Поперечные волны - определение, свойства и формулы

Общие сведения

Волна представляет собой совокупность колебаний, передающихся через пространство за определённое время. Это определение применимо как к сферической, так и плоской среде. Появиться она может в газе, твёрдом теле, жидкости. В вакууме механической волны быть не может. Для её возникновения необходим источник, в качестве которого служит колеблющееся тело. Это движение вызывает деформацию, которой и сопутствует появление волны.

Все существующие возмущения принято разделять на два больших класса:

• Бегущие — это явления, при которых происходит передача энергии без изменения положения частичек.
• Упругие — волны, переносящие энергию и приводящие к возникновению упругости.

Последние колебания бывают продольными и поперечными. Первые характеризуются смещением элементов в направлении распространения возмущения. К их возникновению приводит сжатие или растяжение среды. То есть возникает реакция сопротивления среды на изменение объёма, например, звуковые волны, колебания в стержне. Поперечными же волнами называют деформацию, при которой происходит сдвиг слоёв среды. При таком роде колебаний наблюдается появление впадин и гребней. Возникать они могут только в твёрдом теле. Наиболее ярким примером поперечных волн может служить верёвка или леска в натянутом состоянии.

Рассматривая волновой процесс, принято считать, что частичка вещества представляет малый элемент объёма этого материала с размерами намного больше, чем расстояния между молекулами. Эти же частички для удобства принимаются за точки. Если в какой-либо среде заставить эту точку совершать колебание, то из-за связи её с другими частичками произойдёт передача возмущения. Этот процесс и принято называть в физике волной.

Волна может распространяться не только в направлении, перпендикулярном к плоскости среды, её колебания возможны и поперёк векторов электромагнитного поля. Поперечные колебания обладают поляризацией. Эта характеристика описывает поведение вектора возмущения в плоскости. Существует круговая, эллиптическая и линейная поляризация. Её вид зависит от формы кривой, описывающейся концом амплитудного вектора.

Механизм и закон распространения

Механические волны могут распространяться только в упругой среде. Вещество называется упругим, если после деформирования оно снова принимает свою начальную форму. Природа продольных колебаний связана с колебаниями частиц, остающихся в плоскости. При этом вызванные возмущения перпендикулярны направлению распространения волны. Называется такой эффект деформационным сдвигом. В газообразных веществах деформация может быть только объёмного характера. Поэтому отвечая на вопрос, в каких средах распространяются поперечные волны, однозначно можно ответить — только в твёрдых.

Основная задача изучения волн заключается в установлении закона, по которому они изменяются в течение времени и параметров, характеризующих возмущение. Одним из них является смещение S. Оно показывает, как изменяется положение точек относительно их нахождения в равновесии. Простым видом возмущений является гармоническая волна. Для её существования нужно, чтобы смещение всех частиц происходило с одинаковым периодом. Для этого необходимы условия, при которых источник колебаний сам будет совершать постоянные гармонические возмущения.

Пусть имеется бесконечная струна. По ней распространятся волна от источника, находящегося в её начале. Колебания, происходящие в ней, можно описать формулой: s0 = A0 * cos (wt + φ), где:

• A0 — амплитуда;
• Wt — изменение циклической частоты;
• φ - фаза в начальный период.

Если взять любую точку на струне и измерить колебания, то можно будет убедиться, что они отстают по фазе от генерирующего их источника. Эту задержку можно описать выражением: s0 = A * cos (w (t — t 1) + φ), где t1 — время, необходимое для того, чтобы точка волны пришла в исследуемое место. При этом если среда распространения не поглощает энергию, то амплитуда в произвольной точке и начальная будут равны.

Для описания одномерного колебания часто используется волновое число. Обозначается оно буквой k и находится через длину волны λ как k = 2p / λ = w / v. Таким образом, закон распространения поперечного возмущения можно будет описать формулой: s = A * cos (w * t — k * x + φ). Это выражение называется уравнением плоской волны.

Величина в скобках — это волновая фаза в произвольной точке. Вычитаемое же k * x + φ является начальной фазой.

Фазовая скорость

Поперечная волна в плоскости описывается через s, то есть смещением от точки равновесия в любой точке пространства в произвольно выбранное время. Фактически это проекция вектора смещения на направление колебаний.

Если рассмотреть волну в зафиксированный момент времени, то формула примет вид: s (x, t) = A * cos (-2p * x / λ). Для исследования, как будет совершаться колебание, лучше всего построить график распространения возмущения. В декартовых системах координат по оси абсциссы нужно будет отложить смещение (s), а ординаты — точку X .

Схема изменения волны будет выглядеть следующим образом. В начальный момент времени упругое тело получит деформацию и смещение составит величину А. Затем по плавной линии интенсивность S будет спадать до тех пор, пока не поменяет знак. Через некоторое время ситуация повторится. Расстояние между двумя вершинами, а именно точками, колеблющимися в одной фазе, называют длиной волны. Можно сказать, что длина является пространственным периодом.

Смотря на формулу, можно утверждать, что с ростом t график будет смещаться влево. В этом случае интерес представляет не причина перемещения, а скорость. Для того чтобы фаза была постоянной, скобка в формуле должна быть константой. Из этого следует, что (2 * p / λ) * x = wt — const. Для упрощения выражения левую и правую часть можно умножить на λ и разделить на 2*p.

