Центральные и вписанные углы - примеры и правила построения

Общие сведения

Перед обучением необходимо ознакомиться с основными понятиями об углах, а также подробно разобрать их классификацию. Углом называется геометрическая фигура, состоящая из общей точки и двух исходящих лучей, которые не лежат на одной прямой. Он обозначается символом «∠". Луч — часть прямой линии, ограниченной с одной стороны и неограниченной с другой.

Точкой называется базовая единица геометрии, при помощи которой строятся другие фигуры. Прямая — линия, которая не имеет начала и конца. Следует отметить, что угол может состоять не только из двух лучей, но и из отрезков. Отрезком называется часть прямой или луча, имеющая ограничения с обеих сторон. Однако базовых элементов недостаточно для построения более сложных фигур. В этом случае применяются аксиомы геометрии Евклида.

Аксиомы плоскостной геометрии

Аксиома — утверждение, не требующее доказательств. Оно воспринимается как неоспоримый факт. Плоскостная геометрия называется Евклидовой. Она основана на базовых элементах, аксиомах и теоремах. Теоремой называется гипотеза, которую следует доказать при помощи аксиом или их комбинаций.

В геометрии существует всего 5 базовых утверждений: принадлежности, порядка, равенства (конгруэнтности), параллельности прямых линий и непрерывности. Знать формулировки этих базисов очень важно. Они характеризуются такими определениями:

1. Первая: на любой геометрической плоскости существует множество точек, и через две из них можно провести одну прямую.
2. Вторая: на произвольной прямой существует точка, лежащая между двумя другими точками.
3. Третья: если на плоскости даны три отрезка (угла), причем первый равен третьему, а второй — первому, то они конгруэнтны между собой.
4. Четвертая: в случае когда на плоскости существует произвольная прямая и некоторая точка, не лежащая на ней, тогда через последнюю можно провести другую прямую параллельную заданной.
5. Пятая (Архимедова): если на некоторой прямой на плоскости лежат два отрезка, расстояния между точками одного отрезка равны таким же параметрам другого, то они равны по косвенному признаку.

Для понимания первой аксиомы необходимо представить лист бумаги. Это некоторая плоскость, состоящая из множества точек. Однако для удобства и читабельности их не отмечают, а берут только нужные. Известно, что достаточно всего двух точек, чтобы провести прямую. На листе бумаги можно их отметить и провести ее. Необходимо отметить, что лист бумаги является ограниченной плоскостью.

Что касается второго утверждения, то любая прямая включает в себя простейшие элементы (точки), которые могут лежать между другими. Это свойство позволяет отмечать на искомой фигуре любое количества элементов для выполнения чертежей.

Архимедова аксиома считается сложной для понимания на первоначальных этапах обучения. Однако все очень просто. Следует начертить прямую, и отметить на ней два равных отрезка. Каждый из них поделить на две части, чтобы первая часть одного отрезка была эквивалентна части другого. Пусть первый отрезок АВ = 10 см, а второй — DЕ = 10 см. На первом нужно отметить точку С (АС = 3 и СВ = 7). На втором — отметить точку F, лежащую между D и E (DF = 3 и FE = 7). Следовательно, АС = DF = 3 и СВ = FE = 7.

Классификация треугольников

Углы отличаются между собой по градусной мере. Последняя является главной характеристикой и исчислением его размерности. На основании этого свойства их можно классифицировать таким образом по интервалам:

1. (0;90) или 0 < x < 90: острый.
2. 90: прямой.
3. (90;180): тупой.
4. 180: развернутый.
5. (180;360): выпуклый.
6. 360: полный.

Запись (90;180) расшифровывается следующим образом: значение принадлежит интервалу от 90 градусов не включительно до 180 не включительно. Смежным является угол, который лежит на одной прямой с основным. Например, на прямой нужно отметить произвольную точку. Затем через нее следует провести луч под углом 60 градусов. Чтобы найти смежный ∠, нужно выполнить такие действия: 180 — 60 = 120. Прямая — развернутый ∠, т. е. его размерность составляет 180. Необходимо также отметить, какими свойствами обладает величина угла:

1. Градусная мера (размерность) существует у всех ∠. Она может быть отрицательной и положительной (по или против часовой стрелки соответственно).
2. У равных ∠ одинаковые размерности.
3. Часть угла всегда меньше основного.

Для доказательства теорем следует разобрать классификацию треугольников. Она более сложная включает в себя некоторые критерии:

1. Углы.
2. Стороны.
3. Подобие.

Сумма углов фигуры эквивалентна 180 градусам. Следовательно, у него бывают только острые, тупой и прямой углы. Если один из них является прямым или тупым, то значит два других — острые. Исходя из этого можно выделить три вида фигур, которые классифицируются по данному параметру (∠): остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Следующий критерий — стороны. Если у треугольника три стороны не равны между собой, то его принято называть разносторонним. Когда равны две стороны, тогда он является равнобедренным (третья — основание). В случае равенства всех сторон он считается правильным или равносторонним. У него каждый из углов равен 60.

Подобными называются треугольники, у которых прослеживается равенство ∠, а стороны пропорциональны между собой. Соотношение последних зависит от некоторой величины. Ее в геометрии называют коэффициентом подобия. Всего три признака подобия: по всем ∠, по двум ∠ и стороне, а также по двум сторонам и ∠ между ними.

Следует отметить, что для доказательства теорем следует обратить внимание на такие вспомогательные элементы: высоту, медиану и биссектрису. Первый элемент — отрезок, опущенный из произвольной вершины на противоположную сторону под углом 90 градусов. Медианой является луч или отрезок, который соединяет вершину с центром противоположной стороны. Биссектриса — прямая (луч, отрезок), которая делит заданный угол на две равные между собой части. В правильном и равнобедренном треугольниках эти три элемента совпадают.

Информация об окружности

Окружностью называет геометрическое место точек, соединенных между собой и удаленных от центра на равные расстояния. Отрезок, проходящий через ее центр и соединяющий две соседние точки, является диаметром (d). Радиус некоторый отрезок, соединяющий центральную точку с любой из точек на окружности. Его принятое обозначение литерой «R». Если из центра провести два луча (радиуса), то часть окружности, образованная ими, называется дугой.

Следует отметить, что любой отрезок, проходящий только через две точки окружности, является хордой. Если последняя проходит через центр, то она является диаметром. Площадью окружности называется произведение квадрата радиуса на число ПИ, которое примерно соответствует значению 3,1416. Формула имеет такой вид: S = ПИ * R ². Соотношение можно править таким образом: S = (ПИ * d ² ) / 4. Из соотношения можно сделать вывод, что d = R / 2. Длиной окружности является произведение ПИ на диаметр заданной окружности.

Вписанные углы

Вокруг любого угла можно описать окружность. Он бывает центральным или вписанным. Термины нужно различать между собой, чтобы правильно применять следствия из утверждения. Центральным называется произвольный угол, у которого вершина совпадает с центральной точкой окружности, а его стороны эквивалентны радиусам. Вписанным является любой угол с вершиной, расположенной на окружности и сторонами, пересекающими ее.

Затем следует рассмотреть теоремы о вписанных углах. Кроме того, центральный также является вписанным, но отличие состоит в том, что его вершина совпадает с центром круга. На основании утверждений можно сформулировать некоторые свойства вписанного угла. Последние могут также оказаться полезными при вычислении параметров некоторых фигур.

Основные теоремы

Теоремы применяются для оптимизации вычислений некоторых величин и параметров фигур, образованных углами и описанной окружностью вокруг них. Необходимо отметить, что специалисты классифицируют их на два вида: для вписанных и углов, образованных хордами и касательными. В первом случае утверждения, которые следует доказать, являются следующими:

1. Градусная мера вписанного угла в некоторую окружность равна половине центрального, опирающегося с ним на одну дугу.
2. Если два угла опираются на одну дугу, то они конгруэнтны.
3. Когда углы опираются на одну хорду и лежат по одну сторону от нее, тогда их градусные меры равны между собой.
4. Сумма углов эквивалентна 180 градусам, когда их вершины лежат по разные стороны от общей хорды.
5. Если некоторый угол опирается на диаметр, то он соответствует 90 градусам, т. е. является прямым.
6. Средняя точка гипотенузы прямоугольного треугольника совпадает с центром окружности, описанной вокруг него.
7. Угол, который опирается на дугу, равен ½ от ее градусной меры.

Необходимо отметить, что вышеописанные теоремы являются также и свойствами. Следует ввести обозначение вписанного ∠ АВС. В первом случае свойство доказывается для двух вариантов. Первый — ∠ АВС лежит на диаметре АВ. Необходимо обозначит центральный ∠ АОС. Следовательно, АО = ВО = R. Треугольник АОВ является равнобедренным, а его ∠ при основании равны (∠ АВО = ∠В АО). Для внешнего ∠ АОС справедливо такое равенство: ∠ АОС = 2 * ∠В АО. Если центральная точка круга лежит внутри ∠ABC. Следует провести биссектрису вписанного ∠, пересекающую окружность в точке D. Тогда ∠ABC = ∠AОC / 2.

Другие случаи

Однако бывают и другие случаи, в результате которых образовываются углы внутри окружности. Специалисты выделяют следующие теоремы о них, образованных касательными и хордами:

1. Размерность угла, который образован при пересечении хорд, эквивалентна ½ от суммы размеров его дуг. Углы между собой равны, поскольку являются вертикальными.
2. Если существуют две секущие, которые пересекаются за пределами окружности, то угол равен ½ от разности соответствующих дуг.
3. Когда проведена касательная и хорда к общей точке окружности, тогда градусная мера эквивалентна половине дуги, образованной данными элементами.
4. Угол, образованный секущей и касательной, эквивалентен ½ разности образованных при этом дуг.
5. Если угол образуют две касательные к заданной окружности, то его размерность соответствует ½ от разности дуг между сторонами первого.

Как правило, теорем бывает достаточно для доказательства геометрических тождеств. Однако для закрепления материала нужно разобрать пример решения задания.

Пример решения

Для практического применения знаний следует разобрать задачу на данную тематику. Задания состоят из двух частей: исходных данных и неизвестной величины. Например, дана хорда АВ. Она делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся между собой как 5:7. Дана также еще точка, расположенная на дуге меньшей части. Необходимо вычислить вписанный ∠АСВ. Для решения следует воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Сумма градусных мер двух дуг составляет 360.
2. Необходимо составить уравнение: 5у + 7у = 360.
3. Корень уравнения: у = 360 / 12 = 30.
4. Меньшая дуга вычисляется таким образом: 5 * 30 = 150.
5. Для расчета большей дуги следует произвести такой расчет: 7 * 30 = 210.
6. Проверка правильности вычислений: 150 + 210 = 360 (уравнение решено верно).
7. ∠АСВ опирается на большую дугу. Следовательно, его размерность эквивалентна ½ от размерности этой дуги: 210 / 2 = 105 (градусов).

В седьмом пункте алгоритма было использовано свойство под номером 7. Если его не применять, то решение займет больше времени, поскольку потребует строить треугольник и искать его стороны. После этих операций можно будет найти его ∠ по теореме косинусов или синусов.

Таким образом, для проведения расчетов размерностей углов, которые являются центральными или вписанными, необходимы знания основных теорем и формул.