Вынужденные колебания - характеристика, условия возникновения и примеры

Общие сведения

Одним из состояний тела может быть нахождение его в точке равновесия. Вывести физический объект из него возможно путём воздействия определённого направления. Другими словами, приложив силу. В итоге тело может не только изменить своё положение, но и стремится вернуться к исходному. Например, часовой маятник. Сила сжатия пружины или электромагнитное поле заставляет отклоняться его от вертикального положения в 2 стороны.

Процесс, при котором изменение состояния относительно точки равновесия повторяется во времени, называют колебательным. Он всегда связан с превращением энергии из одной формы в другую. По своей сути они напоминают распространение волн в природе, поэтому их изучением занимается волновая и колебательная теория. Единственное различие между ними, что при возникновении волны происходит перенос энергии.

Существует 3 вида основных колебаний:

1. Свободные — созданные напряжением внутренних сил после вывода из состояния равновесия произошедшего каким-либо путём. Это явление всегда затухающее, то есть с течением времени система возвращается в начальное положение. Например, грузик, подвешенный на нити, сжимание и разжимание пружины.
2. Вынужденные — поддерживающиеся колебания определённой силой периодического воздействия. Например, положение рук при ходьбе.
3. Автоколебания — движения системы, которая обладает запасом потенциальной энергии. Например, механические часы. Отличительной чертой является уход от положения равновесия из-за свойств системы, а не исходных условий.

Практически 95% периодического движения составляют свободные и вынужденные колебания. Как и любое явление, они характеризуются рядом параметров. Основные — амплитуда и частота. Первый определяет наибольшее отклонение от начального положения, а второй обозначает число колебаний за единицу времени. Обратной величиной частоты является период. Он показывает, через какое время показатели системы будут повторяться.

Колебания разделяют на гармонические и релаксационные. Первые можно описать с помощью тригонометрических функций — косинуса или синуса, то есть они являются плавными в отличие от релаксационных, сопровождающихся ускорением или замедлением.

Изображение и описание

Самым наглядным способом отображения колебаний является график функций, описывающий изменение. Для поддержания периодичности нужна внешняя сила. Подчиняется она различным законам. В простейшем случае правило имеет гармонический вид. Например, изменение силы можно описать функцией: f = F0 * cos (wt).

Чтобы составить уравнение движение, кроме вынуждающего действия, нужно учитывать 2 другие силы: квазиупругую и сопротивления. Первая направлена к центру и пропорциональна расстоянию от середины до места приложения: F = c * r, где c — постоянная составляющая. При этом тело получает потенциальную энергию: Ep = 1 / (2 *c * r²). Вторая же характеризуется физической плотностью среды, где происходит колебание.

Если принять отклонения от равновесия за небольшое, сила сопротивления будет прямо пропорциональна скорости. Уравнение можно переписать: mx = -kx — rx + F0 * cos (wt). Сократив обе части равенства на cx, можно получить неоднородное уравнение линейного вида: x + 2bx + w²x = f*cos (wt), где f = F/m — частота; b = r/2m — коэффициент затухания; w = √‎(k/m) — частота колебаний. Решение равенства будет иметь вид: x = a*cos (wt — φ).

Изобразить гармоническое колебание, описываемое по формуле x (T) = A * cos (wt+φ) удобно, используя векторную диаграмму. Для этого нужно выполнить следующее:

1. Построить ось игрек и икс.
2. Изобразить вектор, длина которого будет равняться A. При этом он должен образовывать с осью икс угол фи.
3. Положительный угол отложить против движения часовой стрелки.
4. Определить проекции вектора на оси абсциссы и ординаты. Ими будут функции: y = A * sin (φ) и x = A * cos (φ).

Вращение вектора определяется двумя функциями: y (t) = A * sin (wt*φ) и x (t) = A * cos (wt + φ). Вынужденное колебание можно представить в виде изменения проекции на координатные линии некого вектора A. Причём модуль равняется амплитуде и вращается со скоростью φ, образуя в исходный момент времени с осью игреков φ0.

Кроме векторного способа, для описания колебаний применяют метод, называемый фазовой плоскостью. Его суть заключается в использовании величины x (t) и её первой производной. В этом случае движения представляют в виде системы: x (t) = A*cos (wt + φ); x'(t) = -A w 0*sin (wt + φ). По своему смыслу эти 2 уравнения описывают параметрическое движение по эллипсу. Точка будет двигаться по нему и полуосям: a = A; b = Aw.

