Таблица истинности логических операций - алгоритм построения

Определения и понятия

Под таблицей истинности понимают свод значений, которые может принять высказывание при сочетании различных входящих комбинаций. Другими словами, каждому набору функций или сигналам, присутствующим на входе чего-либо, соответствует строго определённые показатели на выходе. Все значения, являющиеся всевозможными высказываниями, называют логическими выражениями. Если в таблице последние столбцы логичных выражений идентичны, то рассматриваемый объект считается равносильным.

Любое выражение можно описать формулой, в которую будут включаться переменные, характеризующие состояния, и обозначающие функции знаки логических операций. Поэтому используя язык математики, в частности, алгебры, любое сложное высказывание можно разделить на несколько простых, а затем объединить логической связью.

Обычно значениями истинности описывают логическую функцию, у которой показатели параметров определяют верность. Раздел математики рассматривающий их на правдивость или ложность называется булевым. В 1854 году английский учёный Джордж Буль предложил метод, позволяющий проводить анализ классов и высказываний. Согласно ему, любое значение может принимать одно из двух состояний — истина или ложь.

Эти состояния принято обозначать арабскими цифрами один либо ноль или словами true и false. Это возможно из-за того, что для математики важна только истинность высказываний, а конкретное содержание второстепенно. Простые высказывания принято считать логическими переменными, а сложные — функциями логики. Выражения для упрощения записи обозначают латинскими буквами A, B, C.

Применение двух цифр подчёркивает соответствие между двоичной системой счисления и математической логикой. В итоге с помощью последней стало удобным описывать работу цифровых схем радиоэлектронной аппаратуры, алгоритмы в программировании, проводить синтез и анализ результата выполнения операций.

Суждение о правильности построения таблиц истинности для логических выражений основано на учёте всех переменных и операций, последовательно выполняющихся в рассматриваемой функции. Обычно для начертания используют 2ⁿ+1 строк, где n обозначает количество входных переменных, и n+m столбцов, m — число значений на выходе.

Виды логических операций

В качестве наименьшей единицы измерения объёма данных принято считать бит. В него заносится одно из двух значений — ложь (0) или правда (1). Каждая ячейка, соответствующая биту, находится лишь в одном из этих состояний. Существуют определённые операции, используемые для действий с ячейками:

1. AND (И) — применяется для сравнения двух бит. Результатом действия будет единица, но лишь в том случае, если значения двух ячеек одинаковое. При остальных вариантах итог будет иметь устойчивое нулевое состояние.
2. OR (ИЛИ) — по сути, операция обратная AND. Результат становится нулевым, если содержимое двух сравниваемых бит одинаковое. В остальных случаях он равный единице.
3. XOR (ИЛИ) — если значения, содержащиеся в двух сравниваемых битах противоположны, при выполнении логического действия результат будет равный единице. Во всех остальных случаях он будет равняться нулю.
4. NOT (НЕ) — действие, используемое для одного бита. Если первоначально ячейка находилась в нулевом состоянии, то после выполнения над ней операции она станет равной единице и наоборот. Фактические это логическая инверсия.

Эти операции являются основными элементами при составлении таблиц истинности и получения возможного результата. На основании их построена алгебра Буля. Некоторые элементы получаются путём объединения нескольких операций. Так, существует состояние: NAND (И-НЕ) и NOR (ИЛИ-НЕ). Первый элемент является инверсией операции «И», а второй — «ИЛИ». На основании рассмотренных операторов строится работа всех цифровых интегральных схем.

В информатике существует своя терминология, обозначающая то или иное логическое действие. Так, AND называют операцией конъюнкции, OR — дизъюнкции, XOR — сложение по модулю 2, NOT — отрицание. Задача инженера при анализе схем или алгоритма сводится к выполнению булевой арифметики и упрощению выражений. Для этого используют различные правила и положения не требующих доказательства.

Аксиомы и законы

Построение таблиц в удобной форме позволяет определить, когда определённое действие или высказывание принимает верное значение, а в каком случае нет. В верхней строчке записывают логическую форму высказывания, а в столбцах - истинные значения. Некоторые комбинации высказываний всегда будут истинными или ложными, независимо от содержания. Поэтому и были сформулированы следующие законы:

1. Торжества. Записывается в виде утверждения: А = А. В этом случае таблица будет состоять из двух комбинаций: ложной и правдивой. Бинарная логическая связка «Если А, то А» является материальной импликацией. Для такого варианта всегда можно сказать, что А есть А. Этот закон обозначает то, что нельзя подменять одно понятие другим, иначе возникнут логические ошибки.
2. Противоречия. Согласно ему, утверждение, что А и НЕ-А, неверно: A & A = 0. Другими словами, если А истинное значение, то его отрицание не может быть ложным. То есть их перемножение будет всегда фальшивой операцией. Этот закон довольно часто применяется для упрощения сложных логических суждений.
3. Третьего исключённого. Закон записывается в виде A v A = 1 и обозначает, что в один и тот же момент высказывание может быть только правдивым или ложным. То есть третьего не дано.

Эти три закона фундаментальны. Без их соблюдения сделать любое правильное утверждение невозможно.

