Формула понижения степени - методы и примеры преобразования функций
Общие сведения
Развитие геометрии привело к появлению отдельного раздела в математике, названного тригонометрией. Она занимается функциями угла. Для описания величин используется шесть основных понятий:
- Синус — острый угол, прямо пропорциональный противолежащему катету и обратно пропорциональный гипотенузе.
- Косинус — определяет значение отношения прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенс — является величиной, противоположной тангенсу.
- Секанс — функция, представляющая собой дробь из гипотенузы и прилежащего катета.
- Косеканс — величина, обратная секансу.
Связь между этими величинами устанавливается на основе различных формул. Существуют таблицы, в которых приводятся правила сложения, вычитания, произведения, нахождения половинного и тройного угла. Наряду с ними всегда указываются и формулы понижения степени тригонометрических функций.
Эти теоремы и правила нужно запомнить. Тогда решение задач любой сложности, связанных с тригонометрией, не доставит проблем.
Преобразование степеней тесно связано с понятием кратности угла. Дело в том, что при понижении степени функции величина угла увеличивается. Если угол был просто альфа, то после преобразования он увеличится в несколько раз. Обычно это не влияет на сложность. При необходимости выражение можно будет разложить или выполнить дальнейшее сокращение.
Определение и доказательство формул понижения даётся на уроках математики в восьмом классе общей школы. Но приступают к их изучению лишь после освоения тригонометрических тождеств и формул приведения. При этом важно знать и про универсальную подстановку. Она позволяет выразить любую функцию рационально без корней, через тангенс.
Так, выражение синуса, косинуса, тангенса и котангенса через тангенс половинного угла будет выглядеть следующим образом:
- sin u = (2 * tg u / 2) / (1 + tg 2 u / 2);
- cos u = (1 — tg u / 2) / (1 + tg 2 u / 2);
- tg u = (2 * tg u / 2) / (1 — tg 2 u / 2);
- tg u = (1 — tg2 u / 2) / (2 + tg u / 2).
Следует заметить, что все формулы в тригонометрии справедливы в обе стороны. Это важно, так как в ряде задач, наоборот, нужно будет повышать степень функции.
Формулы понижения
При выполнении преобразования нужно понимать, что выражения, например, sinx или cosx, являются неделимым целым. Воспринимать их нужно как какое-то число.
Например, sin2x — cos2x тождественно выражению i2 — c2. Значит, можно применить формулу разности квадратов: sin2x — cos2x = (sinx — cosx) * (sinx — cosx).Этот принцип используется при получении многих тригонометрических формул вместе с методом разложения на множители, который изучают в курсе алгебры за седьмой класс.
Кроме этого, зная формулы синуса и косинуса, суммы аргументов, можно перейти к записи функции двойного угла. Так, cos (u + c) = cosu * cosc — sinu * sinc. Если u = c, то выражение примет вид cos 2u = cos 2u— cos 2 c. Соответственно можно найти синус суммы двух аргументов, равный удвоенному произведению синуса на косинус. Эти формулы часто приходится применять при операциях по понижению степени.
При упрощении уравнений методом понижения степени необходимо использовать следующие формулы:
- Понижение квадрата: sin2 i = ½ * (1 — cos2i); cos2 i = ½ * (1 * cos2i); sin2 i = (1-cos2i) * (1 + cos2i); cos2 i = (1+ cos2i) * (1 — cos2i).
- Уменьшение куба: sin3 i = (3sini — sin3i) / 4; cos3i = (3 cosi + cos3i) / 4; sin3 ii = (3sini — sin3i) / (3cosi + cos3i); sin3 i = (3sini + sin3i) / (3 cos i — cos3i).
- Преобразование четвёртой степени: sin4 i = (3 — 4 cos2i + cos4i) / 8; sin4 i = 3 + 4cos2i + cos4i / 8.
Это основные формулы, широко использующиеся на практике. При этом в дополнение к ним применяют выражения для половинного угла. Они позволяют перейти от второй степени к первой. Тождества выглядят следующим образом:
- sin2u / 2 = (1 — cos u) / 2;
- cos2u / 2 = (1+cos u) / 2;
- tg2u / 2 = (1 — cos u) / (1+cos u);
- ctg2u / 2 = (1+cos u) / (1−cos u).
Тут следует отметить, что произведение синуса на косинус со степенью в аргументе также позволяет понизить показатель до единицы. Например, для квадратной степени будет справедливой запись sin 2 u* cos2u = (1 − cos4u) / 8, а для кубической — (3 sin 2 u − sin 6 u) / 32. Также существует запись для биквадратной степени и даже пятой: (3 − 4 cos4u + cos8 u) / 128; (10 sin 2u − 5sin 6u + sin 10u) / 512.
Вывод формул
В общем виде расписать формулы для уменьшения степени можно как для чётных, так и нечётных показателей. Так, для первых синус в степени λ будет определяться суммой двух многочленов sinλ f = (Cλ / 2 λ ) + 1 / 2 λ -1 * Σ (λ /2) — 1 (-1) * ( λ /2) — k * Cλ * cos ((λ — 2 k) * f, а косинус — sinλ f = (Cλ / 2 λ ) + 1 / 2 λ -1* Σ (λ /2) — 1 * Cλ * cos ((λ — 2 k) * f.
Для вторых показателей формула будет содержать только произведение членов sinλ f = 1 / 2λ -1 * Σ (λ /2) — 1(-1)(λ /2) — k * Cλ * sin ((λ — 2k) * f, для косинуса — 1 / 2λ -1 * Σ (λ /2) — 1 * Cλ * cos ((λ — 2k) * f. При этом нижний предел в сумме — нулевой.
Для доказательства формулы квадрата используют тождественность двойного угла. Синус двойного угла равняется 1 − 2 sin 2, i косинус — 2 cos 2 i − 1. Выразив из первой формулы синус, а и из второй — косинус, можно получить выражения 1 — cos2i и 1 + cos2 i. После деления левой и правой части на два получится искомый результат.
Для кубического синуса или косинуса формулы выводятся двумя методами. Первый способ заключается в применении тригонометрической функции тройного угла. Для синуса доказательство будет выглядеть следующим образом: sin3i = 3 * sini — 4 sin3 i. Убрав в левую часть sin3i, в правой получится доказываемое выражение: (3 * sini — sin3i) / 4. Аналогичные действия нужно выполнить для косинуса: cos3i = 4 * cos3i — 3cosi. Отсюда следует, что cos3i = (3 *cosi — sin3i) / 4. Это и следовало доказать.
Второй способ более наглядный. В нём используются формулы произведения тригонометрических функций.
Для доказательства необходимо расписать кубический синус в следующем виде: sini * sin2i = sin i * (1 — cos2i) / 2 = (sini — sini * cos2i) / 2. Теперь нужно применить формулу произведения: sini * sinc = (sin (i — c) + sin (i + c)) / 2. Отсюда следует, что sin3i = ½ * (sini — (sin (-i)/2) — (sin3i/2) = ½ * ((3 * sini / 2) — (sin3i / 2) = ¼ * (3sini — sin3i). Аналогичным образом доказывается формула для косинусов. Только используют их произведение, а не синусов.
Дальнейшие степени доказываются применением формул понижения квадрата или куба столько раз, сколько потребуется. Для этого функция преобразуется до нужного вида. Например, sin 4 i можно представить как (sin2 i)2, а косинус как cos 4 i = (cos 2 i)2. После выполнения последовательного упрощения в итоге получится доказываемая формула.
Формулы понижения тангенса и котангенса получаются автоматически из функций синуса и косинуса.
Решение простых примеров
Все тригонометрические формулы запомнить тяжело. Чтобы они остались в памяти, необходимо решать практические задания. Начинать нужно с простых примеров. При их вычислении главная задача состоит в понятии алгоритма расчёта и запоминания формул на интуитивном уровне.
Типовые задачи:
- Пусть дано равенство вида cos2 (λ / 3) — sin2 (λ / 3) = 1 / 2. Используя формулу двойного угла, исходное уравнение просто преобразить до состояния cos (2 * λ) / 3 = 1 / 2. Отсюда следует, что 2 * λ / 3 = ± p/3 + 2p * n. Выразив λ, получится ответ: ± p/2 + 6 * p * n.
