Типы тригонометрических неравенств и основные методы их решения

Что такое тригонометрические неравенства

Это такое неравенство, у которого неизвестным является аргумент тригонометрической функции. Как и в алгебраических примерах, ответом на задачу является множество решений, удовлетворяющих исходному выражению.

В записи условий тригонометрические функции могут находится как в левой части, так и в правой частях выражения.

Виды тригонометрических неравенств

• простейшие;
• сложные.

При этом в каждом из видов могут встречаться как однородные, так и неоднородные выражения в зависимости от степеней входящих в выражение слагаемых.

В школьной программе знакомство с простейшими тригонометрическими неравенствами начинается в 10 классе с базовых примеров («простейших). Для тех, кто ранее успешно освоил алгебраические неравенства, данная тема не покажется тяжелой для понимания.

Простейшие

Как следует из названия, вид таких примеров не сложен:

где a, m, n – числовые значения.

К простейшему виду, при возможности, следует приводить и более сложные выражения для оптимизации решения задачи.

Сложные

Тригонометрическое неравенство называется сложным, если аргумент функции, содержащий переменную, представляет собой некое математическое выражение.

В зависимости от вида аргумента под знаком функции сложные неравенства могут быть двойными, тройными, дробными. Встречаются также системы.

Пример записи сложного дробного неравенства с тангенсом:

Методы решения

Выбор оптимального способа решения зависит от вида тригонометрического неравенства. При возможности громоздкие выражения следует привести в максимально удобный, с математической точки зрения вид.

Важно! Решение тригонометрических неравенств основано на свойстве функций – монотонности. Монотонность выражается в том, что существуют промежутки, где максимальному значению функции будет соответствовать большее значение аргумента (при возрастании), либо меньшее – при убывании. При определении области допустимых значений (ОДЗ) это нужно принять во внимание.

Графические решение

Метод предпочтителен для простейших примеров. Графический способ заключается в построении в одной координатной системе графиков тригонометрической функции и прямой y = a, где a – число из правой части выражения.

После построения синусоиды и прямой отмечают точки пересечения функций. Абсциссы этих точек – границы одного из интервалов, удовлетворяющих условиям. Далее учитывается период тригонометрической функции и записывается ответ в виде промежутка.

Если выражение сложное, производят замену аргумента, а затем выражают x в окончательном ответе.

Пример 1.

Дано тригонометрическое неравенство

Решить графическим методом.

Аргумент сложный, поэтому необходима замена переменной. Пусть 

Тогда для решения требуется построить графики: синусоиду y = sin t и прямую y = t.

Из рисунка видно, что с учетом периодичности значения переменной t находятся в интервале

Возвращаясь к значению переменной t:

Произведя алгебраические вычисления, решение будет иметь вид:

Ответ записывается в виде промежутка:

Решение с помощью единичной окружности

Важно! Все дальнейшие построения углов на окружности и их запись следует выполнять против часовой стрелки.

На этом основан метод единичной окружности, который широко применяется в практике решения тригонометрических задач.

Пример 2.

Дано:

Решениями данного тригонометрического неравенства будут все углы, имеющие синус больше ½.

Ордината – ось значений синуса. Прямая, пересекающая ось y в т. М (0; ½), дает значения углов, у которых синус равен ½, т. е. 

(точки К и Р на окружности). Угол КОР ограничивает сектор, где синусы превышают ½. Таким образом, все значения углов на дуге KP будут являться решением неравенства, с учетом свойств синуса.

Таким образом, ответом будет промежуток:

Решение методом интервалов

Данный метод основан на свойстве непрерывности тригонометрических функций. Метод удобен для простейших неравенств либо приведенных к ним сложных.

Подход аналогичен таковому в решении алгебраических неравенств: необходимо перенести все члены в левую часть, а в правой части будет стоять 0. 

Тогда обозначив тригонометрическую функцию другой переменной, следует применить метод интервалов уже к алгебраическому выражению.

Пример 3.

Дано сложное тригонометрическое неравенство:

Пусть cos x = t. Тогда выражение преобразуется так:

После переноса членов из правой части в левую и преобразований выражение примет вид:

На графике, по методу интервалов, найдены значения y, удовлетворяющие неравенству:

По свойству косинуса:

Тогда окончательный ответ: