Одним из ключевых понятий в линейной алгебре является минор матрицы. Зная, что это такое и как его вычислить, определить ранг матриц любого порядка не составит труда. По сути, это определитель, находимый путём убирания из рассматриваемой матрицы вертикальных и горизонтальных полос, на пересечении которых находится элемент aij. Существует несколько видов алгебраических миноров, по значению которых можно судить об обратимости, а значит, и возможности нахождения линейной регрессии.

Минор матрицы - способы, порядок и примеры вычисления

Угловые миноры матрицы

Общие сведения

При решении систем, состоящих из алгебраических и дифференциальных уравнений, для удобной их записи применяется таблица. Она содержит строки и столбцы, пересечение которых определяется элементами. Количество строк характеризуется числом уравнений, а столбцов — количеством неизвестных величин. После построения такой таблицы решение сводится к работе с ней. Совокупность элементов такой таблицы называют матрицей.

Минор матрицы определение

Над несколькими матрицами можно выполнять различные арифметические действия: преобразовывать, умножать, складывать. При этом допускается умножение строки на числа, отличные от нуля, сложение строк между собой и изменение их положения. Обозначают матрицу с помощью заглавной буквы латинского алфавита. Характеризуется она размерностью и может быть квадратной или прямолинейной.

При математической записи используют индексы. Первый из них обозначает строки, а второй — столбцы. На месте их пересечения находится элемент. То есть таблица вида m x n записывается как A = (aij)m, n, где: aij — элемент матрицы, располагающийся на пересечении и-той строки и йо-того столбца. Ранг же матрицы показывает наибольшее число линейно независимых столбцов или строк, при этом он не может превосходить размерность.

Важным параметром квадратной матрицы является определитель (детерминант). При его нахождении используется минор. Существует несколько его разновидностей:

Минор матрицы

  • элемента;
  • дополнительный;
  • главный;
  • базисный;
  • окаймляющий.

В общем случае под определением минора матрицы понимают определитель, находимый с помощью удаления строки и столбца определённого элемента. При рассмотрении алгебраических дополнений совместно с ними используют понятие угловой минор.

Для энного порядка под ним понимают определитель, полученный из набора элементов, находящихся вместе пересечения начальных эн строк и эн столбцов. Тут следует отметить, что алгебраическое дополнение применяется к элементу aij определителя и берётся со знаком (-1)i+j.

Квадратная матрица

Минор принято разделять на элементный и матричный. Для лучшего понимания сначала следует разобрать минор квадратной матрицы. Рассматривать нужно её, так как минор — это определитель, а он бывает только у квадратной системы уравнений. Параметр элемента матрицы и определителя находят одинаково.

Вычисление минора обычно не вызывает трудностей. При этом стоит помнить простые правила определения детерминанта:

Определение минора матрицы

  • для системы первого порядка определитель равен единственному элементу;
  • в системах второго порядка детерминант находится из разницы произведений диагоналей в таблице;
  • для вычисления определителя в матрицах высшего порядка используют рекурсивную формулу.

Пусть необходимо определить параметр элемента i, j. Для этого нужно посмотреть на записанную таблицу и выделить и-тую строчку и йо-тый столбец. На их пересечении будет стоять цифра, которая соответствует элементу aij. После вычёркивания элементов, расположенных от него по вертикали и горизонтали, оставшиеся в наборе и будут являться минором матрицы или определителя.

Например, пусть имеется определитель вида:

|2 5 7 8 9 |

|2 0 -2 21 13|

|2 -3 4 19 0|

|3 1 8 -2 1|

|4 6 5 -3 9 |

Нахождение минора матрицы онлайн

Нужно найти минор два три. На пересечении второй строчки и третьего столбца стоит цифра минус два. Убрав вторую соответствующую ей вертикаль и третью горизонталь, можно получить искомый минор M23:

|2 5 7 8 9 |

|2 -3 1 8 0 |

|3 1 -2 1|

|4 6 -3 9|

Теперь, чтобы найти минор единицы, нужно вычислить определитель полученной матрицы четвёртого порядка. Для этого удобно использовать теорему Лапласа для разложения по любой строке. Выбирать лучше ту, где стоят нули. После преобразования полученный ответ и будет минором. Аналогично выполняют действия и для определителя.