Явление резонанса

При колебаниях может наступить момент приближения частоты вынуждающего воздействия к собственной частоте движения системы. В этом случае физики говорят, что установился резонанс. Другими словами, происходит амплитудное возрастание вынужденных колебаний при равенстве циклической частоты, которую называют резонансной. На графике зависимостей A от w кривая, описывающая явление, имеет наибольшую величину.

Амплитуду можно вычислить по формуле: A = F/2 gm √(‎ w² — g), где g — коэффициент затухания, то есть чем больше g, тем более будет сдвинут максимум к нулевой отметке на графике. Лучше проявляется резонанс в системах, характеризующихся малым затуханием. В ином случае циклическая частота будет мнимой, а амплитуда — монотонно уменьшаться.

Описывать колебательную систему можно через добротность (Q). Эта величина определяется из отношения энергии, которую удалось накопить, к значению её расхода за один период. С помощью этого параметра определяют качество, так как чем добротность больше, тем меньше система теряет энергию. Для любого механического периодичного движения её можно вычислить так: Q = √ (m * k) / r = (w * m) / r, где: m — масса системы, k — жёсткость, r — сопротивление.

В качестве нежелательного примера резонанса при вынужденных колебаниях можно привести работу двигателя внутреннего сгорания. В нём имеется коленчатый вал, на который оказывает воздействие шатун. При этом период изменения сил зависит от угловой скорости вращения вала. Вызываются колебания, которые при резонансе приводят к повышению напряжения оси и в дальнейшем вызывают её поломку, поэтому для борьбы с резонансом используют различные поглощающие материалы.

При помощи явления можно выделить или даже усилить довольно слабые периодические колебания. В радиотехнике его используют для получения полезного сигнала, усиления звука. Что интересно, впервые о резонансе заговорил Галилео Галилей в 1602 году, исследуя движения маятников и музыкальных струн. Он предположил, что резонанс — это отклик на силу извне, при котором происходит синхронизация частот колебаний с воздействующей на неё внешней силы. Это явление приводит к росту амплитуды движения всей системы.

Ширина кривой

При резонансе амплитуда колебаний максимальная. Следовательно, и энергия, запасённая системой, будет наибольшей. Она может быть равной: E = (½) * (mw²A²). Отсюда следует, что резонансную энергию возможно вычислить по формуле: E = (½) * (mw² * A рез ² ), причём Арез = F / (m * 2w). Стоит только изменить частоту вынуждающей силы, то есть её уменьшить или увеличить, амплитуда колебаний резко упадёт. Если система будет высокодобротной, при небольшом смещении энергия уменьшится.

Пусть w1 и w2 частоты, на которых E будет составлять половину от значения, присущего резонансу. Можно составить систему из двух уравнений: E (w1) = (1 / 2) * (m * w1² * A²(w1)) и E (w2) = (1 / 2) * (m * w2² * A²(w2)).

Выражения A²(w1) и A²(w2) являются амплитудами при отстройке от резонанса. Связь их с A (w) будет следующей: (1 / 2) * (m * w12² * A²(w12) = (1 / 2) * (1 / 2) * (m * w0² * A²рез). В полученном равенстве можно сократить массы, число ½ и учитывая, что при высокой добротности w1 ≈ w 2 ≈ w0, убрать из формулы частоты. В итоге получится уравнение: A²(w12) = (½) * Aрез. После извлечения корня зависимость примет вид:

• A (w1) = (1 / √ 2) * Aрез;
• A (w1) = (1 / √ 2) * Aрез.

Разность w1 и w2 будет называться половинчатой шириной резонансной кривой, то есть коэффициент затуханий можно найти как a = Δw/2. Измерив ширину кривой, можно узнать фундаментальную характеристику колебательной системы — коэффициент затухания.

Через это определение легко вычислить и добротность. Она равняется: Q = w0 / 2a. Чтобы её найти, необходимо центральную частоту разделить на ширину резонансной кривой: Q = w0 / Δw. Получается, что чем выше будет добротность колебательной системы, тем уже резонансная кривая.

В качестве примера вынужденных колебаний механического типа можно привести язычковый частотомер. Это прибор, работа которого основана на использовании резонанса. Устройство его состоит из электромагнита, над которым располагаются металлические пластины, разные по длине. Под действием поля они начинают колебаться. В сети частота тока 50 Гц, если создаётся вынуждающая сила на 100 Гц, язычок, настроенный на это значение, начинает резонировать.

Электромагнитный резонанс позволяет выделять радиостанцию. Ещё из ярких примеров вынужденных колебаний можно отметить: движение мембраны телефона, ход иглы швейной машинки и поршня в цилиндре автомобиля, компенсацию возмущений едущего по неровной дороге авто за счёт рессоры, океанические приливы под действием Луны.

• Резонанс Шумана