Показательные неравенства - методы решений, формулы

Содержание:

Понятие и обозначения
Свойства степеней
Алгоритм решения
Простейшие примеры
Сложные задания

Понятие и обозначения

Неравенство является выражением обратным по смыслу равенству. Если второе обозначает, что два сравниваемых объекта численно равны друг другу, то первое подчёркивает их различие. Обозначается оно с помощью математических знаков: больше, меньше или их комбинацией с равно. Выражения с переменными могут быть верными, то есть при подстановке неизвестных заданное знаком условие выполняется, или неверными. Решить уравнение — найти все возможные корни, делающие его тождественным, или доказать, что их нет.

Любое неравенство с несколькими неизвестными можно представить в виде функции, в которой переменные определяются зависимостью. В математике функциональность в общем виде записывается выражением: Y = f (X). В нём X определяет область значений, а Y их множество. Уравнение, в состав которого входят степени называют показательным: f (X) = n^x, где n — основание степени, которое не должно быть равное единице и быть меньше нуля; x — показатель разряда.

Таким образом, формулы простейших показательных неравенств имеют вид: n^x < m или n^x > m, где n > 0 и n ≠ 1, x — искомая переменная. Для выражения характерно следующее:

область чисел, превращающая выражение в верное, определяется диапазоном функции;
правильные решения входят в промежуток, лежащий в диапазоне от нуля до плюс бесконечности, то есть являются положительными числами;
понятие наибольшего и наименьшего значения для выражения не существует;
показательное уравнение не может быть нечётным или чётным;
график, изображённый в декартовой системе координат, пересекает ось ординат в точке (0; 1);
описывающая функция не имеет нулей и не может быть нечётной или чётной.

График, соответствующий выражению, может быть убывающим или возрастающим. Для любого числового показателя X-предел определяется как последовательность значений, стремящихся к абсциссе. При рассмотрении экспоненты используют определение через предел, поэтому сложные неравенства решают с использованием логарифмов.

Свойства степеней

С различными способами нахождения показательных уравнений знакомят в старших классах общеобразовательной школы. На уроках рассматривают элементарные выражения: а^х = а^в, где а >0, а ≠ 1, при этом предлагается решить их, используя свойства степеней.

Знание свойств степеней с натуральным или рациональным показателем позволяет быстро преобразовать выражение любой сложности в простое. Особенно это важно при решении заданий логарифмического вида. Свойства в алгебре описываются следующими формулами и определениями:

При умножении двух членов с одинаковым основанием показатели складываются, а основание остаётся неизменным: p^x * p^y = p^x ⁺^y. Это правило справедливо для любого количества членов. Например, y = f³ * f³ * f * f⁶ = f¹⁰.
Выражение, записываемое как отношение двух членов с одинаковым основанием, равно этому же основанию, в степени которого от делимого показателя вычитается делитель: p^x / p^y = p^{x -}^y. Но для верности этого свойства должно выполняться условие, при котором основание является любым числом не равным нулю, а показатель делимого больше делителя. Например, f⁵ / f² = f³.
Возведение степени в степень можно заменить перемножением показателей: (p^x)^y = p^x^*^y, где показатели могут быть любыми натуральными числами: (p^x)^y = p^x*y. Например, (f⁵)f⁴ = f^5*4 = f²⁰.
При перемножении двух оснований, имеющих одинаковые показатели, последний можно вынести за скобки: p^x * k^x = (p + k) ^x, где основание — рациональные числа, а показатель — натуральный. Например, (f* l)² = f² +l².
Чтобы упростить возведение частного в степень, можно отдельно возвести делимое и делитель, а затем разделить полученный результат друг на друга: (p + k) ⁿ = pⁿ / kⁿ. При этом делимое не должно быть равно нулю. Например, (f / k)⁹ = f⁹/k⁹.

Следует отметить, что формулы справедливы и в обратную сторону. Кроме пяти основных свойств, при решении примеров с показательными неравенствами, используют правила преобразования функции с другим основанием. Обратной функцией показательного уравнения с основанием p является логарифмическая зависимость. Так, полезно знать, что p^logpf = k, log (a^x)= x, p^x = (k^logp)^x = k^x*logkp. Учитывая, что k можно выразить через экспонент, последнее выражение можно переписать как равенство: p^x = k^x*^lng.

При использовании графического метода важно определить вид графиков функций. Если показательная функция монотонная, то она не имеет экстремумов.

Алгоритм решения

По сути, решение показательных неравенств ничем не отличается от нахождения ответа в аналогичных равенствах. Выделяют два способа: графический и аналитический. В первом методе необходимо построить графики двух функций. То есть изобразить в декартовой системе координат левую и правую часть, а затем определить места пересечения графиков с осью абсциссы.

Для простых функций (квадратичных) графическое решение может быть довольно удобным способом, но для выражений с более высокой степенью применять метод неудобно. Поэтому используют аналитический подход. В его основе лежит:

уединение слагаемого, содержащего неизвестную для левой и правой стороны;
приведение степени к общему основанию;
упрощение выражений с использованием свойства степеней и модулей, метода объединения членов;
решение полученного неравенства.

Показательные неравенства: графический и аналитический метод

То есть предполагается приведение двух частей выражения к степени с одинаковым основанием. Методика повторяет алгоритм нахождения корней в равенствах. Но в отличие от них ищутся не конкретные числа, а промежуток.

