Формула понижения степени - методы и примеры преобразования функций

В общем виде расписать формулы для уменьшения степени можно как для чётных, так и нечётных показателей. Так, для первых синус в степени λ будет определяться суммой двух многочленов sin^λ f = (C^λ / 2 ^λ ) + 1 / 2 ^{λ -1} * Σ ^{(λ /2) — 1} (-1) * ( ^{λ /2) — k} * C^λ * cos ((λ — 2 k) * f, а косинус — sin^λ f = (C^λ / 2 ^λ ) + 1 / 2 ^{λ -1}* Σ ^{(λ /2) — 1} * C^λ * cos ((λ — 2 k) * f.

Для вторых показателей формула будет содержать только произведение членов sin^λ f = 1 / 2^{λ -1} * Σ ^{(λ /2) — 1}(-1)(^{λ /2) — k} * C^λ * sin ((λ — 2k) * f, для косинуса — 1 / 2^{λ -1} * Σ ^{(λ /2) — 1} * C^λ * cos ((λ — 2k) * f. При этом нижний предел в сумме — нулевой.

Для доказательства формулы квадрата используют тождественность двойного угла. Синус двойного угла равняется 1 − 2 sin 2, i косинус — 2 cos ² i − 1. Выразив из первой формулы синус, а и из второй — косинус, можно получить выражения 1 — cos2i и 1 + cos2 i. После деления левой и правой части на два получится искомый результат.

Для кубического синуса или косинуса формулы выводятся двумя методами. Первый способ заключается в применении тригонометрической функции тройного угла. Для синуса доказательство будет выглядеть следующим образом: sin3i = 3 * sini — 4 sin³ i. Убрав в левую часть sin³i, в правой получится доказываемое выражение: (3 * sini — sin3i) / 4. Аналогичные действия нужно выполнить для косинуса: cos3i = 4 * cos³i — 3cosi. Отсюда следует, что cos³i = (3 *cosi — sin3i) / 4. Это и следовало доказать.

Второй способ более наглядный. В нём используются формулы произведения тригонометрических функций.

Для доказательства необходимо расписать кубический синус в следующем виде: sini * sin²i = sin i * (1 — cos2i) / 2 = (sini — sini * cos2i) / 2. Теперь нужно применить формулу произведения: sini * sinc = (sin (i — c) + sin (i + c)) / 2. Отсюда следует, что sin³i = ½ * (sini — (sin (-i)/2) — (sin3i/2) = ½ * ((3 * sini / 2) — (sin3i / 2) = ¼ * (3sini — sin3i). Аналогичным образом доказывается формула для косинусов. Только используют их произведение, а не синусов.

Дальнейшие степени доказываются применением формул понижения квадрата или куба столько раз, сколько потребуется. Для этого функция преобразуется до нужного вида. Например, sin ⁴ i можно представить как (sin² i)², а косинус как cos ⁴ i = (cos ² i)². После выполнения последовательного упрощения в итоге получится доказываемая формула.

Формулы понижения тангенса и котангенса получаются автоматически из функций синуса и косинуса.

Решение простых примеров

Все тригонометрические формулы запомнить тяжело. Чтобы они остались в памяти, необходимо решать практические задания. Начинать нужно с простых примеров. При их вычислении главная задача состоит в понятии алгоритма расчёта и запоминания формул на интуитивном уровне.

Типовые задачи:

