Формулировка и формулы

Частица с зарядом q испытывает силу F, когда движется со скоростью v в электрическом (E) и магнитном (B) полях. Определяется она как F = qE + qv x B и измеряется в единицах СИ — N (ньютон). С точки зрения декартовых компонентов имеется:

• F x = q (E x + ⱴ y B z — ⱴ z B y);
• F y = q (E y + ⱴ z B x — ⱴ x B z);
• F z = q (E z + ⱴ x B y — ⱴ y B x).

E и B — функции положения времени. Следовательно, равенство может быть записано как F (r, ṙ, t, q) = q [E (r, t) + ṙ x B (r, t)], где r — вектор положения заряженной частицы, t — время, а овердот — производная времени.

Ускорение частицы будет происходить в той же линейной ориентации, что и поле E, но станет изгибаться перпендикулярно как вектору мгновенной скорости v, так и полю B. Это говорит о соответствии формулы силы Лоренца и «правила левой руки». Также здесь будет работать и «правило буравчика» (если пальцы расширяются, чтобы указывать в направлении v, а затем скручиваются, показывая в сторону B, тогда большой палец будет смотреть на F).

Комбинация q E называется электрической силой, а q (v + B) — магнитной. В этом контексте её можно называть силой Лапласа. Она не влияет на мощность, потому что всегда перпендикулярна скорости частицы.

Для непрерывного распределения заряда в движении уравнение принимает вид dE = dq (E + v + B). Если обе части равенства будут разделены на объём небольшого фрагмента dV, результат будет выглядеть следующим образом: f = p (E + v x B). Поэтому непрерывным аналогом уравнения является f = pE + J x B, где J — плотность тока.

Суммарная сила — интеграл объёма по распределению заряда: F = ∫∫∫ (p E + J x B) dV. Устраняя p и J, используя уравнения Максвелла и манипулируя с помощью теорем векторного исчисления, эту форму можно использовать для получения тензора напряжения σ. В свою очередь, это можно объединить с вектором Пойнтинга s для получения электромагнитного тензора энергии-импульса T, используемого в общей теории относительности. Если разделить полный заряд и ток на их связанные частицы, то получится плотность силы Лоренца. Она, в свою очередь, может объяснить крутящий момент.

Историческая справка

Ранние попытки количественно описать электромагнитную силу были предприняты только в середине XVIII века. Было высказано предположение, что сила на магнитных полюсах Иоганна Тобиаса Майера и электрически заряженных объектах Генри Кавендиша подчинялась закону обратных квадратов.

Однако в обоих случаях экспериментальное доказательство не было полным и убедительным. Лишь в 1784 году Шарль-Августин де Кулон, используя торсионный баланс, смог окончательно показать, что это правда. После открытия в 1820 году Эрстедом того, что на магнитную стрелку действует ток вольта, Андре-Мари Ампер в том же году смогла разработать формулу угловой зависимости силы между двумя токовыми элементами.

Современная концепция электрический и магнитных полей впервые возникла в теориях Майкла Фарадея, в частности, в его представлении о силовых линиях. Лордом Кельвином и Джеймсом Клерком Максвеллом ему было дано полное математическое пояснение.

Джей Джей Томсон был первым, кто попытался вывести из уравнений поля Максвелла электромагнитные силы на движущийся заряженный объект в терминах его свойств. Однако Томсон был заинтересован выражать эти величины в катодных лучах. Поэтому в 1881 году он публикует статью, где размещает свою формулу F = q/2 v x B. Она оказалась базовой, но из-за некоторых просчётов и неполного описания тока смещения он включил неверный масштабный коэффициент, равный половине.

Оливер Хевисайд изобрёл современную векторную запись и применил её к уравнениям Максвелла. Он также исправил ошибки вывода и пришёл к правильной форме магнитной силы на движущемся заряженном объекте. Наконец, в 1895 году Хендрик Лоренц вывел формулу, которая используется в настоящее время и носит его имя.

Значение и определение

Закон силы Лоренца описывает влияние E и B на точечный заряд, но такое воздействие не показывает всю картину. Заряженные частицы не просто дрейфуют в однородном электромагнитном поле. Возможно, они подвергаются и другим воздействиям, например, гравитации. В реальных материалах выводы физика не подходят для описания коллективного поведения таких частиц, как в принципе и для вычисления, поскольку тела не только реагируют на поля E и B, но и генерируют их.

Сложные уравнения переноса должны решаться для определения временной и пространственной реакции зарядов, например, равенств:

• Больцмана;
• Фоккера — Планка;
• Навье — Стокса.

К примеру, для решения вопросов по гидродинамике, электрогидродинамике, сверхпроводимости и эволюции звёзд разработан целый физический аппарат (формулы Грина — Кубо).

Для большей точности следует пояснить, что под силой Лоренца понимается следующее эмпирическое утверждение: F на пробном заряде в данной точке и данном времени является определённой функцией заряда q и скорости V, которая может быть параметризована ровно двумя векторами E и B в форме F = q (E + v x B).