- Дано равенство sin2λ — cos2λ = 1 / 2. Для решения задачи необходимо левую и правую часть умножить на минус один, чтобы одну из частей можно было преобразовать в косинус двойного угла. Затем следует решить уравнение относительно аргумента 2λ. В итоге равенство примет вид cos2λ = - ½, откуда 2λ = ± 2p/3 + 2pn. Из последнего равенства несложно найти ответ и самостоятельно.
- Определить неизвестное в уравнении cos2(3 * λ + p/4) — sin2 (3 * λ + p/4) + √ 3 / 2 = 0 при λ, принадлежащему области {3 p /4; p }. Косинус квадрат минус синус квадрат — это косинус двойного угла. Поэтому этот аргумент нужно умножить на два, а свободный член перенести в правую часть: cos (2 (3 * λ + p/4)) = - √ 3 / 2. Затем в левой части нужно раскрыть скобки и избавиться от отрицательного знака. После нужно применить к полученному результату формулу приведения. В итоге равенство примет вид sin6λ = √ 3 / 2. Отсюда 6λ = (-1)n p/3 + pn. Выражая λ, обе части нужно разделить на шесть: λ = (-1)n p / 18 + pn / 6. Чтобы найти корни на заданном промежутке, необходимо перебрать n из класса целых чисел. При n = 0, λ = p /18; n = 1, λ = p / 9; n =3, λ = 4p / 9; n = 4, λ = 13p / 18; n = 5, λ = 7p / 9. В пятом случае и возникает первый корень при n = 6, λ = 19 p / 18, что противоречит условию. Значит, корень будет один: λ = 7p / 9.
- Найти корни уравнения, удовлетворяющие неравенство 4 * sin2 λ + sin2 2λ — 3 = 0, при λ меньше четырёх по модулю. Первый член нужно преобразовать, используя уменьшение степени. Второй следует представить в виде тригонометрического тождества, а третий — перенести в правую часть. Получится квадратное уравнение cos2 2λ + 2 * cos2λ = 0. При его решении получится, что cos 2 λ = 0, а λ = p / 4 + pn / 2. Теперь эти точки нужно нанести на график и из него определить нужный интервал.
Сложные задания
Такие задания рассчитаны на уже подготовленных учащихся, знающих и умеющих применять формулы понижения степени косинуса, синуса, тангенса и котангенса. Сложность таких примеров — в нахождении правильного пути решения. Для вычисления ответа можно использовать онлайн-калькулятор. Но лучше, конечно, решать примеры самостоятельно, а с помощью этого инструмента проверять ответ.
Вот пример одной из задач. Нужно вычислить интеграл, в подынтегральном значении которого стоит выражение cos4(2 x) d x. Для начала нужно выполнить подстановку u = 2 x ⟶ d u d x = 2. Это позволит упростить восприятие уравнения. Теперь нужно вычислить выражение ∫ cos4 (u) d u. В нём следует понизить значение подынтегральной функции ∫cosn(u) d u = n − 1 n ∫ cos n − 2 (u) d u + cos n − 1 (u) sin (u) / n.
При n = 4 интеграл будет равняться cos3(u) * 1sin (u) / 4 + 3 / 4 ∫ cos 2 (u) d u. Используя последнюю формулу, нужно выполнить уменьшение степени ещё раз при n =2. Получим cos (u)sin (u) / 2 + 12 ∫ 1d u. Теперь вычислим ∫ 1d u. Интеграл от константы будет равняться u.
Подставив уже вычисленные интегралы, можно получить следующие цифры: ½ ∫ cos4 (u)du = cos 3 (u) * sin (u) / 8 + 3cos (u) * sin (u) / 16 + 3 u / 16. После обратной замены u =2 x можно вычислить ответ: ∫ cos 4(2x) d x = (sin (8x) + 8sin (4x) + 24 x / 64) плюс C. Задача решена.
