Формула тонкой линзы - свойства, применение и расчеты

Общие сведения

Согласно физическому определению, под линзой понимают оптическую систему, которая состоит из прозрачного для электромагнитных волн вещества, и которая ограничена хотя бы одной кривой поверхностью (вторая может быть плоской). Прозрачное вещество должно обладать способностью преломлять свет, что возможно, если оно имеет отличный от окружающей среды коэффициент преломления. Оптический объект будет только тогда обладать всеми своими свойствами, если коэффициент преломления вещества, из которого он изготовлен, будет больше этого показателя для окружающей среды.

Слово «линза» произошло от латинского lentis, которое означает «чечевица». Такое название связано с похожестью формы оптического объекта и плода растения.

Линзы используются человеком издревле для разных хозяйственных нужд. Так, в своей работе «Облака» (423 год до нашей эры) греческий философ Аристофан упоминает об их применении в качестве предмета для размягчения воска с помощью фокусировки солнечных лучей. Начиная с XV века, в Европе возникает индустрия производства оптики. С этого времени развивается теоретическая база для ее использования.

Виды и типы

Существует огромное многообразие оптических линз. Однако все они могут быть сгруппированы по определенным физическим критериям:

1. Толщина. Существуют стекла тонкие и толстые в сравнении с радиусами кривизны R1 и R2 образующих объект поверхностей и с расстояниями до предмета s и его изображения s'. На практике чаще всего используют тонкие линзы.
2. Поведение. Они бывают выпуклые и вогнутые. Первые собирают падающий на них пучок света, вторые его рассеивают. Собирающие линзы принято называть положительными, а рассеивающие — отрицательными. Из-за этих особенностей их поведения формируемые изображения могут быть либо реальными, либо мнимыми.
3. Форма. В зависимости от радиусов кривизны выделяют выпуклые с двух сторон, выпукло-вогнутые и вогнутые с двух сторон. Здесь первые и третьи линзы всегда являются собирающими и рассеивающими, соответственно. Что касается выпукло-вогнутых стекол, то их поведение будет зависеть от взаимоотношения радиусов кривизны. Например, если вогнутый радиус меньше выпуклого, то такая линза будет рассеивать, а не собирать световые лучи. Толщина выпуклого оптического стекла больше в его центре, вогнутый же объект толще на своих краях, чем в центральной части.

При изучении физических свойств оптических стекол пользуются их упрощенным изображением. Выпуклые линзы показывают в виде отрезка со стрелками на его концах, обращенными наружу. Для рассеивающих стекол эти стрелки обращены внутрь.

Существует еще один критерий, который определяет характер прохождения лучей через рассматриваемые типы объектов. Речь идет о сравнении показателей преломления вещества и окружающей среды. Предполагают, что это значение для оптического объекта n' больше, чем для среды n (n'>n). Для воздуха n=1, поэтому n' должен быть больше 1.

Основная формула

Существует выражение, которое позволяет определить любую характеристику оптического стекла. Оно называется фундаментальная формула линзы. Иногда его также называют уравнением изготовителя оптических стекол. Это выражение устанавливает четкую связь между расстоянием от объекта s и его изображения s' и показателями преломления вещества линзы и окружающей среды, а также радиусами кривизны R1, R2. Сформулировать его можно так:

n/s' — n/s = (n'-n)*(1/R1 — 1/R2).

Здесь величины s, s', R1, R2 измеряются в метрах (м)в системе СИ. Расстояния от оптического центра до предмета (s) и до его изображения (s') могут быть как положительными, так и отрицательными. Знак определяется следующим образом: если объект находится перед линзой, то есть слева на рисунке, то он берется со знаком -, если справа, то со знаком +.

Фундаментальное уравнение можно найти самостоятельно, если рассмотреть преломление одного луча через каждую из искривленных поверхностей. Это выражение справедливо для всех типов рассматриваемых объектов.

Понятие о фокусе

Когда изучают тонкие оптические стекла, то особое внимание уделяют фокусному расстоянию предмета f и его изображения f'. Определения этих величин следующие:

• Фокус предмета — это точка F, в которую нужно поместить сам предмет, чтобы любой выходящий из него луч, пройдя через линзу, выходил параллельным ее основной оптической оси. Эта ось проходит через центр линзы перпендикулярно обеим ее поверхностям. Соответственно фокусное расстояние f определяется как дистанция от предмета до оптического центра O, то есть длина FO. Математически это означает, что изображение предмета будет находиться в бесконечности, и f=s.
• Фокус изображения — это точка F', в которую собираются все лучи, падающие на линзу из бесконечности, то есть параллельно основной оптической оси. В таком случае получается, что сам предмет находится в бесконечности, и f'=s'.

