При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции.

Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

Пусть y = f (x) имеет производную

1
 


не равную нулю.

Применяя свойства предела функции, получают равенство

2

После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:

3

в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.

Определение 1

Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)).

Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x. Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.

Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.

Определение 2

Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.


Формы записи дифференциала

Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x' = 1, а, следовательно:

dx = Δx

Отсюда получается формула:

dy = f'(x)dx

Для второго порядка вводится обозначение d2y.

Инвариантность формы дифференциала

Свойства дифференциала

Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:

4

Свойства интегралов и дифференциалов

Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически,

5

Таблица производных

Таблица производных

Примеры решения задач

Задача №1

Найти дифференциал функции

6

Решение.

Учитывая, что 

7

записывается результат:

8

 

 

Задача №2

Вычислить значение дифференциала функции

9

при условии, что

10

Решение.

11

 

В помощь студентам создан онлайн калькулятор, который позволяет ввести функцию, нажать кнопку и получить форму или значение дифференциала. 

Если dx есть константа, то для высших порядков имеет место следующая формула:

12

Этот результат вытекает непосредственно из определения:

14

Задача №3

Найти d2y, если y = cos2x  и x – независимая переменная.

Решение.

15

поэтому

16
 

Если x – функция от некоторой другой независимой переменной, то свойство инвариантности перестаёт работать, следовательно,

17

Задача №4

Найти d2y, если y = x2 и x = t3 + 1, t – независимый аргумент.

Решение.

18

следовательно,

19
 

Нетрудно заметить, что если выразить y напрямую через t, то получится тот же результат.

Учитывая, что

Δy ≈ dy

с высокой степенью точности можно вычислить приращение любой дифференцируемой зависимости.

Раскрыв Δy, сделав соответствующие преобразования, приходят к формуле приближённых вычислений:

20

Задача №5

Вычислить приближённо arctg1,05.

Решение.

Пусть f(x) = arctg x. Тогда

21

Полный дифференциал функции

Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.

Полный дифференциал

Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых. 

Например, если z = f(x;y) то

22

Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.

Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.

Заключение

Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.