Определитель матрицы - основные понятия и методы нахождения с примерами

Понятие и термины

Кроме математики, матрицы нашли широкое применение в физике и других прикладных науках. Используются они и в программировании, где их называют массивами. Большинство экономических моделей также описывается достаточно простой и компактной матричной формой.

Матрица состоит из столбцов (n) и строк (m). Характеризуется она порядком и размерностью. Обычно говорят, что некий массив В имеет размер m на n. Записывают это как В = {m х n}. Существует и другой вариант записи: В = (аij), где i и j – индексы, при этом 1≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n. В учебниках же просто указывается разрядность в виде 2х2, 3х3 и так далее. Матрица называется квадратной, если количество её строк равно величине столбцов.

Строки и столбцы начинают нумеровать сверху и с левой стороны. Если элементы массива равны нулю, то матрицу называют нулевой. Существует понятие главной диагонали. Располагается она сверху вниз слева. Расположенные на ней элементы называют диагональными. Когда они равны одному, а все остальные члены нулю, массив считается единичным.

Главной характеристикой массива является определитель, или детерминант. Им называют число, соответствующее алгебраической сумме всех возможных произведений столбцов на строки. Другими словами, чтобы найти значение детерминанта, нужно сумму элементов матрицы n умножить на её размерность m. При перемножении знак произведения определяется по числу инверсий. Их чётное количество соответствует положительному знаку, а нечётное – отрицательному.

Определитель — это число, которое определяет степень матрицы. Характеризуется он порядком. Так, определителем первого порядка называют значение, определяемое единственным элементом массива. Записывают его в виде выражения: A = {a}, detA = |A| = a.

С матрицами можно выполнять любые арифметические действия и даже возводить в степень. Определитель вычисляется только в квадратной матрице, то есть в той, у которой число строк равно числу столбцов. Расчёт проводится с использованием специальных операций. Нахождение определителя построено на использовании ряда аксиом, дающих возможность вычислить характеристику матрицы любого порядка.

Параметры определителя

Использование свойств определителей даёт возможность сделать процедуру их вычисления проще. Если взять множество натуральных чисел, записанных в порядке возрастания, K = {1, 2, 3, 4, ..., n}, то с ними можно выполнить две операции: перестановку и транспозицию.

Под первой понимается упорядочение множеству чисел другой последовательности. Например, {1, 2, 3, 4} - {1, 4, 3, 2}. То есть {1, 2, 3, 4, ..., n} - {k1, k2, k3, k4, ..., kn}. Если же в последовательности изменяются только две позиции, а остальные остаются на своих местах, то такую операцию называют транспозицией {1, 2, 3, 4} - {1, 3, 2, 4}. Когда при перестановке нарушается порядок расположения, то множество содержит инверсию kj > ki (j < i).

При нахождении определителей используют следующие правила:

1. Детерминант транспонированной матрицы идентичен характеристике начальной матрицы.
2. Произведение элементов строки или столбца детерминанта на число S равнозначно умножению параметра на это же число. Это свойство позволяет выделить общий множитель массива.
3. При замене двух строк или двух столбцов между собой определитель инвертирует свой знак.
4. В нулевой матрице параметр будет равняться нулю.
5. Если в массиве порядок и размерность равны между собой, то значение параметра этой матрицы будет равно нулю.
6. Когда пара строк или столбцов массива пропорциональна относительно друг друга, то детерминант этой матрицы равняется нулю.
7. Параметр массива треугольного вида определяют как произведение элементов, находящихся на главной диагонали.
8. Если все члены строки (столбца) можно представить в виде сумм as j + bs j, то и характеристику можно найти как сумму принадлежащих определителей.
9. Значение параметра останется неизменным, если к элементам любого столбца или строки добавить соответствующие элементы иного столбца или строки после умножения на одну и ту же величину.
10. Общий определитель двух матриц равного порядка при их умножении определяется как произведение параметров.

Кроме этого, используется аксиома: если элементы в любой строке равны сумме пары слагаемых, то начальный детерминант определяется как сумма двух определителей. При этом на этой строке будут располагаться первые и вторые слагаемые, а оставшиеся строки совпадут с первоначальным значением.

Нахождение значения

Для того чтобы понять, как находить детерминант матрицы, следует понять способы решения простых матриц 2х2 и 3х3. Умея находить их параметр, несложно будет определить детерминант и массив более высокого порядка. В математике матрицу принято записывать в круглых скобках, а определитель в прямых. Обозначают детерминант в формулах как det.

Если дана матрица второго порядка, то есть 2х2, то её определитель ищут по формуле: det = ab – dc, где: а и d – элементы первой строки, b и c – члены второй строки. То есть определитель находят как разность произведений диагональных элементов между собой. Например, пусть задана матрица:

| 13 9 |

| 1 11 |

Её параметр будет равняться: det = 13 * 11 – 9 * 1 = 143 – 9 = 134.

Пусть дана некая матрица три на три:

(1 2 1)

(5 -1 -1)

(-2 2 5)

Необходимо найти её определитель. Для массива 3х3 детерминант можно найти двумя способами:

• правилом Саррюса (треугольника);
• универсальным методом.

Схематично первый способ можно представить следующим образом:

Для нахождения детерминанта по правилу треугольника нужно перемножить элементы массива, соединённые красными линиями, а затем их сложить. То же самое необходимо сделать с элементами, через которые проходит синяя линия. Затем из первого полученного значения вычесть второе. Вычитаемое и уменьшаемое состоит из трёх слагаемых. Определяются они двумя треугольниками и сумой элементов, стоящих на главной диагонали (сплошная линия).

Определитель будет равным: det = (1* (-1) * 5) + (5 * 2 * 1) + (2 * (-1) * (-2)) – (-2 * (-1) * (-1)) – (2 * 5 * 5) – (1 * 2 * (-1)) = - 5 + 10 + 4 – 2 – 20 + 2 = -11.

Второй способ проще. В его основе лежит метод разложения дискриминанта по первой строке или столбцу. То есть определитель можно найти по следующей формуле: det = a * n1 + b * n2 + c * n3, где: n1 - матрица 2х2, образованная с верхней левой части массива; n2 – матрица, полученная из второго и третьего члена первого столбца и третьего; n3 – массив, образованный из второго и третьего элемента первого столбца и третьего; a, b, c – элементы первой строчки.

Детерминант четвёртого порядка

Более сложной матрицей считается квадрат размером 4х4. Для подсчёта определителя нужно использовать универсальный способ нахождения детерминанта массива 3х3. То есть понадобится раскрыть первую строку и найти минор. Первый элемент в строке умножают на матрицу, образованную квадратом, начинающегося со второго члена следующего от него столбца.

Затем вычитают произведение второго элемента на алгебраическое дополнение, полученное путём вычёркивания первой строки и второго столбца. Далее, прибавляют третий элемент в первой строке и умножают на дополнение этого элемента. На последнем этапе вычитают четвёртый элемент верхней строки, умноженный на соответствующую ему дополнительную матрицу.

Теперь находят дискриминанты полученных матриц 3х3. Важно помнить, что знаки, стоящие перед алгебраическим дополнением, меняются. Если первый член имеет плюс, то перед вторым элементом ставится минус, перед третьим снова плюс и так далее.

Таким образом, массивы с высокими порядковыми номерами решаются методом понижения основного выражения. Если всё будет выполнено правильно, в ответе получится дискриминант, равный -13.

Например, для поиска определителя квадрата 6х6, нужно будет предварительно разложить систему по первой строке на массив низшего порядка 5х5, найти определитель матрицы 4х4, 3х3 и 2х2. Делая всё последовательно блочным методом, допустить ошибку практически невозможно. Если необходимо найти детерминант массивов десятого порядка и выше, то целесообразно находить определитель матрицы на онлайн-калькуляторе.

Стоит напомнить, что детерминант можно найти только для квадратного выражения в прямоугольной матрице. Правило нахождения определителя n порядка было предложено Лапласом. Он доказал и сформулировал теорему, гласящую о том, что величина определителей высшего порядка находится как сумма произведений частей какой-либо строки или столбца на принадлежащее им алгебраическое дополнение.

То есть выполняется разложение определителя по n строке или m столбцу.

Метод Гаусса

Способ Гаусса используется для решения системы уравнений. На их базе составляется массив. Первые столбцы образуют из коэффициентов, стоящих после неизвестных, а последний из значений, расположенных после знака равно. Для нахождения определителя этим способом необходимо выполнить два шага:

1. Привести матрицу к верхнетреугольной или нижнетреугольной форме путём элементарных преобразований.
2. Сосчитать произведение всех элементов, расположенных на главной диагонали треугольного массива, заменив при этом полученный знак определителя на противоположный.

Например, необходимо найти детерминант системы уравнений:

n1 + 2 * n2 – 3 * n3 = - 4.

2*n1 + 5 * n2 – 4 * n3 = 0.

-3*n1 + n2 – 3 * n3 = 5.

На первом этапе составляют матрицу и решают её. Выделяют первую строку и пытаются обнулить все первые коэффициенты. Для этого каждый элемент нужно умножить на такое число, чтобы последующий элемент обнулился. Затем берут другую строку и обнуляют уже вторые элементы. Так, для заданной системы уравнений первую строку необходимо умножить на -2, а затем сложить со второй строкой. То есть первый элемент в первом столбце будет равен: x11 = -2 * 1 + 2 = 0; второй: x22 = -2 * 2 +5 = 1; третий: x33 = -2*(-3) – 4 = 2; четвёртый: x44 = -2* (-4) + 0 = 8.

Аналогичные действия проводят по отношению к элементам третьей строки. Для обнуления первую строчку умножают уже не на -2, а на тройку. В результате первый столбец будет состоять из двух нулевых элементов. Затем переходят к обнулению элементов во втором столбце. Делают это последовательным умножением третьей строки на – 7. В итоге получится массив с тремя нулевыми членами.

Опираясь на полученную матрицу, составляют новую систему уравнений:

n1 + 2 * n2 – 3 * n3 = -4.

n2 – 2 * n3 = 8.

–20 * n3 = -63.

Затем из последнего равенства находят n3. Полученное значение подставляют во второе уравнение и определяют n2. На последнем этапе, используя найденные величины, вычисляют n1. Для нахождения детерминанта определяют тип матрицы, в этом случае она нижнетреугольная, и вычисляют его значение det = (1 * 1 * (-20)) = -20.

Найти детерминант небольшого ранга несложно. Но существуют задания, для решения которых нужно не только проявить внимание, но и потратить много времени. Для таких случаев существуют калькуляторы, помогающие выполнить вычисление определителя матрицы онлайн.

Кроме быстрого определения ответа, они также показывают подробное решение поставленной задачи. Если же доступа к интернету нет, то можно выполнить расчёт и в excel. Делается это с помощью функции «=МОПРЕД».