Это справедливо даже для частиц, приближающихся к скорости света. Таким образом, два векторных поля (магнитное и электрическое) определяются во всём пространстве и времени относительно того, какую силу получит испытательный заряд.

Собственно, это только определение в принципе, потому что реальная частица (в отличие от гипотетической) будет генерировать собственные конечные поля E и B, изменяющие электромагнитную силу, которую он испытывает. Кроме того, когда у заряда есть ускорение, как если бы он был вынужден двигаться по искривлённой какими-либо внешними агентами траектории, от него исходит излучение, вызывающие торможение. Эти эффекты происходят как через прямое воздействие, так и косвенное. Помимо прочего, нужно учитывать гравитацию и другие силы.

Усиление и движущая ЭДС

Когда провод, несущий электрический ток, помещается в магнитное поле, каждый из движущихся зарядов, которые составляют ток, испытывает силу Лоренца. Вместе они могут создавать макроскопическую силу Лапласа. Исходя из этого, получается формула F = Iℓ x B, где ℓ — вектор, величина которого и есть длина проволоки. Его направление выровнено с движением обычного тока.

Если проволока не прямая, а изогнутая, расчёт происходит путём применения этого уравнения к каждому бесконечно малому сегменту проводника d ℓ. Затем нужно сложить всё посредством интегрирования. Формально чистая сила равна F = I ∫ dℓ x B. Кроме того, обычно возникает крутящий момент и другие эффекты, если провод не является абсолютно жёстким.

Компонент (qv x B) отвечает за движущую электродвижущей силы (ЭДС). Это явление, лежащее в основе многих электрических генераторов, исключая те, в которых движутся только магниты, а не проводники. В таких случаях ЭДС обусловлена (q E). Такое явление описано уравнением Максвелла — Фарадея.

Обе ЭДС, несмотря на их различное происхождение, описаны законом индукции Фарадея. Теория относительности Эйнштейна была частично мотивирована желанием лучше понять эту связь между двумя эффектами. На самом деле, электрические и магнитные поля являются разными гранями одного и того же электромагнитного поля. Поэтому при переходе от одной инерциальной системы отсчёта в другую (соленоидальное векторное поле) часть E может измениться в целом или частично стать B или наоборот.

Интеграция в другие направления

Применение силы Лоренца и её взаимодействие с другими смежными науками очевидно. Взять хоть аналитическую механику. Например, лоренцевское уравнение можно получить, используя формулы Лагранжа.

Также релятивную форму этого закона можно решить с помощью пространственно-временной алгебры (тип Клиффорда). В общей теории относительности уравнение движения для частицы с массой m и зарядом e, движущейся в пространстве с метрическим тензором g ab и электромагнитным полем F ab, имеет следующее выражение:

• m du c / ds — m ½ g ab, c u ^a u ^b = eF cb u ^b ;

• m du c / ds — m Г abc u ^a u ^b = eF cb u ^b .

Из закона индукции Фарадея (который действителен для движущейся проволоки, например, в двигателе) и уравнений Максвелла можно вывести силу Лоренца. Направление расчётов в обратную сторону также верно. Фарадеевский постулат не зависит от того, является ли проволочная петля жёсткой и неподвижной, находится ли она в движении или в процессе деформации, сохраняется ли магнитное поле постоянным во времени или оно изменяется. Однако есть случаи, когда закон либо неадекватен, либо труден в использовании. Именно здесь необходимо применение основополагающего закона Лоренца.

Широкое применение

Первыми приборами для предполагаемых открытий стали циклотроны. Смысл их работы довольно прост: частицы двигаются полукругом. Каждый раз, когда они проходят определённую область, специальный модуль включает электрическое поле, чтобы ускорить их.

Масс-спектрометры применяются для идентификации атомов и молекул. Они используются в следующих устройствах:

• электродвигатели;
• громкоговорители;
• рельсовые пистолеты.

Способность силы Лоренца связывать механическое смещение с электрическим током представляет большой интерес для медицинской акустики. Например, разрабатывался гидрофон для картирования скорости частиц акустического поля. Предполагалось, что он будет построен с использованием тонкого медного провода и внешнего магнитного поля.

Модель была разработана для определения взаимосвязи между акустическим давлением и измеренным электрическим током, который индуцируется, когда провод вибрирует в акустическом поле ультразвукового преобразователя.

Созданный прототип был охарактеризован. Было исследовано его пространственное разрешение, частотная характеристика, чувствительность, надёжность и характеристика направленности. Был также изучен метод визуализации, называемый электрической импедансной томографией. В этом методе биологическая ткань вибрирует ультразвуком в магнитном поле, которое индуцирует электрический ток. Этот метод был применён для визуализации желатинового фантома, образца мышц говядины и термического поражения в образце куриной грудки. Это показало, что метод может быть полезен для обеспечения дополнительного контраста по сравнению с обычной ультразвуковой визуализацией.