Для решения логических задач с помощью таблиц истинности используют различные формулы, соответствующие разного вида операциям. Одно из них логическое умножение (конъюнкция). В этом случае считается, что функция истинная лишь тогда, когда оба выражения являются верными: F = A & B. Другое логическое сложение (дизъюнкция). Оно гласит, что если оба выражения ложны, то и логическая функция будет неверной.

Кроме того, используется закон:

• инверсии (отрицания) — если логическое высказывание истинно, то отрицание его будет ложным выражением;
• импликации (следования) — для всегда истинного сложного логического выражения ложь будет тогда, когда из верности следует отрицание;
• эквивалентности (равнозначности) — выражение будет истинным лишь тогда, когда оба высказывания имеют одинаковое значение.

При построении таблиц нужно придерживаться установленного порядка выполнения упрощения операций. Вначале считают инверсию и конъюнкцию, а затем дизъюнкцию, импликацию и эквиваленцию. При изменении же порядка выполнения действий в описании логических операций используют скобки.

Алгоритм построения

Таблицы истинности показывают, какой вид может принять выражение при различных входящих в него значениях переменных. Для того чтобы их правильно построить и выполнить вычисление логического выражения нужно придерживаться установленного алгоритма. Построение таблиц выполняют в следующей последовательности:

• подсчитывают количество переменных n;
• вычисляют число строк для будущей таблицы используя формулу m = 2n+1;
• определяют число логических операций;
• устанавливают порядок выполнения операций в соответствии со скобками и приоритетами;
• строят таблицу с указанием столбцов и наборов значений, заданных логических операций;
• заполняют оставшиеся ячейки в таблице.

Для заполнения таблиц нужно упрощать выражения с учётом последовательности выполнения операций. При этом учитывать, что если значение какого-то из аргументов функции в соответствующей строке таблицы будет равное нулю, то записывать его нужно в виде отрицания.

Пример задания

Пусть необходимо построить таблицу для логического выражения F = (A → B) * (A + B). Эта формула состоит из двух логических переменных A и B и нескольких операций. Начинают построение с определения строк. Используя формулу 2n+1 для рассматриваемого примера можно установить, что их число будет: x = 22 + 1 = 5.

Теперь следует определить число столбцов. Для этого используется формула, в которой учитывается количество переменных и операций. Последние можно просто посчитать, сложив количество разных знаков, используемых в записи формулы. Но правильней сначала расставить порядок операций, а затем посчитать. Согласно порядку действия над операциями их нумерацию можно представить в следующей очерёдности:

1. Импликация в первой скобке.
2. Инверсия во второй скобке переменной A.
3. Отрицание во второй скобке неизвестной B.
4. Сложение во втором члене.
5. Конъюнкция.

В итоге получится, что столбцов будет: Y = 2 + 5 = 7. Теперь нужно построить таблицу 7Х5. В шапку первого и второго столбца вписывают переменные, а затем операции над ними. Затем в строках, соответствующих A и B нужно записать всё, что с ними может произойти. В итоге останется только правильно посчитать последний столбец.

Для этого нужно использовать законы. Необходимо выполнить логическое умножение значений в скобках. Первой и второй строчке будет соответствовать операция произведения один на один, что в ответе даст единицу. Третьей и четвёртой - ноль на один, что в итоге даст ноль. Последний столбец является главным для рассматриваемой логической функции. По нему можно узнать значение логической функции для любых форм переменных A и B.

Это довольно простая задача, содержащая всего две переменных. Но в реальности, например, в программировании, их может быть намного больше. Решать такие задания методом перебора проблематично. Поэтому при решении сложных примеров функцию вначале пытаются упростить.

Например, заданно выражение (x + y + z) * (x + y). По сути, оно записано в совершенно нормальной конъюнктивной форме. Но для приведения его к этому виду нужно, чтобы во втором выражении стояла z. Для того чтобы её добавить необходимо обратить внимание на то, что внутри скобок стоит логическое сложение. Поэтому дописав к нему ноль, результат не изменится. Добавить ноль через z можно, как ноль умножить на НЕ z. В итоге получится выражение (x + y + z) * (x + y + z + z), для которого, используя алгоритм составить таблицу уже не так и сложно.

Вычисления онлайн

В интернете есть сервисы, автоматически строящие таблицы истинности. Такие сайты предлагают свои услуги бесплатно и доступны даже тем, кто слабо ориентируется в теме. С их помощью можно находить таблицы для довольно сложных выражений, решение которых требует скрупулёзности в расчёте. В основе онлайн-вычислений заложены принципы логических законов, поэтому за достоверность результата можно не переживать. Тем более расчёт занимает совсем небольшое количество времени.

Для того чтобы воспользоваться сайтами-калькуляторами пользователю необходимо знать обозначение операций, иметь подключение к интернету и установленный веб-обозреватель, поддерживающий Flash-технологию. Регистрацию, указание личных данных сервисы, предлагающие такого рода услуги, не требуют.

Из различных порталов можно отметить три наиболее популярных калькулятора:

1. Allcalc.
2. Programforyou.
3. Uchim.

Эти сайты имеют интуитивно понятный интерфейс и что довольно полезно, на своих страницах содержат краткую теорию, используемую для составления таблиц истинности и даже примеры решений.