Алгебраическое дополнение элемента находится по формуле: Aij = (-1) i+j * Мij. Это выражение справедливо для любой квадратной матрицы. Для рассматриваемого примера такое дополнение будет равно следующему произведению: A23 = (-1)2+3 * M23 = - M23. Минор и алгебраическое дополнение имеют численные значения. Но при вычислении последнего необходимо учитывать, что сумма произведения определителя на дополнение к элементам будет равняться определителю, а сложение произведений двух элементов столбца или строки даст в ответе ноль.

Главный и базисный определитель

Минором высшего уровня описывают систему, состоящую из столбцов и строк, число которых превышает два. То есть минор восьмого порядка представляет собой определитель, состоящий из восьми столбцов и такого же числа строк. Тут следует отметить, что исходная матрица должна иметь больший порядок.

Главные миноры матрицы

В таблице высшего порядка можно выделить несколько миноров. Например, в матрице восьмого уровня выделить пять столбцов и пять строк. Брать горизонтальные и вертикальные линии можно произвольно. В местах пересечения будут находиться значения, обозначающие элементы минора пятого порядка.

Записывают их соответственно, начиная с первой строки. После того как все члены выписаны, должен получиться новый определитель пятого порядка. Таких миноров указанного порядка может быть несколько.

В таблице чисел имеется главная диагональ. Начинается она с правого верхнего угла, то есть с элемента a11, и заканчивается на последнем правом элементе. В полученном миноре также можно выделить такую диагональ.

Если взять минор таким способом, что главная его диагональ будет состоять из элементов диагонали исходной таблицы, то такой минор называют главным. Иными словами, эта таблица, которая включает в себя элементы основной диагонали исходной матрицы. При этом необязательно, чтобы в главный минор матрицы были включены все главные элементы. Определитель же, находящийся из первых строк и столбцов, называется угловым минором матрицы.

Базисный минор

Базисный определитель показывает, какой наибольший порядок может иметь полученный минор. Например, для системы данных, состоящей из семи строк и восьми столбцов, наибольший определитель может быть седьмого порядка. При этом базисным считается также последний определитель, который не равняется нулю. Если система уравнений имеет девятый порядок и при вычислениях выяснится, что система шестого уровня вырожденная, то предшествующий ему определитель также будет называться базисным. Значение базиса всегда будет наибольшим. Строки и столбцы, из которых состоит базис, называют также базисными. Их может быть несколько.

Когда из исходной таблицы выбран определитель не высшего порядка, то следующий за ним называется окаймляющим. Это значит, что необходимо добавить одну строку и столбец. Такого типа определителей может быть несколько, так как для того, чтобы их построить, можно добавить любую строку или столбец.

Решение задач

Для закрепления материала в школе и высших учебных заведениях учащимся предлагают выполнить расчёт несколько типовых заданий разной сложности. Умение их решать является доказательством понимания теории. Вот некоторые из них рекомендуемые для самостоятельного решения.

Найти в указанной матрице все определители второго уровня и алгебраические дополнения:

|5 7 3|

|8 5 6|

|6 8 10|

Для решения этой задачи нужно рассматривать первую и вторую строчки. Последовательно убирая строки и столбцы методом вычёркивания, можно получить шесть результатов:

Минор элемента

  1. M1,2 = |5 6| |8 5| = - 3;
  2. ​ M1,3 = |5 3| |8 6| = - 6;
  3. M2,3 = |6 3| |5 6| = - 3;
  4. A1,2 = (-1)1+2+1+2 * M1,2' = 9;
  5. A1,2 = (-1)1+2+1+3 * M1,3' = -8;
  6. A1,2 = (-1) 1+2+2+3 * M2,3' = 7.

