Информатика не может существовать без такого важного раздела математики, который называется алгеброй логики. В данной статье будет рассказана основополагающая информация по данной теме, обозначены её главные правила и законы.

Что такое алгебра и алгебра логики

Алгебра — это раздел математики, который обобщенно можно охарактеризовать, как расширение и обобщение арифметики.

Алгебра логики

Алгебра логики — это раздел математической логики, который исследует операции над высказываниями.

Законы алгебры логики

Имеется большое количество правил в данной сфере деятельности, но сегодня будет рассмотрено несколько основных.

Законы алгебры логики

Переместительный закон - предназначен для процесса сложения и вычитания. Суть данного правила в том, что обозначения А и В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять.

Сочетательный закон - применяется, когда есть или только операция дизъюнкции, или только операция конъюнкции. Тогда можно обходиться без скобок или хаотично ставить скобки.

Распределительный закон - имеется два типа данного правила: дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции и дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции. Первый тип схож с дистрибутивным законом алгебры, а второй — нет, поэтому его нужно доказывать.

Закон двойственности и инверсии (закон Моргана) - основоположником данного правила стал шотландский математик и логик де Морган. Он разработал правило, которое связывает логические операции конъюкцию (И) и дизъюнкцию (ИЛИ) с помощью отрицания.

Основные законы алгебры логики представлены в таблице:

Законы алгебры логики

Логические выражения

В информатике предоставляется два вида высказываний: простое и сложное. 

Элементы алгебры логики

Простое — это утверждение, которое обычно обозначается в виде предложения и про него можно сказать — ложное оно или истинное.

Примеры:

  • Нью-Йорк — столица США (ложное);

  • в России 1117 городов (верное).

Алгебра логики

Сложное высказывание обозначает некий набор простых утверждений, которые связаны логическими процессами.

Пример:

Идёт дождь, а у меня нет зонта.


Основные логические операции

Логические процессы подразделяются на несколько классов. Рассмотрим их последовательно.

Логическое отрицание (инверсия) —НЕ

Данная операция используется при обозначении отрицания. Она обозначается знаками — NO, NOT, ! В=2 (истина), а после выполнения операции отрицания, В, к примеру, приобретет значение 1 (ложное).

Таблица истинности инверсии:

101

Результаты операции НЕ следующие:

  • если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;

  • если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным. 

Логическое сложение (дизъюнкция, объединение) — ИЛИ

Понятие «Логическое ИЛИ» также можно заменить понятием «Дизъюнкция». Данная операция обозначается знаками — ИЛИ, OR, ||, |. 

Но есть небольшое отличие: в «Логическом И» результат отрицания равен единице, если оба обозначения равны единице, а в «Логическом ИЛИ» итог равен единице, если одно из обозначений равно единице.

Таблица истинности операции ИЛИ:

102

Логическое умножение(конъюнкция) — И

В истории данная операция также обозначается как логическое умножение и конъюнкция. Данная операция обозначается элементами — И, AND, &&, &.

За объект описания возьмём А и В. Оба данных выражения могут иметь или неверное значение, или правдивое значение. Для применения операции логическое умножение, и А, и В должны является истинными (то есть равными единице). 

При всех остальных значениях операция будет ложной.

Таблица истинности операции И приведена ниже:

103

Логическое следование (импликация) — ЕСЛИ ТО

Данная программа имеет также название «Импликация». Она образуется из двух высказываний, которые соединяет: «если..., то».

Необходимо запомнить, что данная операция ложна только тогда, когда из первого ложного утверждения следует ложный итог. На компьютерном языке данный процесс обозначается формулой: if...then.

Таблица истинности операции ЕСЛИ ТО выглядит так:

104

Операция эквивалентности (равнозначности) - А ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА В

Данная операция определяется так: сложное высказывание будет истинно тогда и только тогда, когда и А, и В — истинные.

И наоборот: сложное высказывание будет ложным тогда и только тогда, когда и А, и В — ложные.

Таблица истинности операции эквивалентности:

105