Системы счисления - понятие и примеры по информатике для 9 класса

Общие сведения

Числа записывают при помощи определенных математических символов, значение которых зависит от системы счисления (формы представления). Последней называется метод записи числа посредством определенной совокупности знаковых элементов — цифр. Не все учащиеся понимают отличие цифры от числового значения. В учебнике по информатике для 9 класса можно встретить и такое определение: системы счисления — набор символов, используемый для обозначения цифр.

Цифра — определенный математический символ, который указывает на конкретную величину. Они составляют число, а их расположение называется разрядной сеткой.

Цифры классифицируются на 2 вида: арабские и римские. Первые применяются для устного счета и представлены диапазоном от 0 до 9, который называется десятичной формой представления. Римские цифры имеют другие обозначения. Вот расшифровка некоторых из них, которую можно перечислить в виде следующих символов: 1 - I, 2 - II, 3 - III, 4 - IV, 5 - V, 6 - VI, 7 - VII, 8 - VIII, 9 - IX, 10 - X, 40 - XL, 50 - L, 90 - XC, 100 - C, 200 - CC, 400 - CD, 500 - D.

Классификация систем счисления

В зависимости от значений символов при их расположении, системы представления значений классифицируются на 4 вида. Последние бывают:

1. Позиционные.
2. Непозиционные.
3. Унарные.
4. Смешанные.

В позиционных расположение цифры в разрядной сетке влияет на значение числа. Например, дан определенный параметр 12345. Если поменять символы местами, получится совершенно другая величина. В этом легко убедится, воспользовавшись обыкновенным калькулятором. Опыт выполняется в 2 этапа:

1. На калькуляторе выполнить операцию вычитания двух чисел: 12345-12345=0.
2. Изменить положение математических символов: 12543.
3. Отнять от исходной величины другую, полученную во втором пункте: 12345-12543=-198.

Результат, полученный в последнем пункте, свидетельствует, что изменение расположения цифр влияет на количественные характеристики числа.

Примером непозиционной системы счисления является обыкновенный массив данных, который строится на представлении "ключ->значение". В программировании его называют ассоциативным. Расположение его элементов не имеет значения, поскольку обращение к каждому из них осуществляется при указании соответствующего ключа.

Например, есть массив вида: login->Petr102000, password->1245ercdrg, email->petr102000@mail.ru. Чтобы узнать имя пользователя, нужно обратиться к ключу "login". Иными словами, непозиционная форма представления — набор математических символов, от положения которых не зависит результат выполнения операции.

Унарная — система счисления, элемент которой эквивалентен 1. Например, обучение счету в начальных классах при помощи палочек. Во время выполнения каких-либо работ по подсчету компонентов она также используется. Человек рисует крестик, палочку или другой символ, а затем считает их общее количество.

Смешанный тип может включать в себя все 3 системы или 2. Он применяется для подсчета денег, а основными элементами являются мелочь (монеты) и купюры.

Позиционные формы представления

Позиционные системы представления численных величин используются не только для устного счета, расчетов, но и в информационно-коммуникационных технологиях (ИКТ). Персональный компьютер переводит десятичное число в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему (реже в троичную и пятеричную).

Основной является двоичная, поскольку из этого представления при помощи различных методик числа переводятся в другие системы исчисления. Для каждой операции существует определенный алгоритм, которого специалисты рекомендуют придерживаться.

Чтобы определить основание системы счисления, нужно внимательно рассмотреть число. Оно указывается в виде нижнего индекса или фигурными скобками. Например, А281F{16}, 0111101100{2}, 253{8}. Однако в первом случае его можно не указывать, поскольку и так понятно, что это шестнадцатеричная форма записи величины (используются элементы английского алфавита).

Двоичный код можно записывать без фигурных скобок, т. к. он отличается от восьмеричной, пятеричной и других представлений чисел. Если речь идет о восьмеричной, в фигурных скобках указывается 8.

Существует также понятие мощности систем информационного исчисления. Эта характеристика показывает, какое количество данных можно закодировать. Например, картинки кодируются при помощи набора символов шестнадцатеричной формы представления, имеющей больший по сравнению с другими параметр мощности.

Работа с двоичным кодом

Двоичный код состоит из 0 и 1, что довольно просто реализовать в разнообразных электронных устройствах. Кодирование осуществляется наличием или отсутствием электромагнитного поля, закрытым или открытым переходом полупроводникового транзистора. В этом случае прослеживается связь информатики и вычислительной техники с физикой.

Для конвертации десятичной формы в двоичную применяются 2 способа. К ним относятся:

1. Деление в столбик.
2. Анализ степеней.

