Описание и решение неравенств с двумя переменными

Определение и примеры неравенств с двумя переменными

Соотношение между алгебраическими выражениями (функциями с переменными x, y), которое указывает, что одно больше или меньше другого, называют неравенством.

Неравные соотношения различают строгие (>, <) и нестрогие (≥, ≤), простейшие (х≥0, y≤0), линейные (прямые) и нелинейные (например, со степенями). Решение с одним переменным отмечают на числовой оси. По аналогии можно решать неравенства с двумя переменными, но использовать две оси (x, y) на координатной плоскости; поскольку решения (пары действительных чисел) определяют область (множество) точек на этой плоскости.

Пример двух линейных нестрогих и одного строгого отношения:

. X-3y≥-12, 4x+3y≤27, 2x+2y>0.

Квадратичные неравенства с 2 переменными:

y-x^2≥0, х^2 – 8х + 12< y.

Искать ответ можно несколькими способами; прежде всего, решить уравнение, определенное неравенством, используя методы преобразования, разбить оси по данным решения на предполагаемые участки, определить верные интервалы, пользуясь методом «подопытной» точки.

Сколько и какие могут быть решения?

Если по условию несколько неравенств объединены в систему, то для выводов решается каждое отдельно. По результатам находится область их пересечения (множество решений может быть открытым бесконечным, либо ограниченным), или же «перекрытие» решений отсутствует. При упрощении выражений используются способы преобразований уравнений. Идеи преобразований неравенств в системе надо суметь догадаться «увидеть».

Система неравенств не имеет решений, в случае отсутствия таковых у одного из неравенств. Если у неравенства выполняется условие для любого значения аргумента, тогда решением системы является решение в других соседних неравенствах.

Существует несколько методов решения:

• Геометрически, с построением точек в четырех квадрантах плоскости координат по их ординатам и абсциссам.

• Для квадратного неравенства используют разложение на множители с найденными корнями и

определяют необходимые участки методом интервалов.

• Иногда решают способом через оценку получившегося знака разности. Для этого выполняют вычитание частей неравенства и приводят доказательства требуемого знака (>, <, ≥, ≤).

• Применяют общеизвестное доказательство методом «от противного» (истина, ложь). Предполагают противоположное требуемому изначально доказательству (хотя бы одни переменные делают его истинным). Если преобразования приведут к ложному неравенству, то сделанное предположение неверное, но верно изначальное.

• Доказывают неравенства «синтетическим» методом, преобразуя известные неравенства (опорные) до требуемого.

Примеры решения неравенства с двумя переменными

Задача 1.

Найти решение системы неравенств с двумя переменными:

Решается система графическим способом, вначале преобразуются уравнения, определяются места пересечения осей координат.

2y=-x+2; х=-2; у=0; х=0; у=1;

y=x+1; x=0; y=1; x=-1; y=0;

y=-2

По двум точкам каждой линии строятся две прямые. Неравенства нестрогие. Устанавливая при каждой прямой линии направление области определения (1/2 плоскости), находится общая для них область:

внутри треугольника, включительно с его границами все многие точки плоскости координат. Проверка заданных отношений в точке (0;0): (-2<0, -1<0, 2>0)

Решая попарно уравнения прямых (пересечение), находятся три вершины треугольника С, В, А.

Для С – у=-2; х=6. Для В – х=0;у=1. Для А – у=-2; х=-3.

Задача 2.

Найти подходящий к системе неравенств участок координатной плоскости.

Решаем уравнение для каждого отношения. Первое выражение - окружность с точкой центра в начале координат, единичным r. Строится линия x^2 + у^ 2 = 1, с пересечением осей (1; 0),(-1;0). Она делит плоскость на круг и вне круга; выбирается нужная область внутри круга (наносится штриховка).

Второе уравнение – прямая линия y=-2x. Строится по точкам (1;2), (-1;-2). Она разделяет плоскость пополам, выбирается область ниже прямой (заштриховывается). Пробное место с координатами -1, 1 удовлетворяет второму отношению (-1≤0).

Неравенства в системе верны в области точек нижнего полукруга и линии контура.

Проверим подстановкой (-0.2;-0.2) 0.08<1, -0.4-0.2=-0.6<0. Условия выполнены.

Задача 3.

Определить общий участок для трех отношений:

Преобразуются исходные неравенства в уравнения, раскрываются скобки, вводятся множители, приводятся подобные слагаемые:

27(x-2)>0,

(x-5)(x-50)≥0,

x>14.

Отмечаются на числовой оси промежутки по результатам трех отношений.

После объединения для всех неравенств подходит «луч» из точки ≥50.

Ответ: [50;+∞)

Для помощи при решении квадратичных неравенств, используя равнозначно соответствующее уравнение ax² + bx + c = у, с дискриминантом D = b² − 4ac, предлагается табличный алгоритм нахождения участков переменных x в зависимости от знаков коэффициента a и D. Причем старший коэффициент а≠0. Необходимо находить корни при положительном D для разложения на множители, упрощения, использования метода интервалов.

Как записать общее решение?

Сообразно четкой математической формулировке, отображению решения используются дополнительные условные символы. При вычислении результатов объединенных неравенств ищется пересечение решений, когда их нет, то ответом является пустое множество x: 

Если встречается «пустое» неравенство, то результат находится хотя бы из одного уравнения системы.

Итог будет:

Если отношение строгое, тогда отрезок решения считается открытым, со скобками ( ), без включения на отрезки пограничных точек. Если – нестрогое, то решение будет закрытым отрезком, включающим граничные точки.

Х>2\3,

Х≤0,6.

Результат:

Применение знака ;– объединение двух множеств решений. Если неравенство второе нестрогое, тогда отрезок справа закрыт.

Ответ:

Если из всего целого интервала исключают точку 5, то возможно оформление со знаком \:

Откроется еще много новых понятий, определений, знаковых обозначений благодаря осознанному изучению математических наук.

Приведены не все типы из многообразия неравенств, могут быть более сложные. Для их решения необходимо научиться разбираться в применяемых методах и способах специалистам, которые встречаются с необходимостью оптимизации процессов, допусками и ограничениями, учетом влияния нескольких параметров (математики, программисты, физики, экономисты).