Содержание:

Впервые они были описаны Джорджем в своих трудах, которых было не мало. Тематика его работ была посвящена связи двух наук, на первый взгляд не связанных друг с другом.

Элементы алгебры логики

Логические законы математики очень сложны для восприятия, но некоторые рассматривается, как уже было сказано, в школьном курсе, так как они достаточно просты для понимания учащимися средней школы. Рассмотрим их подробнее.

Высказывания

Основной элемент алгебры логики это повествовательное предложение, которое оценивается однозначно: истинно или ложно. Такие предложения называются высказываниями. В случае истинности выражения ставится 1, в противном случае 0. Для простоты обозначения предложений применяются буквы латинского алфавита.

Обратите внимание, только повествовательные предложения могут быть признаны высказываниями.

Действия над выражениями

С логическими высказываниями можно проводить следующие функции:

  1. Конъюнкция.

  2. Дизъюнкция.

  3. Инверсия.

Разберем их подробнее, для пояснения этих действий чаще всего используют диаграммы Венна или круги Эйлера.

Пересечение

Конъюнкция – представляет функцию, которая может быть истинной только в том, случае, когда оба исходных высказывания истинны. Если переводить на математический язык - это знак умножения.

Для обозначения можно использовать один из этих символов ∩, И, .

Объединение

Дизъюнкция – функция, при которой ложность выражения будет только в том случае если оба исходных высказывания ложны, в противном случае, будет истина.

Для обозначения применяются следующие символы +, Ս, ИЛИ &.

Инверсия

Отрицание – противоположность исходного выражения. Самая легко запоминаемая и простая функция.

Обозначается это действие ͞ , НЕ, ¬

Аксиомы алгебры логики

Как и математика, Булева алгебра имеет свои постулаты, не требующие доказательства. Для их записи, будем использовать выражение С.

Аксиомы дизъюнкции Аксиомы конъюнкции
С + 1 = 1 С & 1 = C
С + 0 = С C & 0 = 0
С + ¬С = 1 C & ¬C = 0
С + С = С C & C = C

Любая их этих аксиом легко доказывается построением таблицы истинности любого выражения. Но для простоты работы с логическими высказываниями запомнить постулаты не помешает. Ведь не всегда есть возможность построить таблицу истинности.

Единственная аксиома инверсии

¬ (¬С) = С

В этом случае можно привести пример математического правила, когда минус на минус дает плюс, а в нашем случае это двойная инверсия.

Элементы алгебры логики как было ранее сказано, изучается в курсе информатики, а не математики. Связано это с устройствами вычислительных машин, например, мультиплексоры, триггеры и т.п. Работа этих устройств завязана на принципе логических выражений, используя 0 и 1. Также не стоит забывать о системах счисления, ведь компьютер использует бинарный код для шифрования любой команды, с применением тех же нуля и единицы.

Резюмируя, вышесказанное, с логическими выражениями можно выполнять действия, которые иначе называются конъюнкция, дизъюнкция и инверсия. Для упрощения применения логических законов используют аксиомы булевой алгебры. При составлении таблиц истинности для каждого выражения применяются таблицы истинности. В статье были рассмотрены основные логические операции с выражениями, их гораздо больше 3, но они изучаются уже старшем возрасте, ведь понимание их сложнее.