Прямолинейное равноускоренное движение тел - формулы, законы и примеры решения

Движение и его характеристики

Прежде чем записывать формулы равноускоренного движения, необходимо разобраться подробнее с этим физическим понятием. Под ним понимают в физике способность тел за определенный конечный промежуток времени изменять свое пространственное положение. Если объект в момент времени t1 находился в точке A, а в последующий момент t2 он уже оказался в точке B, которая отличается от A, то говорят, что он преодолел путь AB за время t2-t1.

Для однозначного описания движения придуман ряд терминов, многие из которых имеют численное выражение и единицы измерения:

• ускорение (как правило, его обозначают латинской буквой «a»), оно определяет быстроту изменения скорости;
• скорость (v) — величина, которая характеризует быстроту изменения координат в пространстве;
• путь (s) — это расстояние, пройденное телом в рассматриваемой системе координат;
• траектория — воображаемая линия перемещения объекта через пространство.

Величины a и v являются векторами, то есть направленными отрезками фиксированной длины, которая в процессе движения может изменяться как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения. Путь s — это скаляр, в процессе движения он постоянно увеличивается. Траектория — это термин, который не имеет своей единицы измерения.

Следует отметить еще одну характеристику, которую принято называть перемещением (l). От пути s оно отличается тем, что учитывает характер траектории.

Например, тело движется по окружности и совершает один полный оборот. Тогда пройденный им путь равен длине окружности, перемещение же l равно нулю, поскольку объект прибыл в исходную точку своего отправления.

Единицы измерения

Чтобы уметь пользоваться без ошибок любыми формулами в физике, следует все единицы измерения задействованных величин приводить к одной системе. С 60-х годов прошлого столетия международной системой мер и весов принята система СИ. В ней ускорение a определяется в метрах в квадратную секунду или кратко м/с ² . Величина 1 м/с ² говорит о том, что каждую секунду скорость тела v увеличивается на 1 м/с. Величина v 1 м/с отражает тот факт, что за каждую секунду своего движения тело преодолевает расстояние в 1 метр.

Величина a может быть отрицательной, что говорит об уменьшении скорости. Характеристика v всегда является только положительной, ее минимальное значение равно 0 м/с (тело находится в покое в заданной системе отсчета).

Типы перемещения тел

Численные значения характеристик движения позволяют определить все возможные виды перемещения тел в пространстве. Например, в зависимости от характера траектории различают:

1. Прямолинейное (объект движется по прямой линии).
2. Криволинейное (объект перемещается по отличной от прямой линии). Здесь выделяют особый случай — это круговое перемещение.

В зависимости от знака величины ускорения имеет место движение ускоренное и замедленное. Если говорить о перемещении как функции скорости, то здесь выделяют равномерное и неравномерное движение. Первое говорит о том, что скорость является величиной постоянной, во втором случае она изменяется (увеличивается, уменьшается по модулю или меняет свое направление в пространстве).

Изучение особенностей прямолинейного равноускоренного движения является ключевым моментом в физике при рассмотрении вопросов перемещения. Дело в том, что этот тип включает в себя все характеристики и формулы, которые в дальнейшем можно применять при решении более сложных задач.

Равноускоренность и прямолинейность

Перемещение объектов по прямым траекториям в жизни людей встречается довольно часто. Чтобы понять, какое движение называется равноускоренным и прямолинейным, следует обратиться к значениям самих слов, которые содержат ответ на этот вопрос. Равноускоренное перемещение говорит о постоянстве ускорения в течение рассматриваемого времени. Прямолинейность свидетельствует о характере траектории. Таким образом, изучаемый тип движения характеризуется двумя обязательными условиями:

1. Неизменность модуля ускорения и направления его вектора.
2. Прямолинейность траектории.

Нарушение любого из этих условий приводит к невозможности использования формул для вычисления параметров движения объекта.

Второй закон Ньютона

Каждый школьник уже с 7 класса знает, что тела движутся потому, что на них действуют силы. При этом их природа не играет важной роли при рассмотрении механического перемещения в пространстве. Будь то электромагнитные, трения, гравитационные, упругости силы, все они применительно к движению подчиняются единому закону Ньютона. Его математическая формулировка имеет следующий вид:

F- = m*a-.

Действующий на тело массой m вектор силы F- приводит к появлению у него ускорения a-, которое направлено точно так же, как и F-. Поскольку m — величина скалярная и постоянная для нерелятивистских скоростей (вопросы классической механики Ньютона), то можно говорить о прямой пропорциональности между величинами силы и ускорения. Получается, что равноускоренное движение обусловлено наличием постоянной силы, действующей на тело в процессе всей его траектории.

Если F- = const, то не только ускорение сохраняет свой модуль, но и сама траектория тела не отклоняется от прямой линии.