Хотя в некоторых случаях уравнения могут быть настолько сложными, что для их вычислений понадобится затратить много времени. Поэтому в этом случае всё же есть резон воспользоваться услугами математических сервисов. Тем более, что предоставляют свои услуги они бесплатно. Из наиболее популярных можно выделить:
- SolverCook;
- OnlineMSchool;
- Kontrolniyi-raboti.
Эти сайты отличаются интуитивно понятным интерфейсом и, кроме быстрого расчёта, предоставляют подробное описание процесса вычисления.
Это, в свою очередь, помогает научиться решать примеры самостоятельно. При этом на своих страницах они содержат краткий перечень свойств и формул тригонометрических функций. Так что вопросов о том, как получился тот или иной ответ, возникнуть не должно.
Все тесты
- Биология
- Краткие содержания
- Сочинения
- Пунктуация
- Фонетический разбор
- Пушкин А.С
- Религия
- Карьера
- Информатика
- Физика
- Стихи
- Математика
- Обществознание
- ОБЖ
- История
- Экономика
- Биографии
- Анализ стихотворений
- Русский язык
- Физкультура
- Орфография
- География
- Помощь студенту
- Литература
- Окружающий мир
- Подготовка к ЕГЭ
- Тест на тему Что такое “железное легкое” и как жилось узникам аппарата 5 вопросов
- Тест на тему Суть и методы клеточной инженерии 5 вопросов
- Тест на тему Злаковые растения - общая характеристика, признаки и список представителей 7 вопросов
- Тест на тему Семейство бобовые - общая характеристика, строение и представители 7 вопросов
- Тест на тему Краткое содержание рассказа “Баргамот и Гараська” Л. Андреева 5 вопросов
- Тест на тему Краткое содержание повести “Скотный двор” Д. Оруэлла 5 вопросов
- Тест на тему «Акула» Л. Толстого - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему Русская народная сказка «Хвосты» - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему Краткое содержание оперы «Снегурочка» Римского-Корсакова 5 вопросов
- Тест на тему «Обезьяний язык» М. Зощенко – краткое содержание 10 вопросов
- Тест на тему «Сердце не камень» - краткое содержание пьесы А.Н. Островского 5 вопросов
- Тест на тему Балет «Щелкунчик» — краткое содержание 7 вопросов
- Тест на тему Образ Шарикова в повести «Собачье сердце» М. Булгакова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести «Невский проспект» Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Московские главы в романе «Мастер и Маргарита» Булгакова 7 вопросов
- Тест на тему Описание образа бирюка из рассказа И. Тургенева 7 вопросов
- Тест на тему Образы героев в романе «Отцы и дети» И. Тургенева 7 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести «Котлован» А. Платонова 7 вопросов
- Тест на тему Образы героев в пьесе «Гроза» А. Островского 7 вопросов
- Тест на тему История создания повести Н. В. Гоголя “Шинель” 7 вопросов
- Тест на тему История создания сборника рассказов Тургенева “Записки охотника” 7 вопросов
- Тест на тему История создания повести "Муму" Ивана Тургенева 7 вопросов
- Тест на тему История создания стихотворения "Реквием" Анны Ахматовой 10 вопросов
- Тест на тему История создания повести Гоголя "Тарас Бульба" 10 вопросов
- Тест на тему История создания стихотворения Пушкина "Деревня" 6 вопросов
- Тест на тему История создания стихотворения М. Лермонтова “Нищий” 7 вопросов
- Тест на тему История создания стихотворения "Она сидела на полу" 7 вопросов
- Тест на тему История создания Пушкиным стихотворения "К морю" 6 вопросов
- Тест на тему История создания повести «Станционный смотритель» А. Пушкина 10 вопросов
- Тест на тему История создания «Оды на день восшествия» М. Ломоносова 7 вопросов
- Тест на тему "Банты" - как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Конечно же» - выделяется ли слово запятыми? 5 вопросов
- Тест на тему «Подчеркивать» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Лифты» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Строку» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Апостроф» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Зубчатый» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Прозорлива» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Балашиха» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Реку» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Полно» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Говорено» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Досыта» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Упрочение» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Развила» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Подолгу» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Логин» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Окон» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Втридорога» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Утра» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Запломбированный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Цыган» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Шарфы» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Бармен» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Положенный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Крадущийся» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Донизу» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Явишься» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Ободрить» - как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Предприняв» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Прочтено» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Низок» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Исчерпать» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Роба» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Исчерпывающий» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Будучи» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Понятым» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Повторен» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Изредка» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Донельзя» − как ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Загодя» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Принужден» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Опошлить» − как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Краны» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Торты» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Инструмент» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Брало» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Забрала» − как правильно ставить ударение? 5 вопросов
- Тест на тему «Отзыв» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Рефлексия» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему Суть “дела Дрейфуса” и реакция общества 5 вопросов
- Тест на тему Деятельность партии монтаньяров во Франции 5 вопросов
- Тест на тему Традиции и обычаи украинского народа 5 вопросов
- Тест на тему Причины закрытия Японии в 17 веке и последствия 5 вопросов
- Тест на тему Подготовка и содержание генерального плана “Ост” 5 вопросов
- Тест на тему Тайны убийства Петра Столыпина 5 вопросов
- Тест на тему Отмена подушной подати на Руси 5 вопросов
- Тест на тему Период регентства Елены Глинской: события и реформы 5 вопросов
- Тест на тему Экономика России в годы Первой мировой войны 5 вопросов
- Тест на тему Битва при деревне Лесной 28 сентября 1708 года 5 вопросов
- Тест на тему 10 любопытных фактов про Рождество 5 вопросов
- Тест на тему 10 любопытных фактов про Новый год 5 вопросов
- Тест на тему История потешных полков Петра Первого 5 вопросов
- Тест на тему Образование и распад тушинского лагеря при Лжедмитрии II 5 вопросов
- Тест на тему Чем ведал и какие функции выполнял Разрядный приказ? 5 вопросов
- Тест на тему Задачи и направления внешней политики России в 16 веке 5 вопросов
- Тест на тему Установление и отмена бессрочного сыска беглых крестьян на Руси 5 вопросов
- Тест на тему История создания и деятельности Вольного экономического общества 5 вопросов
- Тест на тему Период правления Вещего Олега: внешняя и внутренняя политика 5 вопросов
- Тест на тему Правление и политика князя Игоря 5 вопросов
- Тест на тему Суть и последствия Нерчинского договора России с Китаем 1689 года 5 вопросов
- Тест на тему Причины, ход и итоги войны за польское наследство 1733-1735 гг. 5 вопросов
- Тест на тему Восстановление экономики СССР после Великой Отечественной Войны 5 вопросов
- Тест на тему Как и зачем были созданы полки иноземного строя 5 вопросов
- Тест на тему Создание стрелецких войск при Иване Грозном 5 вопросов
- Тест на тему Причины, ход событий и итоги выступления старообрядцев при Петре I 7 вопросов
- Тест на тему Как и почему началась Ливонская война: основные причины 5 вопросов
- Тест на тему К чему привела опричнина Ивана Грозного: последствия для страны 5 вопросов
- Тест на тему Положение черносошных крестьян на Руси 5 вопросов
- Тест на тему История Астраханского восстания: причины, события, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Деятельность Великого посольства Петра I 5 вопросов
- Тест на тему Герои отечественной войны 1812 года - характеристика участников и полководцев 5 вопросов
- Тест на тему Развитие системы образования и науки в первой половине 19 века 6 вопросов
- Тест на тему Первые князья Киевской Руси - даты правления и особенности проводимой политики 7 вопросов
- Тест на тему Характеристика, периоды развития жизни в Палеозойскй эре 7 вопросов
- Тест на тему История праздника 23 февраля - происхождение и значение для России 7 вопросов
- Тест на тему Кто придумал отмечать 8 марта: история праздника 8 вопросов
- Тест на тему Славянские праздники - список праздников, обрядов и обычаев славян 10 вопросов
- Тест на тему Биография поэта и писателя Льва Рубинштейна 5 вопросов
- Тест на тему Биография президента Белоруссии Александра Лукашенко 5 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов про Афанасия Фета 5 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов про Ивана Тургенева 5 вопросов
- Тест на тему Биография писателя и поэта Вячеслава Урюпина 5 вопросов