В результате получится: x = (λ * w / 2 * p) * t — (const * x / 2 * p). Для удобства первый член можно обозначить буквой C, а второй X 0. Если вспомнить утверждение, описывающее равномерное прямолинейное движение x (t) = x 0 + Vx * t, то можно обнаружить сходство с полученным выражением. Таким образом, можно сказать, что скорость перемещения волновой поверхности, то есть плоскости, в которой фаза во всех точках одна и та же, называется фазовой скоростью.

Исходя из сказанного, можно записать: x = x0 + c *t, где C = λ * w / 2 * p. Омега, делённая на два пи — это частота. Её принято обозначать буквой ν‎. Отсюда можно дать определение фазовой скорости: c является характеристикой колебания и представляет собой произведение длины волны на частоту. При этом длина λ характеризуется расстоянием, проходимым волной за время, равное одному периоду: λ = c * T.

Колебания в струне

Струной называется тонкая, гибкая, сильно натянутая нить с равномерно распределённой по длине плотностью. Согласно правилу, определяющему, какие волны называются поперечными, можно утверждать, что при колебании струна будет иметь максимум два отклонения. В начальный момент t0, пока воздействие на струну не оказывается, она не деформированная. Сила натяжения струны равняется F0. В определённое время к струне прикладывается дополнительная сила F. Если сложить эти две силы, то по струне побежит излом, направленный в противоположную сторону от вектора F общее.

За время ϴ положение струны изменится. Наблюдаемый излом пробежит расстояние, обозначаемое L. При этом конец струны переместится на расстояние Δ L. Для рассматриваемого случая фазовая скорость представляет излом, бегущий вдоль струны.

Физически распространение колебания происходит плавно. При приложении деформации сначала один участок деформируется, а затем последовательно и остальные. Если на струне зафиксировать точку, то можно будет обнаружить особенность её перемещения, заключающуюся в том, что после внешнего воздействия она начнёт перемещаться кверху. Так как струна прямая, то все частички движутся с одинаковой скоростью V.

Анализируя ситуацию, можно сказать, что фазовая скорость равняется расстоянию, пройденному изломом, делённому на время: c = L / ϴ. За то же самое время частицы струны поднимаются со скоростью V. Отсюда можно найти скорость движения струны: V = ΔL / ϴ. Получается, что на частицы действует сила, заставляющая их двигаться вверх с одной и той же скоростью. Для изменения импульса силы можно записать формулу, используя второй закон Ньютона: F * ϴ = Δp. При этом следует отметить, что импульсом будет обладать лишь та часть струны, которая уже изломалась.

Изменение импульса происходит за счёт вовлечения всё большей массы струны. Поэтому верно будет записать: Δp = m * V. Свойством этой массы является равномерное распределение по струне. Обозначается этот параметр греческой буквой ρ, называется линейной плотностью и находится из равенства: ρ = m / l. Приложенную силу можно определить из соотношения F / F0 = ΔL / L, отсюда F = F0 (ΔL / L).

Подставив формулы параметров в основное выражение и выполнив ряд преобразований, можно получить следующее выражение: c = √F0 / ρ. То есть скорость распространения поперечного колебания равняется корню квадратному из соотношения силы натяжения в струне к её погонной плотности.

Пример решения задачи

В разделе «Колебания и волны» общей физики учащимся предлагается научиться решать задачи на нахождение фазовой скорости. Для её вычисления нужно понимать, что она зависит от силы натяжения и плотности деформируемого вещества. Отсюда следует, что для увеличения скорости нужно приложить большую силу, а для уменьшения — увеличить плотность материала. Ярким примером этого является гитара, в которой шестая струна толще, чем первая.

Вот пример типовой задачи на нахождение фазового параметра. Пусть имеется верёвка с массой 0,85 кг. Её натянули между двумя опорами, находящимися на расстоянии 30 метров друг от друга. Сила натяжения верёвки составляет 1950 ньютон. Нужно вычислить, за какое время импульс перейдёт от одной из опор к другой. Решение примера необходимо выполнять в следующей последовательности:

1. Выписать исходные данные с единицами измерений: m = 0,85 кг, L = 30 м, F0 = 1950 Н.
2. Схематически нарисовать две опоры и натянутую верёвку. На изображении указать направление силы и длину конструкции.
3. Используя то, что время распространения импульса прямо пропорционально длине верёвки и обратно пропорционально скорости, с которой импульс перемещается, записать рабочую формулу: t = L / c.
4. Исходя из известных данных, скорость перемещения неизвестна. Чтобы её найти, нужно использовать равенство: c = √F0 / ρ. Сила дана по условию, а плотность легко определить через массу: ρ = m / l.
5. Подставив полученные выражения в рабочую формулу, вычислить ответ: t = L * √ m / F0 * L = √m * l / F0 = √0,85 кг * 30 м / 1950 Н = 0,11 с = 110 мс.

Пожалуй, в классификации волн поперечные колебания являются одним из самых интересных видов возмущений. Их особенность в том, что возникают они только в твёрдых телах. Ведь в жидкой и газообразной среде физически невозможно появление противодействующих упругих сил. Решение задач предполагает знание формул смещения при распространении волны и фазовой скорости, а также закона, по которому описывается колебание.

При этом важно понимать, что частота возмущений волны совпадает с частотой источника, их вызвавшего. Это следует из того, что колебания частиц среды являются вынужденными, а значит, не зависят от свойств пространства, в котором они распространяются. Поэтому при переходе из одной среды в другую частота остаётся неизменной, а измениться могут лишь скорость и длина.

• Механические волны