Второй закон Ньютона свидетельствует о том, что постоянство силы, которая вызывает движение тела, является необходимым и достаточным условием существования равноускоренного прямолинейного перемещения.

Основные формулы

Поскольку ускорение определяет изменение скорости, то математически можно записать следующее выражение:

a = dv/dt.

Сгруппировав полные дифференциалы в разные стороны от знака равенства и проинтегрировав это уравнение с учетом постоянства величины a, можно получить следующую формулу:

v = v0 + a*t.

Здесь v0 — начальная скорость до момента появления ускорения a. Это равенство говорит о линейности изменения v со временем t. Если нарисовать график функции v (t), то получится прямая, которая пересекает ось ординат в точке (0, v0), а ось абсцисс — в точке (-v0/a, 0). Если начальная скорость равна нулю, то формула упрощается до равенства:

v = a*t.

Величина v также определяется как скорость изменения перемещения l, которое в случае прямолинейной траектории эквивалентно пройденному пути s. Поэтому можно записать равенство:

v = ds/dt.

Сгруппировав удобным образом полные дифференциалы и подставив полученное выражение для v (t), можно получить формулу:

ds = (v0 + a*t)*dt.

Интеграл от этого равенства дает конечную формулу для вычисления пути в ходе прямолинейного равноускоренного движения:

s = v0*t + a*t ² /2.

Поскольку функция s (t) является квадратичной, то графиком ее будет парабола. Положение экстремума определяется начальной скоростью v0. Степень «узости» ее ветвей зависит от значения ускорения a. Обе ветви направлены вверх, поскольку движение происходит с ускорением. На практике используют лишь правую ветвь графика, поскольку величина t может принимать только положительные значения.

Важно отметить, что не только ускоренное, но и замедленное движение по прямой траектории описывается теми же формулами для v и s. Единственное отличие заключается в знаке перед слагаемыми, содержащими ускорение a.

Практическая значимость

Рассматриваемые формулы, описывающие временные изменения координат в пространстве, широко применяются не только в теории, но и на практике. Следующие примеры демонстрируют этот факт:

1. Баллистические расчеты. Если не учитывать сопротивление воздуха, то перемещение объектов в полете описывается исключительно двумя проекциями перемещения тела в вертикальном и горизонтальном направлении под действием постоянной силы тяжести. Хотя траектория перемещения снаряда будет параболической, а не прямолинейной, но каждая из проекций перемещения l на оси y и x будет подчиняться рассмотренным формулам для прямолинейного равноускоренного (замедленного) движения.
2. Свободное падение предметов высокой плотности и с небольших высот также имеет характер равноускоренного движения по прямой. Небольшие высоты в сравнении с размерами планеты необходимы, чтобы пренебречь изменениями гравитационного поля, а большие плотности тел позволяют не учитывать сопротивление воздуха. В его отсутствии, как показал итальянский философ Галилей еще в XVII веке, перо и камень падают с одной и той же высоты за одинаковое время с постоянным ускорением g=9,81 м/с ² .
3. Движение автомобилей и мотоциклов по прямой дороге, набирание скорости плавучих судов на реках и в открытых морях, полет самолетов и космических кораблей — все это примеры, для изучения которых используются формулы равноускоренного движения по прямой.

Пример решения задачи

Каким образом следует применять рассмотренные формулы, можно показать на примере решения простой физической задачи, эксперимент с которой может провести каждый.

Человек кинул вертикально вверх камень. На какую высоту h он поднимется и сколько необходимо повременить t, чтобы он упал на землю после выполнения броска, если начальная скорость камня составляла 30 м/с?

Для решения задачи необходимо разбить ее на два этапа:

1. Подъем камня, который описывается формулой для равнозамедленного движения.
2. Процесс падения, для описания которого следует применять выражение для равноускоренного перемещения.

Для первого этапа получается:

v = v0 — g*t1.

Поскольку в верхней точке скорость камня v будет равна нулю, то легко можно рассчитать время его подъема t1:

t1 = v0/g = 30/9,81 = 3,058 секунды.

При этом он достигнет следующей высоты h:

h = v0*t1 — g*t1 ² /2 = 30*3,058 — 9,81*3,058 ² /2 = 45,872 метра.

Для второго этапа получаем время падения t2:

h = g*t2 ² /2 ==>

t2 = (2*h/g)^0,5 = (2*45,872/9,81)^0,5 = 3,058 секунды.

Общее время полета t составит:

t = t1 + t2 = 6,116 секунд.

Таким образом, движение по прямой с постоянным ускорением описывается линейными и квадратичными формулами. Их использование позволяет получить однозначные ответы о скорости и пройденном пути телом в любой момент времени его перемещения в пространстве.