- Тест на тему Биография поэта Николая Михайловича Рубцова 5 вопросов
- Тест на тему Биография поэта Андрея Дмитриевича Дементьева 5 вопросов
- Тест на тему Биография президента РФ Владимира Путина 5 вопросов
- Тест на тему Биография и личная жизнь Даниила Хармса 5 вопросов
- Тест на тему Краткая биография Валентины Осеевой 5 вопросов
- Тест на тему Григорий Остер: биография писателя и избранные произведения 7 вопросов
- Тест на тему Елена Благинина: творческая биография и личная жизнь 10 вопросов
- Тест на тему Биография детской писательницы Ирины Пивоваровой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Догорел апрельский светлый вечер…» И. Бунина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Фонтан» Ф. Тютчева 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Посмотри - какая мгла» Я. Полонского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Школьник» Н. Некрасова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Несжатая полоса» Н. Некрасова 5 вопросов
- Тест на тему «Весенний дождь» - анализ стихотворения А.А. Фета 7 вопросов
- Тест на тему «Поет зима - аукает» - анализ стихотворения С.А. Есенина 7 вопросов
- Тест на тему Сообщение на тему: «Традиции русской речевой манеры общения» 5 вопросов
- Тест на тему Определение и виды простых осложненных предложений 5 вопросов
- Тест на тему Какие бывают виды текстов? 5 вопросов
- Тест на тему Образование и правописание страдательных причастий настоящего времени 5 вопросов
- Тест на тему Как определить начальную форму прилагательного? 5 вопросов
- Тест на тему Местоимение-прилагательное в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Сборник правил по русскому языку для 6 класса 7 вопросов
- Тест на тему Сборник правил по русскому языку за 5 класс 7 вопросов
- Тест на тему Упражнения для тренировки школьников 7 класса по причастному обороту 9 вопросов
- Тест на тему Тест: Склонение фамилий в русском языке 7 вопросов
- Тест на тему Общеупотребительные и необщеупотребительные слова 5 вопросов
- Тест на тему Дефисное и слитное написание сложных прилагательных 5 вопросов
- Тест на тему Морфологический разбор числительного - правило и примеры 5 вопросов
- Тест на тему Реферат по физкультуре на тему: «Здоровое питание» 5 вопросов
- Тест на тему История развития лыжного спорта в разных странах - классификация и интересные факты 6 вопросов
- Тест на тему Важность самоконтроля при занятиях спортом 5 вопросов
- Тест на тему Как выполняются прыжки через козла? 5 вопросов
- Тест на тему Что такое здоровый образ жизни? 5 вопросов
- Тест на тему Как правильно выполнять кувырки? 5 вопросов
- Тест на тему Развитие гибкости тела: упражнения и польза для тела 5 вопросов
- Тест на тему Виды и польза прыжков через скакалку 5 вопросов
- Тест на тему Какие есть зимние виды спорта? 5 вопросов
- Тест на тему Реферат на тему: “Гимнастика как вид спорта” 8 вопросов
- Тест на тему Реферат по физкультуре на тему “Футбол” 7 вопросов
- Тест на тему Реферат по физкультуре на тему: “Баскетбол - виды и лиги” 7 вопросов
- Тест на тему Реферат на тему «Лыжный спорт» 10 вопросов
- Тест на тему Реферат по физической культуре «Формы и виды закаливания» 10 вопросов
- Тест на тему Правописание слов с непроверяемой безударной гласной в корне 5 вопросов
- Тест на тему Нужно ли ставить запятую к фразе - "с уважением"? 5 вопросов
- Тест на тему «Во-вторых» или «во вторых» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему "Нету" или "нет" - как правильно писать и говорить? 5 вопросов
- Тест на тему «Не я» или «нея» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Полным-полно» или «полным полно» - как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Как пишется «кто-нибудь» или «кто нибудь»? 5 вопросов
- Тест на тему Мягкий знак после шипящих в глаголах - правила, примеры 5 вопросов
- Тест на тему «Потвёрже» или «по твёрже» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Какой-то» или «какой то» – как пишется правильно? 5 вопросов
- Тест на тему «Мало-помалу» или «мало помалу» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «По-осеннему» или «по осеннему» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему "Находу" или "на ходу" - слитно или раздельно писать? 5 вопросов
- Тест на тему "ЮлИчка" или "ЮлЕчка" - как правильно писать? 5 вопросов
- Тест на тему «Не пойму» или «непойму» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Доброе утро» − как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Почему-то» или «почему то» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «На вынос» или «навынос» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Невежливо» или «не вежливо» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Негодуя» или «не годуя» - как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КуриНый» или «куриННый» − как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ТеННис» или «теНис» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ТумаННый» или «тумаНый» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЗамечеННый» или «замечеНый» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Семнадцать» или «семЬнадцать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВыздОравливающий» или «выздАравливающий» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Свеж» или «свежЬ» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «СлаЩе» или «слаДЧе» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПрЕтерпевать» или «прИтерпевать» - как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Удастся» или «удастЬся» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «СписаНо» или «СписаННо» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Происшествие» или «проишествие» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «НачИнающий» или «начЕнающий» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Невозможно» или «не возможно» – как пишется слитно или раздельно? 5 вопросов
- Тест на тему «Налету» или «на лету» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Надолго» или «на долго» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПьющАя» или «пьющЕя» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Неужели» или «не ужели» − как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «НИкого» или «нЕкого» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «БаССейн» или «баСейн» − как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему "Не согласованно" или "несогласованно" - слитно или раздельно? 5 вопросов
- Тест на тему «ОбстОятельствам» или «обстАятельствам» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ОбижеННый» или «обижеНый» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Аллах» или «Алах» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «БелОрусский» или «белАрусский» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЧИсло» или «чЕсло» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «УвЕряющий» или «увИряющий» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «НенасТный» или «ненасный» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Постричь» или «поДстричь» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КоЛея» или «коЛЛея» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика природных зон Поволжья 5 вопросов
- Тест на тему Для каких рек в России характерно летнее половодье? 5 вопросов
- Тест на тему Как правильно заполнять дневник наблюдения за погодой 5 вопросов
- Тест на тему Влажные экваториальные леса - особенности климата, характеристика флоры и фауны 7 вопросов
- Тест на тему Европейский север России - географическое положение, особенности развития предприятий и промышленности 7 вопросов
- Тест на тему Что такое масштаб карты и как его определять 7 вопросов
- Тест на тему Особенности и примеры островных государств 5 вопросов
- Тест на тему Природные зоны Южной Америки - характеристики и особенности 7 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов про океан 7 вопросов
- Тест на тему Сектор Газа: где он находится и откуда такое название? 6 вопросов
- Тест на тему Что нужно сдавать на бухгалтера? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на пилота 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на фотографа? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на хореографа? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на актера? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на режиссера? 5 вопросов
- Тест на тему Что нужно сдавать на художника? 5 вопросов
- Тест на тему Что нужно сдавать для поступления на визажиста? 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на полицейского? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на фармацевта? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы сдавать для поступления на врача? 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на учителя 5 вопросов
- Тест на тему Кадетский корпус - как поступить, чему учат и условия для проживания 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы к поступлению на психолога? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы к поступлению на дизайнера? 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на стюардессу? 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на повара? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы сдавать для поступления на программиста 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы сдавать экзамены на стоматолога? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы сдавать экзамены на маркетолога? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы сдавать экзамены на ветеринара? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы поступать на экономиста? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы к поступлению на юриста? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы поступать на архитектора? 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика Дуняши в романе “Тихий Дон” М. Шолохова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Фамусова - персонажа комедии “Горе от ума” 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика образа Сатина - персонажа пьесы “На дне” М. Горького 5 вопросов
