Призма - свойства, виды и формулы вычисления площади и объема геометрической фигуры

Трактовка понятий
Основание призмы представлено в виде двух граней (конгруэнтные многоугольники), лежащих в параллельных относительно друг друга плоскостях. К боковым граням (параллелограмм) относятся все стороны, кроме основания. Они объединяются в единую поверхность. Чтобы найти высоту, понадобится провести на рисунке отрезок, соединяющий плоскости с основаниями.
Для определения диагонали в многограннике понадобится соединить две вершины, которые принадлежат разным бокам. Другие составные элементы фигуры:

- Сечение диагональное. Образуется при пересечении плоскости и призмы. В результате появляется ромб, прямоугольник, квадрат.
- Ортогональное сечение. Получается в результате пересечения призмы и плоскости, перпендикулярной боковому ребру.
Для фигуры характерны некоторые особенности, включая основание в виде равных многоугольников. К свойствам призмы относятся равенство и параллельность боковых ребёр, представление граней в качестве параллелограммов. Объём призмы рассчитывается по следующей формуле: V=Sh, где V — объём, S — площадь основания, а h — высота.
Для вычисления площади призмы (полная поверхность) потребуется суммировать S бок. пов. и 2S основания. Если форма фигуры произвольная, тогда площадь вычисляется путём умножения периметра перпендикулярного сечения на длину ребра.
Классификация фигуры
Угол перпендикулярного сечения считается линейным при соответствующих рёбрах. Для его определения применяется транспортир. На практике встречается несколько схем построения фигуры, что зависит от вида призмы:

- Если основанием является параллелограмм, тогда чертится параллелепипед.
- Для прямой призмы характерно наличие боковых ребёр, перпендикулярных плоскости основания. Из этого утверждения вытекает следствие, что грани являются прямоугольными четырехугольниками. Другие фигуры считаются наклонными.
- Правильная призма — прямая с основанием в виде соответствующих многоугольников. Если боковыми гранями являются кубы, то грани представлены в виде полуправильных многогранников.
- Усеченная фигура имеет непараллельные основания.
Чтобы визуализировать четырёхмерный многогранник, используется диаграмма Шлегеля, развертка (объединение многоугольников малых размерностей, при этом грани разъединяются и разгибаются до их оказания в одной гиперплоскости). С помощью диаграммы можно рассмотреть треугольную, четырехугольную, пятиугольную, шестиугольную призму.
При вычислениях учитывается тип тела. Если фигура имеет сферическую симметрию, то вид тела не изменяется при его вращении в пространстве. Для двухсторонней симметрии характерна одинаковая длина правой и левой стороны относительно любой плоскости. Если симметрия нарушена, явление называется аритмией (ассиметрией). В машиностроении и компьютерных играх внешний вид детали отображается с помощью проекции — изометрия.
В геометрии встречаются следующие понятия:

- Скрученная призма. Представлена в виде невыпуклого многогранника, который получается в результате деления граней диагональю и вращения верхнего основания. Если последний элемент напоминает треугольник, то фигура называется многогранником Шёнхардта.
- Мозаика. Для неё характерна зеркальная симметрия.
- Связанные многогранники. Первой фигурой является треугольная призма, а последующие представлены в виде пирамиды, цилиндра, последующих однородных многогранников. Подобную теорию разработал Торольд Госсет в 1900 году.
Решение задач
На уроках геометрии ученики решают задачи на рассматриваемую тему разной сложности. Чтобы найти неизвестную, используются разные формулы. Задача № 1. Дана правильная 3-угольная призма со стороной основания 10 и высотой 15. Нужно найти S полной и боковой поверхности. Решение: так как фигура прямая, то ребро перпендикулярно основанию и соответствует высоте. Чтобы вычислить S, умножается периметр основания на высоту. S бок. пов.= Р осн h= 3х10х15=450 (кв.см).

Так как в основании находится правильный треугольник, его площадь находится путем умножения сторон на ½ и sin угла. Подставив данные, получаем 25 √3 (кв.см). S полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. пов.+2S осн.= 450+2х 25 √3=450+50√3.
Задача № 2. Дана наклонная четырёхугольная призма с боковым ребром в 12 см. В результате перпендикулярного сечения получается ромб со стороной в 5 см. Необходимо найти S бок. Решение: так как площадь боковой поверхности данной фигуры равняется произведению периметра сечения на ребро, в формулу подставляются данные.
По условию задачи, стороны ромба равняются 5 см. Периметр перпендикулярного сечения вычисляется по формуле: P=axb=5х4=20 (см). Чтобы вычислить S бок. пов., потребуется P умножить на длину бокового ребра. S бок. пов.=Pх12=240 (кв.см).
Экзаменационные примеры
Задача № 3. На чертеже находится прямая призма с основанием в виде равнобедренной трапеции. Основания последней фигуры равны 25 см и 9 см, а высота — 8 см. Необходимо вычислить двугранные углы при боковых рёбрах прямой призмы.

Решение: предварительно определяется понятие «двугранный угол». Для этого строится 2 плоскости α и β так, чтобы они пересекались по прямой СС1. Таким способом образуется двугранный угол с соответствующим ребром. Для определения его значения используется линейный угол.
Чтобы построить последнюю фигуру, понадобится поставить произвольную точку М на ребре. Через неё проводятся 2 перпендикуляра:
- один в плоскости β (для его обозначения используется b);
- второй в плоскости α (обозначается как а).
Угол, который образуется между прямыми, будет считаться двугранным. Чтобы найти линейный угол при СС1, учитывается перпендикулярность ребра к плоскости. Из последнего следует, что ребро перпендикулярно каждой прямой из плоскости. Угол между прямыми будет линейным.
Аналогично можно доказать, что оставшиеся углы являются линейными и образуются сторонами трапеции. Для нахождения их градусной меры используются данные задачи. Дополнительно проводятся высоты в трапеции. По условию одна равняется 8 см. Чтобы найти вторую, учитывается свойство перпендикулярности. Из него вытекает, что прямые перпендикулярны основанию (значение 9 см). При этом они образуют параллелограмм.
Так как трапеция равнобедренная, то (25−9)/2=8 (см). Учитывая, что треугольник является не только равнобедренным, но и прямоугольным, его стороны образуют углы в 45 градусов. Так как трапеция равнобедренная, то два её угла равны 45 градусов каждый. Третий и четвёртый вычисляются следующим образом: 180 град — 45 град = 135 град.

В более сложных заданиях, с которыми могут столкнуться ученики на ЕГЭ, необходимо найти уровень жидкости после её перелива в другой сосуд. Задача № 4. В сосуд в форме правильной призмы налили воду. Её уровень равен 18 см. Нужно вычислить высоту уровня воды, если её перелить в другой аналогичный сосуд, но со стороной основания в 3 раза больше первого.
Решение: Если за сторону основания правильной призмы взять a, тогда S= a ²√¾. Объём воды во второй призме будет равен: V =18 xS =18 x a²√¾=9a²√3/2. Если перелить воду в другой сосуд с основанием 3а, тогда S=9√3a²/2. Записывается равенство: 9√3a²/2xh=9a²√3/2. Высота равняется 2 см.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов