Квадратичная функция - формула, свойства и виды графиков

Определение и формула квадратичной функции

Квадратичной называют функцию канонического вида:

• a, b – коэффициенты;

• с – свободный член.

Формально конструкция именуется «квадратный трехчлен». Сразу заметно, что область определения не ограничена, а четность не выявлена.

Примеры построения парабол

Займемся упрощенными случаями и подметим закономерности.

График функции при а = 1, b = c = 0

Наиболее тривиальная, но наглядная и информативная разновидность с формулой:

y = x²

Функция четная, возрастающая. Построим по точкам.

Получившаяся кривая называется «парабола». Характерна для уравнений с «квадратом».

Нижнюю точку с координатами (0; 0) называют «вершиной». Единственное место, где одной функции соответствует один аргумент. В данном случае – это минимум функции.

Уходящие вверх части кривой – «ветви». На всех участках кроме вершины к одному (y) относятся сразу (±x).

Вывод: ветви данной параболы имеют ось симметрии - вертикальную прямую ординат Y.

График функции, когда b = c = 0, а > 1 и а < 1

Кривая задается, например, так:

y = 2x²

Ветви «сожмутся» относительно оси симметрии.

Построим другой график.

y = 0,5x²

Ветви «разойдутся».

Куда интереснее переместить коэффициент a в отрицательную область.

y = -x²

Парабола «повернется» на 180°. И вершина станет максимумом.

График функции при b = 0, с ≠0

Рассмотрим такой вариант:

y = x² + 1

Вершина сдвинется на величину c по оси Y.

А если параметр c отрицателен? Уравнение выглядит так:

y = x² - 1

Смещение произойдет ниже точки (0; 0).

Общий случай a ≠0, b ≠0, c ≠0

Попробуем найти характерные точки.

Пересечения с осью абсцисс (y = 0)

Иными словами, следует решить уравнение:

ax² + bx + c = 0

Корнями уравнения будут:

Подкоренное выражение называется «дискриминант» и обозначается «D». Появляются варианты:

1. D отрицателен, D > 0. В таком случае действительные корни не существуют. Парабола не пересекает ось Х.

2. D положителен, D > 0. Существуют оба корня. Кривая пересекает X в двух известных местах.

3. D = 0. Корень один – -b/2a. Пересечение единственно. А такое возможно в одном случае: найденное означает абсциссу вершины.

Вершина

Горизонтальная координата вычисляется по формуле:

Вертикальная:

Касательная в вершине параболы совпадает с осью X или параллельна ей. Значит тангенс её относительного наклона равен 0. А это производная функции:

Нашли x₀, а y₀ находится подстановкой в уравнение найденного.

Ось симметрии

Параллельная оси ординат прямая x = x₀.

Приблизительный вид

По уравнению можно прикинуть общую картину:

• положительное значение коэффициента a говорит о направленности ветвей вверх и наоборот;

• по дискриминанту определим расположение относительно X;

• находим пересечения (если есть).

Пример построения графика

Дано:

y = x² + 2x - 3

Проанализируем:

• a = 1, положительный, поэтому ветви параболы направлены вверх;

• b = 2;

• с = -3.

Алгоритм построения графика квадратичной функции:

1. Находим вершину:

2. Определяем точки пересечения с осью X:

3. Посчитав еще 2 - 3 точки правее и левее оси симметрии x = -1, получим достоверный график.

Свойства параболы

Основные свойства следующие:

1. Область определения – все действительные числа.

2. Вершина является минимумом при положительном коэффициенте x², максимумом – при отрицательном.

3. Координаты вершины зависят только от коэффициентов.

4. Ось симметрии проходит через вершину и параллельна оси ординат.

Заключение

В интернете существует масса онлайн-калькуляторов для облегчения работы с кривой. Приведенные же приемы и перечисленные свойства позволяют лучше понять сущность квадратичного выражения.

Параболические отражатели позволяют получать параллельный пучок света от точечного источника. Антенна такого типа позволяет концентрировать и усиливать радиосигнал. Не абстрактная линия на бумаге.