- Тест на тему Анализ повести “Сашка” В. Кондратьева 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика образа Фауста из трагедии Гёте 9 вопросов
- Тест на тему Анализ романа “Портрет Дориана Грея” О. Уайльда 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика колобка - героя русской народной сказки 5 вопросов
- Тест на тему Образ главной героини “Алисы в стране чудес” Л. Кэррола 5 вопросов
- Тест на тему Трактовки образа Иисуса Христа в поэме “Двенадцать” А. Блока 5 вопросов
- Тест на тему Образ Настеньки из повести “Белые ночи” Ф. Достоевского 5 вопросов
- Тест на тему Конфликт в рассказе “После бала” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Образ главной героини повести “Бедная Лиза” Н. Карамзина 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Васютки из рассказа “Васюткино озеро” В. Астафьева 5 вопросов
- Тест на тему Образы чиновников в комедии “Ревизор” Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Роль образа вишневого сада в пьесе А. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика профессора Преображенского в повести “Собачье сердце” М. Булгакова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа городничего в комедии “Ревизор” Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа главного героя “Доктора Живаго” Б. Пастернака 5 вопросов
- Тест на тему Образ Цыганка в повести “Детство” М. Горького 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика Вани Солнцева в повести “Сын полка” В. Катаева 5 вопросов
- Тест на тему Образ автора в поэме "Василий Теркин" А. Твардовского 5 вопросов
- Тест на тему Образ портрета в повести "Портрет" Н. В. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа девушки-ундины из “Героя нашего времени” М. Лермонтова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Натальи Савишной в повести “Детство” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Костылина из “Кавказского пленника”. Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Карла Ивановича в повести “Детство” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Жилина в “Кавказском пленнике” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Дины из “Кавказского пленника” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Вулича из “Героя нашего времени” М. Лермонтова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образов татар в “Кавказском пленнике” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа профессора Пирогова в рассказе “Чудесный доктор” А. Куприна 5 вопросов
- Тест на тему Народные образы героев в сказе «Серебряное копытце» П. Бажова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Акакия Акакиевича Башмачкина из “Шинели” Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Описание образов Лели и Миньки в одноименном рассказе М. Зощенко 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Сотникова из повести “Сотников” В. Быкова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образов родителей в повести “Детство” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Флягина в “Очарованном страннике” Н. Лескова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ комедии «Мещанин во дворянстве» Мольера 5 вопросов
- Тест на тему Описание образов героев рассказа “Галоша” М. Зощенко 5 вопросов
- Тест на тему Образ полковника - отца Вареньки из рассказа “После бала” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Образ шинели в повести Н. В. Гоголя "Шинель" 5 вопросов
- Тест на тему Биография поэта Алексея Васильевича Кольцова 5 вопросов
- Тест на тему «Вечный зов» А. Иванова - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему «Убийство в восточном экспрессе» А. Кристи - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему Образ бабушки в повести «Детство» М. Горького 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа барыни в рассказе «Муму» И. Тургенева 5 вопросов
- Тест на тему Главные произведения, написанные Александром Блоком 5 вопросов
- Тест на тему История создания песни “В лесу родилась елочка” 5 вопросов
- Тест на тему История создания поэмы “Двенадцать” А. Блока 5 вопросов
- Тест на тему История создания повести “Белые ночи” Ф. Достоевского 5 вопросов
- Тест на тему Как люди узнают о том, что было в прошлом? 5 вопросов
- Тест на тему Какие животные впадают в спячку зимой: объяснения зоологов 7 вопросов
- Тест на тему Сообщение по окружающему миру для 4 класса об острове Врангеля 5 вопросов
- Тест на тему Сообщение о морских обитателях - описание, виды и названия 7 вопросов
- Тест на тему Аргументы к сочинению на тему: «Добро и зло в пьесе “Гроза” А. Островского» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы к сочинению 15.3 из пьесы «Горе от ума» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы к итоговому сочинению по рассказу «Матренин двор» А. Солженицына 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения ЕГЭ по роману «Мастер и Маргарита» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы к итоговому сочинению по рассказу «Куст сирени» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения ЕГЭ по «Гарри Поттеру» 5 вопросов