Выделение полного квадрата - формулы, методы и примеры решений

Математики рекомендуют разобрать основные примеры выделения полного квадрата. Следует их систематизировать, поскольку это позволит оптимизировать процесс решения. Основной смысл заключается в применении соответствующих алгоритмов для экономии времени.

Некоторые считают, что шаблонами пользоваться нежелательно. Однако в этом есть и свои положительные стороны. Например, при поступлении в какое-либо высшее учебное заведение следует придерживаться общепринятых вариантов решения. При успешном зачислении в университет можно применить нестандартные подходы выполнения задания.

Шаблоны широко применяются не только в дисциплинах с физико-математическим уклоном, но и в программировании.

Распространенными заданиями с упрощением квадратного трехчлена являются:

• построение графиков квадратичной функции;
• решение уравнений;
• упрощение выражений.

Для нахождения решений следует подробно разобрать алгоритмы. Нет необходимости заучивать основные определения, формулы и правила. Их следует понимать, поскольку в философии есть такой закон: «переход количества в качество». Кроме того, программистами были созданы специальные онлайн-калькуляторы, позволяющие получить полный квадрат, разложить многочлен на множители и так далее.

Построение графиков

Графиком квадратичной функции z = a[y — c]^2 + d является кривая, которая называется параболой. Далее следует ввести следующие пояснения:

1. Коэффициенты «а» и «с» — некоторые числа. Последнее вычисляется по такой формуле: с = b / 2a.
2. Константа «d» является свободным членом.

Следует отметить, что расположение графика функции зависит от вышеописанных коэффициентов. Для построения параболы математики рекомендуют разобрать частные случаи:

1. Направление ветвей: вверх (a > 0) и вниз (a < 0).
2. Смещение вершины на величину «с»: по оси ОУ в положительную сторону (c > 0), по ОУ в отрицательном направлении (c < 0) и находится на ОХ (c = 0).
3. Смещение по ОХ: в сторону положительных значений на (b / 2a) и отрицательных — (-b / 2a).

Уравнение параболы всегда нужно приводить к правильному виду, поскольку график будет строить намного проще. Кроме того, его можно построить, зная частные случаи, и схематически.

Нахождение корней

Решить квадратное уравнение вида az ² + bz + с = 0 означает найти все его корни или доказать, что их нет. Его можно решать несколькими методами: нахождение дискриминанта, использование теоремы Виета или представление в виде квадрата.

При использовании первого метода нужно воспользоваться таким алгоритмом:

1. Упростить выражение (выведение общего множителя, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых).
2. Вычисление дискриминанта: D = (-b)^2 — 4ac.
3. Разобрать частные случаи, и выбрать ход решения, который зависит от значения D: при D > 0 решением уравнения являются два значения или корня (z1 = -b — D^(½) / 2a и z2 = -b + D^(½) / 2a; D = 0 — один корень (z = -b / 2a) и D < 0 — нет корней.
4. Подставить корни, полученные при решении, и проверить уравнение — значение в левой части должно быть равно нулю (0 = 0).

Вид квадратного уравнения зависит от коэффициентов a, b и c. Если а = 0, то старшая степень исчезает, и тождество превращается в обыкновенное линейное равенство (bz + c = 0) или функцию, графиком которой является прямая, а не парабола. При а = 1 его можно решить при помощи второго способа, который называется теоремой Виета (z1 + z2 = - b и z1 * z2 = с). Когда b = 0 (az ² + c = 0), то дискриминант можно не высчитывать. Решение находится следующим образом:

1. Нужно перенести свободный член «с» в правую сторону. Если с < 0, то решений нет. Когда значения c > 0, необходимо перейти ко второму шагу решения.
2. Разделить обе части на «а».
3. Вычислить корни по формулам (будут одинаковыми числами, но с разными знаками): z1 = -[c/a]^(½) z2 = [c/a]^(½).

Когда коэффициент с = 0 (az ² + bz = 0), то решить уравнение очень просто.

Для этого нужно произвести такие действия:

1. Сократить обе части на «a».
2. Вынести за скобку общий множитель: z (z + b/a) = 0.
3. Решить два уравнения: z1 = 0 и z2 + b/a = 0.
4. Проверить корни, подставив в исходное тождество.

