То, из чего состоит множество, называется его элементами.

Графическим изображением, служащим для наглядности рассматриваемых объектов, является круг Эйлера.

Что такое пересечение множеств

Для любого набора множеств их пересечением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из заданных. Другими словами, это совокупность всех общих элементов.

С помощью кругов Эйлера-Венна пересечение можно изобразить так:

Знак пересечения: ∩.

Часто применяется для определения решений систем уравнений и неравенств.

Ассоциируется с обычным умножением двух числовых объектов.

Что такое объединение множеств

Изображение кругами Эйлера выглядит следующим образом:

Знак объединения: ∪.

Часто используется при решении уравнений и неравенств, подчёркивая наличие серий корней и решений, нескольких используемых промежутков числовой прямой.

В обычной математике близко по смыслу с операцией, называемой «сложение».

Свойства пересечения и объединения множеств

Для решения задач нужно знать о следующих свойствах:

1. Коммутативность (перестановочность):

A ∩ B = B ∩ A;

A ∪ B = B ∪ A.

Эти свойства распространяются на любое количество компонентов. Следуют из определения операций.

2. Ассоциативность (расстановка скобок):

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Данные свойства также применимы к большому количеству компонентов. Позволяют опускать скобки и упрощать запись.

3. Дистрибутивность (раскрытие скобок):

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

4. Закон идемпотентности (идентичности):

A ∩ A = A;

A ∪ A = A.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Обозначается перечёркнутым нулём: Ø

Выполнение операций с Ø:

A ∩ Ø = Ø;

A ∪ Ø = Ø.

Прослеживается аналог со сложением и умножением на ноль.

Операции над множествами

Помимо объединения и пересечения существуют другие операции:

Для двух множеств A и B можно определить их разность как набор элементов, входящих в A и не содержащихся в B:

Рассматривая некоторое множество в качестве содержащего все остальные, можно прийти к понятию «дополнение», как к совокупности всех элементов, не входящих в A:

Закон де Моргана:

Примеры решения задач

Задача №1

Пусть

Выписать все элементы множества

где

Решение.

При поиске M операции выполняются последовательно.

B \ A состоит из всех элементов B, которые не принадлежат A, поэтому:

B ∪ A включает в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств A или B. Таким образом:

M = (B \ A) \ (B ∪ A) состоит из всех элементов B \ A, которые не принадлежат B ∪ A, следовательно, M = Ø. 

Задача №2

Доказать методом включений тождество:

Решение.

Необходимо доказать выполнение включений:

и

Шаг 1.

Выбирается произвольный x из (A ∩ B) ∪ C. По определению операции объединения x ∈ B ∩ A или x ∈ C.

Если x ∈ B ∩ A, то по определению пересечения x ∈ B и x ∈ A.

Так как x ∈ A, то x ∈ C ∪ A; так как x ∈ B, то x ∈ C ∪ B, следовательно, x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

Если x ∈ C, то x ∈ C ∪ A и x ∈ C ∪ B, а значит: x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

Поскольку x ∈ (A ∩ B) ∪ C был выбран произвольно, утверждается, что любой элемент этого множества содержится в (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), то есть:

Шаг 2.

Выбирается произвольный y из (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

По определению операции пересечения y ∈ C ∪ A и y ∈ C ∪ B.

Так как y ∈ C ∪ A, то y ∈ A или y ∈ C; так как y ∈ C ∪ B, то y ∈ C или y ∈ B. Таким образом, y ∈ C или y ∈ A и y ∈ B.

Если y ∈ A и y ∈ B, то y ∈ B ∩ A, а, следовательно, y ∈ (A ∩ B) ∪ C; если y ∈ C, то также y ∈ (A ∩ B) ∪ C.

Поскольку y из (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) выбирался произвольно, утверждается, что любой элемент этого множества содержится в (A ∩ B) ∪ C, то есть

Шаг 3.

Из пунктов 1 и 2 вытекает, что

Доказано.