высоту АD к гипотенузе ВС. Треугольники АВС и АВD подобны, поскольку имеют прямые углы, а ∠АВD — общий. Следовательно, S|АВС| / S|АВD| = AB ² / BC ² и S|АВС| / S|АСD| = AС ² / BC ² .

На основании того, что S|АВD| + S|АСD| = S|АВС|, можно сделать вывод следующего соотношения: [АВ ² + AC ² ] / BC ² = 1. Далее можно записать выражение в виде линейного тождества, избавившись от черты дроби: АВ ² + AC ² = BC ² .

Бесконечно малые величины

Еще одним интересным способом является доказательство теоремы методом введения бесконечно малых величин. Он основан на интегральном исчислении. В этом случае необходимо составить дифференциальное уравнение, а затем найти его первообразную. Методика Харди основана на бесконечно малых приращениях катетов а и b, а также и гипотенузы c.

После этого следует ввести некоторую величину d. Если осуществить приращение катета a на d (da), а b оставить постоянной величиной (b = const), то гипотенуза также будет иметь приращение dc. При этом должно выполняться равенство: da / dc = с / а. При разделении переменных можно составить обобщенное дифференциальное уравнение c * dc = a * da. Чтобы его решить, нужно выполнить интегрирование правой и левой части.

Далее получается такое соотношение: с ² = a ² + const. Начальные условия а = 0 и с = b позволяют определить const = b ² . Из этого можно сделать вывод о том, что основное тождество доказано, т. е. a ² + b ² = c ² . Этот тип доказательства принадлежит к целочисленным методикам. Для решения дифференциальных уравнений можно использовать онлайн-калькулятор.

Пример решения

Любая теория является незавершенной моделью интерактивного обучения. Следует разобрать пример теоремы Пифагора на практике. Например, существует треугольник с катетами а = 12 и b = 9. Необходимо найти его третью сторону «с». Решить задание можно, используя закон соотношения сторон.

Расчет осуществляется таким образом: с ² = 12 ² + 9 ² = 144 + 81 = 225 (ед ² ). Если извлечь квадратный корень из результата, то получается значение гипотенузы с = 15 (ед). Специалисты рекомендуют обратить внимание на значения размерностей в скобках.

Необходимо руководствоваться таким правилом: когда не указана единица измерения, тогда нужно указывать ее условно. Например, в условии дана размерность а = 12 м и b = 9 м. Формула для вычисления приобретает такой вид: с ² = 12 ² + 9 ² = 144 + 81 = 225 м ² и с = 15 м.

Однако такие задания бывают только в классах со слабой успеваемостью или на первоначальных этапах обучения. Встречаются более сложные виды, в которых фигурируют доказательства некоторых тождеств, а также составление уравнений. Некоторые соотношения следует доказать, используя различные математические преобразования.

Таким образом, теорема Пифагора получила широкое применение в доказательстве других более сложных утверждений, а также используется при решении задач.