В электротехнике, механике, теории чисел, геометрии Лобачевского, химии, экономике для удобства расчётов наравне с тригонометрическими функциями используют гиперболический синус.

Название термина впервые введено Риккати в 1757 году при исследовании свойств различных кривых второго порядка. Его работа была продолжена Ламбертом, а затем и другими учёными-математиками.

Определение, формула и график гиперболического синуса

Математика позволяет дать два подхода к определению, благодаря различным направлениям в изучении объекта.

Первый, отталкиваясь от задающей формулы, позволяет установить связи между объектами, второй, полученный благодаря исследованиям в аналитической геометрии, демонстрирует наглядное (образное) понимание происходящего.

Гиперболический синус (традиционно обозначается shx, онлайн-калькулятор, вычислительные программы используют вместо него sinh(x)) – элементарная функция, представляемая как

1

С другой стороны, ординаты точек равнобокой гиперболы:

x2 - y2 = 1,

заданные через параметр, принимают за определение гиперболического синуса как функции удвоенной площади сектора, образованного радиус-вектором OM (M – точка кривой) и отрезком  OA (A – вершина):

2

График y = shx имеет вид:

3.jpg

Чтобы его построить, достаточно знать ряд значений. Существующая таблица, онлайн-калькуляторы и специальные программы значительно облегчают вычисления.

Связь с тригонометрическими функциями

Рассматривая все компоненты на множестве комплексных чисел, используя тождество Эйлера, позволяющее связать тригонометрические функции и экспоненту, можно получить соотношения y = shx и некоторых других элементарных отображений переменных:

4.png

Во всех случаях x – действительное число.

Свойства гиперболического синуса

shx - гиперболический синус обладает следующими свойствами:

  • функция аналитична во всей комплексной плоскости, кроме существенно особой точки на бесконечности;

  • монотонно возрастает на всей области определения. При x → +∞ увеличение ординат точек происходит достаточно быстро. Поэтому часто происходит замена на ex/2;

  • является нечётной, то есть, sh(-x) = -shx;

  • y(0) = 0

  • yx⟨0 ⟨ 0
  •  yx⟩0 ⟩ 0
  • обладает свойствами, аналогичными формулам тригонометрии, основное из которых является следствием второго определения:

5.png

где chx – гиперболический косинус.

Другие важные тождества:

7.png

Производная вычисляется согласно общим правилам:

8.png

Вычисление интеграла есть обратный процесс к нахождению производной, значит:

∫shxdx = chx.

Примеры решения задач

Помимо непосредственной работы с этой функцией, важную роль играют тождества, позволяющие значительно упростить вычисления.

При интегрировании иррациональных функций, удобно делать замену, учитывая, что единицу можно представить как разность гиперболических синуса и косинуса:

ch2x - sh2x = 1.

Задача.

Определить, какому семейству первообразных равен интеграл

9.png

Решение. Делается замена переменной:

10.png

После подстановки получается интеграл:

11.png

Делая возврат к исходной переменной, получается итоговое решение.