Центр масс - формула и методы определения координат

Определение понятия

Точка, через которую проходят направления действия всех сил, сообщающих телу ускоренное поступательное движение, называется центром масс. Если тело движется поступательно, это означает, что равнодействующая всех сил проходит через ЦМ. Введение этого понятия для приложений механики облегчает расчеты с помощью применения системы координат, привязанной к ЦМ. Если на систему тел внешние силы не действуют, ЦМ движется с постоянной скоростью. Для решения многих задач можно не обращать внимания на форму и размеры тела, рассматривая поведение только его ЦМ.

Формулы для вычисления координат ЦМ

Если имеется система, состоящая из N тел (частиц) с массами m i , расположенными относительно центра координат на расстояниях r i (радиус-вектор каждой точки) то, чтобы найти координаты точки ЦМ R c , необходимо использовать следующую формулу:

(1).

Для твердых тел, в которых масса распределена непрерывно, общая формула для ЦМ, определяющая его положение в пространстве выглядит следующим образом;

(2).

Где: ρ — плотность вещества, из которого состоит тело. Формула (2) справедлива для общего случая, когда плотность может различаться в зависимости от координат точек.

Для физических объектов с равномерным распределением массы, то есть имеющим одинаковую плотность, независящую от координат, положение ЦМ можно определить с помощью следующей формулы:

(3).

Где: V — объем.

Центр тяжести

Все тела при свободном падении на поверхность Земли движутся поступательно, в соответствии с законом Ньютона с ускорением g, если перед падением они не вращались. Равнодействующая силы тяжести, складывающаяся из сил, действующих на отдельные точки тела, проходит через ЦМ. В то же время эта точка является центром тяжести. ЦМ является более общим понятием, чем «центр тяжести», который имеет смысл только для твердого тела, находящегося под действием силы тяготения в гравитационном поле. В случае однородного поля (например, вблизи земной поверхности) ЦТ тела совпадает с его ЦМ.

Релятивистская физика

Когда скорости частиц становятся близкими к скорости света (300000 км/с), для расчетов необходимо использовать формулы, полученные Эйнштейном в специальной теории относительности (СТО).

Понятие ЦМ в релятивистской механике также используется, но формула для вычисления его местонахождения R c претерпевает изменение, и хотя выглядит также как уравнение (1), но вместо массы частицы m i необходимо подставлять энергию этой частицы E i . При этом в знаменателе вместо полной массы М будет стоять сумма энергий всех N частиц.

С-система

Физики для решения задач, в которых необходимо учитывать только движение материальных частиц внутри собственной системы и абстрагироваться от движения системы как целого, используют систему отсчета, в которой ЦМ находится в состоянии покоя, т. е. v c = 0. Это позволяет получать уравнения с меньшим количеством переменных и упрощает расчеты.

Система отсчета, связанная с ЦМ и движущаяся поступательно, называется С-системой. Характерным признаком является, что суммарный импульс частиц в ней равен 0 (вследствие закона сохранения импульса), то есть система частиц, как целое, покоится в своей С-системе.

Примеры некоторых тел

Для однородных объектов, имеющих правильную геометрическую форму, ЦМ имеют следующие координаты:

1. В прямолинейном отрезке — точка, расположенная на одинаковом расстоянии от его концов (середина).
2. В треугольнике (сплошном или в виде каркаса) — в точке, где пересекаются его медианы.
3. В параллелограмме — в точке пересечения диагоналей.
4. В правильном многоугольнике — в точке, где находится центр поворотной симметрии.
5. В полукруге — точка, в которой перпендикулярный радиус делится в отношении 4/(3 π) от центра круга.

Для случаев, когда плотность вещества ρ(r) не является постоянной величиной, искомые координаты вычисляются с помощью методов интегрирования.