1. Пусть дано равенство вида cos² (λ / 3) — sin² (λ / 3) = 1 / 2. Используя формулу двойного угла, исходное уравнение просто преобразить до состояния cos (2 * λ) / 3 = 1 / 2. Отсюда следует, что 2 * λ / 3 = ± p/3 + 2p * n. Выразив λ, получится ответ: ± p/2 + 6 * p * n.
2. Дано равенство sin²λ — cos²λ = 1 / 2. Для решения задачи необходимо левую и правую часть умножить на минус один, чтобы одну из частей можно было преобразовать в косинус двойного угла. Затем следует решить уравнение относительно аргумента 2λ. В итоге равенство примет вид cos2λ = - ½, откуда 2λ = ± 2p/3 + 2pn. Из последнего равенства несложно найти ответ и самостоятельно.
3. Определить неизвестное в уравнении cos²(3 * λ + p/4) — sin² (3 * λ + p/4) + √ 3 / 2 = 0 при λ, принадлежащему области {3 p /4; p }. Косинус квадрат минус синус квадрат — это косинус двойного угла. Поэтому этот аргумент нужно умножить на два, а свободный член перенести в правую часть: cos (2 (3 * λ + p/4)) = - √ 3 / 2. Затем в левой части нужно раскрыть скобки и избавиться от отрицательного знака. После нужно применить к полученному результату формулу приведения. В итоге равенство примет вид sin6λ = √ 3 / 2. Отсюда 6λ = (-1)ⁿ p/3 + pn. Выражая λ, обе части нужно разделить на шесть: λ = (-1)ⁿ p / 18 + pn / 6. Чтобы найти корни на заданном промежутке, необходимо перебрать n из класса целых чисел. При n = 0, λ = p /18; n = 1, λ = p / 9; n =3, λ = 4p / 9; n = 4, λ = 13p / 18; n = 5, λ = 7p / 9. В пятом случае и возникает первый корень при n = 6, λ = 19 p / 18, что противоречит условию. Значит, корень будет один: λ = 7p / 9.
4. Найти корни уравнения, удовлетворяющие неравенство 4 * sin² λ + sin² 2λ — 3 = 0, при λ меньше четырёх по модулю. Первый член нужно преобразовать, используя уменьшение степени. Второй следует представить в виде тригонометрического тождества, а третий — перенести в правую часть. Получится квадратное уравнение cos² 2λ + 2 * cos2λ = 0. При его решении получится, что cos 2 λ = 0, а λ = p / 4 + pn / 2. Теперь эти точки нужно нанести на график и из него определить нужный интервал.

Сложные задания

Такие задания рассчитаны на уже подготовленных учащихся, знающих и умеющих применять формулы понижения степени косинуса, синуса, тангенса и котангенса. Сложность таких примеров — в нахождении правильного пути решения. Для вычисления ответа можно использовать онлайн-калькулятор. Но лучше, конечно, решать примеры самостоятельно, а с помощью этого инструмента проверять ответ.

Вот пример одной из задач. Нужно вычислить интеграл, в подынтегральном значении которого стоит выражение cos⁴(2 x) d x. Для начала нужно выполнить подстановку u = 2 x ⟶ d u d x = 2. Это позволит упростить восприятие уравнения. Теперь нужно вычислить выражение ∫ cos⁴ (u) d u. В нём следует понизить значение подынтегральной функции ∫cosⁿ(u) d u = n − 1 n ∫ cos ^{n − 2} (u) d u + cos ^{n − 1} (u) sin (u) / n.

При n = 4 интеграл будет равняться cos³(u) * 1sin (u) / 4 + 3 / 4 ∫ cos ² (u) d u. Используя последнюю формулу, нужно выполнить уменьшение степени ещё раз при n =2. Получим cos (u)sin (u) / 2 + 12 ∫ 1d u. Теперь вычислим ∫ 1d u. Интеграл от константы будет равняться u.

Подставив уже вычисленные интегралы, можно получить следующие цифры: ½ ∫ cos4 (u)du = cos ³ (u) * sin (u) / 8 + 3cos (u) * sin (u) / 16 + 3 u / 16. После обратной замены u =2 x можно вычислить ответ: ∫ cos ⁴(2x) d x = (sin (8x) + 8sin (4x) + 24 x / 64) плюс C. Задача решена.

Хотя в некоторых случаях уравнения могут быть настолько сложными, что для их вычислений понадобится затратить много времени. Поэтому в этом случае всё же есть резон воспользоваться услугами математических сервисов. Тем более, что предоставляют свои услуги они бесплатно. Из наиболее популярных можно выделить:

• SolverCook;
• OnlineMSchool;
• Kontrolniyi-raboti.

Эти сайты отличаются интуитивно понятным интерфейсом и, кроме быстрого расчёта, предоставляют подробное описание процесса вычисления.

Это, в свою очередь, помогает научиться решать примеры самостоятельно. При этом на своих страницах они содержат краткий перечень свойств и формул тригонометрических функций. Так что вопросов о том, как получился тот или иной ответ, возникнуть не должно.