Новичку в сфере IT необходимо знать алгоритм конвертации двоичного кода в десятичный и обратную операцию. Методика для деления в столбик (преобразование в двоичную форму) имеет такой вид:

1. Написать десятичное представление: 117.
2. Выполнить деление на 2: 117/2=58 (1).
3. 58/2=29(0).
4. 29/2=14(1).
5. 14/2=7(0).
6. 7/2=3(1).
7. 3/2=1(1).
8. Первый разряд: 1 (остаток).
9. Результат выполнения (снизу вверх): 1110101.

Обратная конвертация из двоичного кода в десятичную форму имеет немного другую методику. Суть ее состоит в следующем:

1. Запись двоичной формы: 1110101.
2. Суммирование по разрядам (слева направо): 1+4+16+32+64=117{10}.

Следующий способ конвертации десятичной формы в двоичную называется степенным. Суть его в том, что нужно составлять специальную таблицу:

Таблица 1. Степень 2 и ее величина.

Методика преобразования строится по определенному алгоритму. Последний имеет такой вид:

1. Записать величину в десятичной форме.
2. Определить максимальное значение.
3. Написать 1 в соответствующую позицию разрядной сетки.
4. Отнять число, записанное во втором пункте, от первоначального значения.
5. Выполнить все действия во 2, 3 и 4 пунктах в строгой последовательности.
6. Записать окончательный результат.

Чтобы понять методику конвертации при помощи степенного способа, нужно разобрать ее реализацию на практическом примере:

1. Десятичная форма: 117.
2. Максимум: по таблице 1 - 2^6 (запись 1).
3. Разность: 117-2^6=53.
4. MAX: 2^5=32 (1).
5. 53-32=21.
6. MAX: 2^4 (1).
7. 21-16=5.
8. MAX: 2^2=4 (1).
9. MAX: 2^0 (1).
10. Результат: 1110101.

Каждый ученик должен сам выбрать для себя оптимальный способ. Для проверки можно воспользоваться специальным калькулятором или веб-приложением для конвертации из одной системы представления величины в другую.

Восьмеричная запись

Перевод в восьмеричную форму из десятичной осуществляется через двоичный код. После чего элементы разрядной сетки группируются по триадам, а затем высчитывается результат. Чтобы привести число к восьмеричной форме, нужно использовать следующий алгоритм:

1. Написать искомое число.
2. Перевести в двоичный код одним из способов.
3. Сгруппировать по 3 разряда.
4. Расписать каждую группу, присваивая ей определенную величину.
5. Записать искомое значение.

Для использования алгоритма необходимо разобрать пример преобразования числа 117 в восьмеричный код. Это делается таким образом:

1. Искомое значение: 117.
2. Двоичный код: 1110101.
3. Группировка (если не хватает разрядов, нужно дописать нули): {001}{110}{101}.
4. Результат: 165{8}.

Алгоритм обратного преобразования строится на конвертации сначала в двоичную, а затем в десятичную форму. Он имеет следующий вид:

1. Написать число: 165{8}.
2. Разбить по разрядам: {1}{6}{5}.
3. Перевести в двоичное представление: {001}{110}{101}=1110101.
4. Перевод в десятичную: 117.

Конвертация проверяется при помощи различных онлайн-сервисов или калькулятора. Восьмеричная система позиционного счисления обладает большей мощностью, чем двоичная.

Шестнадцатеричный формат

Для выполнения перевода десятичного числа в шестнадцатеричное (ее также можно назвать HEX-представление) существует определенная методика, похожая на предыдущую (восьмеричную), но имеющая некоторые отличия. Последние заключаются в выделении тетрад (4 элемента), а также расширения количества математических символов (от 0 до 9, А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14 и F = 15). Алгоритм имеет следующий вид:

1. Перевести десятичную форму в двоичную.
2. Сгруппировать разряды по 4 элемента. Если в какой-то группе не хватает цифр, нужно дописать нули.
3. Написать числа для каждой группы.
4. Записать окончательный результат.

Для полного понимания методики конвертации нужно разобрать практический пример. Реализация алгоритма выглядит следующим образом:

1. Записать число: 117.
2. Написать двоичную форму: 1110101.
3. Образовать тетрады: {0111}{0101}.
4. Значения для каждой группы: 11=В и 5=5.
5. Результат: В5.

Обратная методика преобразования строится на переводе в двоичную форму, а затем в десятичную. Она имеет такой вид:

1. Записать шестнадцатеричную величину: В5.
2. Расписать каждый элемент: В{16}=0111 и 5{16}=0101.
3. Перевод в десятичную систему: 117.

Во втором пункте специалисты рекомендуют указывать основание, т. к. этот прием поможет избежать ошибок при конвертации. Кроме того, результат необходимо проверять при помощи веб-сервиса или специального калькулятора.

Таким образом, системы счисления используются для конвертации цифровой информации в машинный код для дальнейшей обработки и выдачи готовых результатов, полученных во время вычислительного процесса.