Двоичная система счисления - правила и примеры преобразований

Когда используется двоичная система счисления, числа выражаются посредством использования нуля и единицы. Компьютеры в своей работе используют двоичные числа. Они могут быть целыми или дробными. 

С их помощью могут быть выражены все буквы алфавита. Однако для человека более привычна десятичная система. 

В статье будет рассказано, как делать расчёты с использованием бинарных чисел и как преобразовывать их в более привычную десятичную систему и в противоположном направлении.

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел

Действия с бинарными числами, состоящими из нулей и единиц, выполняются по правилам арифметики, которые аналогичны используемым в десятичной системе. 

Это верно для всех основных операций, используемых в арифметике — сложения, вычитания, умножения, деления. 

Для вычисления можно проводить расчёты самостоятельно или использовать онлайн калькулятор.

Сложение

При сложении двух двоичных чисел удобно их расположить в столбик друг над другом. Аналогичным образом можно проводить вычисления с дробями. 

При этом вычисления производятся так же, как обычно, за исключением правила, по которому делается перенос в старший разряд. Если, когда складывают цифры, на определённом месте переноса будет получено два или три, то единица будет перенесена в старший разряд.

Если получилось в таком случае три, то в качестве суммы указывают 1. Если два, - то ноль.

После завершения вычисления всех значащих цифр будет получена сумма двух бинарных чисел.

Вычитание

Это можно делать обычным образом, однако на практике распространён ещё один вариант.

При вычитании двоичных чисел обычно используется дополнение для вычитаемого. Это форма для выражения отрицательного числа. Оно получается путём замены всех единиц — на нули, а нулей — на единицы. 

Полученное таким образом вычитаемое требуется обычным образом сложить с уменьшаемым. После этого старшую единицу отбрасывают. 

Результат — разность, полученная при вычислении в двоичном коде.

Умножение

Умножать в информатике можно, пользуясь обычными правилами для вычисления в столбик.

Перевод десятичного числа в двоичное

Для того чтобы представить обычное число в бинарном виде, нужно воспользоваться операцией деления на два. При первом вычислении будут получены частное и остаток. 

Затем частное ещё раз делят на два. Снова записывают результаты. Продолжают повторять до получения единицы.

Первый остаток будет младшим битом числа, второй — следующим. Таким образом все остатки выписывают справа налево и получают число в двоичной системе, равное по своему значению первоначальному десятичному. 

Возможно составить таблицу, которая покажет все двоичные разряды этого числа.

Примеры перевода чисел

Далее будет рассмотрено преобразование десятичного числа 23 в двоичную форму. 

Запишем результаты деления на два:

• 23 делим на 2 — при этом частное равно 11, остаток — 1;

• 11 пополам — в результате частное будет 5, в остатке — 1;

• 5 снова делим — частное 2, остаток 1;

• 2 на 2 — здесь получится 1, остатком будет 0;

• последний остаток равен 1.

Итак, было получено 10111, представленное в двоичном виде. Теперь будет сделан его перевод в десятичный вид. Для этого нужно использовать следующую формулу:

1 * 16 + 0 * 8 + 1 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23.

Таким образом проверка показала, что было получено число с основанием 2, которое имеет то же самое значение.