Учитывая определения фокусных расстояний предмета и его изображения, а также привлекая фундаментальное уравнение, можно записать следующую взаимосвязь между f и f':

n/f' = -n/f = (n'—n)*(1/R1 — 1/R2);

f' = -f.

Полученные выражения можно использовать для выведения гауссового вида формулы тонкой линзы. Она имеет следующую форму:

1/s' — 1/s = 1/f' = -1/f.

Это выражение справедливо для любых сред, а не только для воздуха. Оно также называется формулой фокусного расстояния линзы.

Гауссова форма

Ее использование позволяет сделать несколько важных выводов. Для их получения удобно переписать ее в следующем виде:

1/s' = 1/s + 1/f'.

Во время построения изображений предмет обычно располагают слева от линзы. Этот факт означает, что слагаемое 1/s всегда будет меньше нуля (1/s<0 согласно знаковым правилам). Поскольку для выпуклых линз их фокусное расстояние изображения f' является величиной положительной, то само слагаемое 1/f' тоже будет больше нуля (1/f'>0). Для положительных оптических стекол существует возможность формирования как реального (1/s'>0), так и мнимого (1/s'<0) изображения, все зависит от величины слагаемых противоположного знака.

В случае линз вогнутых их фокусное расстояние изображения f' — это величина отрицательная, поэтому оба слагаемых в правой части гауссовой формулы будут иметь знак минус, их править не нужно. Этот факт говорит о том, что где бы ни располагался предмет перед рассеивающим оптическим стеклом, его изображение будет всегда мнимым.

Увеличение и оптическая сила

Помимо увеличения интенсивности падающего на линзу излучения или уменьшения этой интенсивности, рассматриваемый оптический объект также используется для получения изображений, размер которых отличается от предмета. Изображение может быть либо увеличенным, либо уменьшенным. Для определения этой характеристики используют отношение размеров изображения и предмета. Справедлива следующая формула:

A = y'/y = s'/s.

Где y' и y — это линейные геометрические размеры изображения и предмета, соответственно. Это выражение позволяет определить, насколько увеличится или уменьшится размер изображения по отношению к предмету. Для этого необходимо знать лишь значения s и s'. Величина A позволяет сделать следующие выводы:

• если |A| > 1, то линза работает в качестве увеличительной;
• если |A| < 1, то происходит уменьшение изображения по сравнению с оригинальными размерами предмета;
• если A > 0, то изображение является прямым и мнимым, поскольку оно находится по одну сторону от линзы вместе с предметом;
• если A < 0, то имеет место реальное перевернутое изображения.

Определение диоптрии

Оптическая сила определяет способность собирать лучи в одну точку линзой. Формула силы оптической P согласно определению записывается следующим образом:

P = 1/f'.

Чем больше фокусное расстояние изображения f', тем меньше величина P. Измеряется она в обратных метрах. В физике для нее существует собственное название — диоптрия. Если параллельные лучи падают на оптический объект и, пройдя через него, собираются в точку, которая находится от оптического центра на расстоянии 1 метр, говорят об оптической силе в 1 диоптрию (1 дп). Как видно, 1 дп — это небольшая величина.

Поскольку для рассеивающих линз f' является отрицательной величиной, то значение P для них будет меньше нуля.

Формулу для оптической силы можно переписать в таком виде:

P = 1/f' = (n' - 1)*(1/R1 — 1/R2).

Таким образом, расчет величины P легко проводить, если знать радиусы кривизны линзы и коэффициент преломления вещества, из которого она изготовлена.

Графические построения

В школьном курсе физики изучают достаточно подробно вопрос построения изображений в тонких линзах. Для успешного решения этой задачи необходимо знать такие понятия, как фокус и главная оптическая ось. Однако, также следует знать о свойствах основных лучей, с помощью которых строятся любые изображения. Эти лучи таковы:

1. Если луч света проходит через оптический центр O линзы, то он проходит через нее без преломления.
2. Если от предмета на линзу идет луч, который параллелен ее главной оптической оси, то он преломляется таким образом, что сам или его мнимое продолжение проходят через фокус.
3. Любой луч, который выходит из фокуса, преломляется таким образом, что из стекла он выходит параллельно главной оптической оси.

Для построения изображения в выпуклых и вогнутых линзах достаточно воспользоваться всего двумя из трех главных лучей для одной точки предмета. Их пересечение однозначно определит точку изображения. Третий луч можно использовать для проверки полученного результата. В большинстве задач основная оптическая ось служит основанием при построении изображений.