Третий способ — выделение квадрата или использование формул сокращенного умножения. В этом случае нет необходимости использовать стандартный первый метод. Если построить график функции, то корнями будут являться его точки пересечения с осью абсцисс. Можно получить решения при помощи математических преобразований. Последний считается менее точным способом, поскольку корнями могут быть иррациональные числа, а не действительные.

Упрощение выражений

Бывают случаи, когда следует решить уравнение, упростив его. Например, чтобы решить равенство (2z ² — 5z + 7) + (z + 5)(z + 3) = 0, нужно раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые. Этот способ называется методом математических преобразований.

В некоторых случаях следует возвести в квадрат, а затем привести подобные слагаемые. После этого необходимо опять воспользоваться формулами, сгруппировав элементы.

Этот шаг позволяет оптимизировать процесс вычислений. Например, нет необходимости подставлять численные значения в выражение z ² + 4z + 16 + z ² — 16. Его можно просто упростить: z ² + 8z + 16 + z ² — 16 = (z + 4)^2 + (z — 4)(z + 4) = (z + 4)(z + 4 + z — 4) = 2z (z + 4).

Пример решения

Необходимо решить квадратное уравнение z^2 + 20z + 50 = 6z + 5 несколькими способами, используя следующие методы: нахождение дискриминанта, формул разложения, теоремы Виета и построить график. Вычисление корней первым методом (через дискриминант) выглядит таким образом:

1. Упростить выражение: z^2 + 20z + 50 - 6z - 5 = z^2 + 14z + 45.
2. Вычислить дискриминант: D = 14^2 - 4 * 1 * 45 = 196 - 180 = 16 = 4^2.
3. Осуществить анализ второго пункта: если D = 16 > 0, то значит у уравнения два корня.
4. Первый корень: z1 = (-14 - 4) / 2 = -9.
5. Второе решение: z2 = (-14 + 4) / 2 = -5.
6. Проверка: (-9)^2 + (-9) * 14 + 45 = 81 - 126 + 45 = 0 и (-5)^2 + (-5) * 14 + 45 = 25 - 70 + 45 = 0.

Два корня подходят, поскольку равенство 0 = 0 соблюдается. Специалисты рекомендуют опускать проверку, поскольку задача решается несколькими способами.

Второй метод заключается в использовании теоремы Виета. Произвести поиск корней довольно просто, поскольку а = 1. Воспользовавшись формулами z1 + z2 = - 14 и z1 * z2 = 45, можно подобрать корни: z1 = -9 и z2 = -5.

Третий метод заключается в использовании формул разложения. Их разрешается применять несколько раз и в любом порядке. Алгоритм решения выглядит таким образом:

1. Разложить на множители (формула квадрат суммы): z^2 + 14z + 45 = z^2 + 14z + 45 + 4 - 4 = (z^2 + 14z + 49) - 4 = (z + 7)^2 - 4.
2. Использовать формулу разности квадратов двух чисел: (z + 7)^2 - 4 = (z + 7 - 2)(z + 7 - 2) = (z + 5)(z + 9).
3. Записать в виде уравнений: (z + 5) = 0 и (z + 9) = 0.
4. Корни: z1 = -5 и z2 = -9.

Использование графического метода позволит получить точные значения, поскольку во всех предыдущих способах они являются целыми числами. Необходимо записать уравнения параболы (можно воспользоваться вторым пунктом алгоритма третьего метода): (z + 7)^2 - 4. Анализ перед построением выглядит таким образом:

1. Ветви направлены вверх, поскольку a = 1 > 0.
2. Смещение вершины по ОУ на -4 в отрицательном направлении (с < 0), а по ОХ — на 7.

Для построения следует составить таблицу 1 зависимости функции y от аргумента z. По значениям также можно вычислить корни (все y = 0).

Таблица 1. Подготовка к построению.

После подготовки необходимо строить график. Это можно выполнить ручным методом или воспользоваться специализированным сайтом. Последним рекомендуется пользоваться только при проверке правильности решения.

Рисунок 1. Графическое представление y = z^2 + 14 * z + 45.

На графике видно, что корнями уравнения являются числа -9 и -5. Они совпадают с полученными ранее значениями. Следовательно, решение является верным. Числа можно также подставить в исходное равенство.

Таким образом, при решении уравнений, упрощении выражений и построении графиков функций рекомендуется применять формулы сокращенного умножения. Это позволит сохранить много времени.