В следующей задаче рассматривается квадратная матрица три на три, в которой необходимо найти дополнительную характеристику:

(1 2 0)

(-2 0 3)

(3 4 -2)

По условию в таблице имеется девять позиций, для которых можно найти дополнительный элемент. При решении нужно последовательно их все перебрать, вычёркивая соответственные столбцы и строки:

Нахождение минора

  1. M11 = |1 2 | |2 1| = -3;
  2. M12 = |0 2| |3 1| = -6;
  3. M13 = |0 1 | |3 2| = -3;
  4. M21 = |2 -1| |3 1| = -1
  5. M22 = |1 -1| |3 1| = 4;
  6. M23 = |1 2| |3 2| = -4;
  7. M31 = |2 -1| |1 2| = 5;
  8. M32 = |1 -1 | |0 2| = -2;
  9. M33 = |1 2| |0 1| = -1.

В следующем примере необходимо рассчитать первые три алгебраических дополнения. Пусть дана матрица A:

(1 2 -1)

(0 1 2)

(3 2 1)

Для нахождения первого параметра нужно вычеркнуть первый столбец и строку, при этом для определения знака использовать формулу: A = M (-1) j+i. В итоге получится определитель: A11 = |1 2| |2 1| = 1 — 4 = 3. Знак положительный, так как минус единица будет во второй степени. При этом можно отметить, что далее знак будет попросту чередоваться. Другие вычисления нужно делать аналогично: A12 = |0 2| |3 1| = (-6) * (-1) = 6; A13 = |0 1| |3 2| = -3.

Как видно из примеров, вычисления обычно не вызывают трудностей, но требуют внимательности и усидчивости. Особенно это касается нахождения обратной матрицы. Вычисляется она с помощью алгебраических дополнений, которые равны минорам, умноженным на минус единицу. Довольно часто знаки путают, и в итоге получается неправильный ответ. Поэтому в случае сложных систем есть резон использовать онлайн-калькуляторы.

Использование интернет-калькулятора

В интернете есть определённая группа сайтов, позволяющая выполнять различные математические вычисления в автоматическом режиме. На их страницах содержится специальный скрипт, выполняющий нахождение минора матрицы онлайн любой сложности. При этом от потребителя не требуется никаких особых знаний, он даже и вовсе может ничего не понимать в алгебраических вычислениях.

Найти минор

Всё, что ему необходимо будет сделать для получения ответа, — это ввести исходные данные в предложенную форму и нажать кнопку «Вычислить». Система автоматически определит нужный алгоритм и, используя свойства матрицы, выведет на экран ответ. При этом, кроме результата, пользователю будет предоставлена возможность ознакомиться с подробным решением.

По отзывам потребителей, из множества таких сервисов можно выделить пять следующих сайтов:

Главный минор матрицы

  1. Allcalc — сервис с простым интерфейсом, но в то же время позволяющий выполнить любые действия с матрицей, включая нахождение миноров и алгебраических дополнений.
  2. Onlinemschool — сайт, умеющий не только быстро выполнять вычисления, но и выводить пошаговое решение с комментариями.
  3. MathSemestr — программное обеспечение калькулятора, понимает даже соотношения, взятые из таких популярных программ, как World и Excel.
  4. Pikod — бесплатный сайт, предлагающий получить не только ответ, но и подробно расписанный ход решения.
  5. Kontrolnaya-rabota — сервис позволяет выполнять любые преобразования матриц, при этом для сложных заданий существует режим «модульный конструктор».

Все указанные сайты доступны на русском языке, бесплатны, имеют простой и понятный интерфейс. На их страницах содержится справочная и теоретическая математическая информация. Кроме неё, для каждого раздела приводится типовой пример с объяснением. Использование онлайн-калькуляторов поможет сэкономить время и научит правильно выполнять действия по вычислению миноров.

Их использование будет полезным не только ученикам или студентам, желающим научиться самостоятельно решать задачи, но и инженерам, выполняющим сложные вычисления. Для специалистов они довольно востребованы, так как при самостоятельном решении небольшая ошибка по невнимательности приведёт к неправильному ответу, что исключено при расчёте в автоматическом режиме.


Читайте также