В зависимости от типа неравенства используют различные приёмы. Если уравнение относится к виду n^f ⁽^x⁾ > m^d ⁽^x⁾, то выражение пытаются преобразовать к такому виду, чтобы основания стали степенями одного и того же значения. То есть n = p^w, m = p^k. После чего решают простейшие неравенства вида: p^wf ⁽^x⁾ > p^k^d⁽^x⁾.

Другим методом является способ разложения на множители, а также замена переменной. Во втором случае показательное неравенство сводится к простому, чаще всего квадратичному, после решения которого выполняется обратная замена.

Все методы решения показательных неравенств базируются на поведении функции y = m^x, а именно:

она возрастает, когда m > 1;
график убывает, если выполняется условие: 0 < m < 1;
если y > 0, функция принимает только положительные значения.

Для успешного выполнения самостоятельных работ необходимо запомнить, что если основание больше единицы, то неравенству: m^f(x) > m^s(x), равносильно: f(x) > s(x). Для случая, когда 0 < m < 1, соответствующим выражением будет: f(x) < s(x), то есть изменяется знак.

Простейшие примеры

Чтобы научиться решать задачи сложного уровня, нужно довести решение элементарных неравенств до автоматизма. Поэтому необходимо самостоятельно потренироваться в вычислении однотипных простых заданий.

Например, нужно решить неравенство вида: 8^P>0,25. Для нахождения множества решений уравнение переписывают следующим образом: (2³)^p > 25/1000. Правую часть можно сократить на 25 в итоге она упростится до простой дроби 1/40. После дальнейшего преобразование неравенство примет вид: (2³)^p > 2^5,3.

Так как функция вида 2^f⁽^x⁾ является возрастающей, то график при переходе от одной части неравенства к другому знак не изменяет. Используя правило, выражение можно переписать как 3*p > 5,3. Отсюда p > 5,3/3. Ответом на поставленную задачу будет диапазон от 1,76 до плюс бесконечности.

По аналогичному алгоритму решаются и другие задачи подобного типа. Например, нужно решить неравенство: 0,5^3x+4≥ 4. Вначале необходимо попробовать привести обе части к одинаковому основанию. Существует приём, согласно которому, если в уравнении есть степень с основанием в виде десятичной дроби, то её нужно привести к виду обыкновенной.

Основание 0,5 можно представить как 1/2, а четвёрку как два в квадрате или (1/2)^-2. Тогда неравенство примет вид: (1/2)^3x+4 ≥ (1/2)^-2. Так как основание 1/2 больше нуля, но меньше единицы, то знак в уравнении меняется на противоположный. В итоге получается неравенство: 3x+4 ≤ -2. После группировки однородных членов в правой и левой части получится выражение: x ≤ -2. Это и есть ответ на поставленную задачу. Записать его можно и как x є (- ∞;-2 ).

Простейшие и сложные примеры уравнений с подробным описанием

Поняв метод, можно переходить к неравенствам более сложного вида. Например, 5^8m+1+5^8m+1 < 130. Используя теорию свойств степени, заданное уравнение можно переписать в виде равносильного неравенства: 5^8m *5 +5^8m*5^-1 < 130. В левой части есть общий множитель, который можно вынести за скобку: 5^8x * (5+(1/5)) < 130. Выполнив действие в скобках, выражение можно упростить до вида: 5^8x * 5(1/5) < 130.

Смешанная дробь пять целых одна пятая может быть переписана как отношение 26/5. Неравенство будет иметь вид: 5^8x < 130/(26/5). Решив правую часть, можно увидеть, что основание двух функций станет одинаковым. Так как оно больше единицы, то знак не изменится: 8x<2 или x < 1/4. Ответ: x є (- ∞;1/4).

Сложные задания

Не всегда поставленную задачу можно привести к неравенству, в котором числа будут являться степенями друг друга. Такие задания решаются методом интервалов. Его удобно применять, когда в числителе и знаменателе стоят показатели степени, а неравенство имеет вид: f (x)/ s(x) ≥ 0.

Например, нужно решить неравенство: (2*3^2x+1)–6x-^4x-1-9)/(9^x-3) ≤ 3. Первое что необходимо, это раскрыть произведение: 3^2x+1 = 3^2x*3¹= 9^x. Затем избавиться от тройки в правой части путём деления обеих функций на неё. В итоге получится следующая справедливость: (2*3*3^2x-(2*3)^x-4*4^x-9)/(9^x-3)-(3/1) ≤ 0. Упрощая выражение путём раскрытия скобок и объединения одинаковых членов, его можно привести к виду: (3*3^2x- 2^x*3^x-4*2^2x)/(3^2x-3) ≤ 0.

Теперь можно переходить к методу интервалов. Для этого числитель и знаменатель нужно приравнять к нулю. Начинают с числителя: 3*3^2x- 2^x*3^x-4*2^2x =0. Это однородное выражение, каждый член которого можно разделить на 2²^x. В результате получится сложный квадратный многочлен: 3*((3 / 2) ^x)² –(3/2)^x-4 = 0. Необходимо вычислить его корни. Сделать это лучше всего методом нахождения детерминанта. Решением равенства будет логарифм по основанию 3/2 минус единица.

Теперь нужно рассмотреть знаменатель с учётом условия, что он не должен быть равный нулю: 3²^x-3 ≠ 0. Решив неравенство можно определить, что x ≠ 1/2.

Далее следует сравнить первый и второй найденный ответ, определив который из них больше, чтобы отложить диапазоны решений на числовой прямой. Чтобы определить знак, принадлежавший множеству, нужно взять любое число в каждом из полученных интервалов и подставить его в задание. В результате получится следующее: