Скалярное произведение векторов - свойства, формулы и примеры вычислений

Трактовка понятий

Под скалярным произведением (СП) в пространстве над полем вещественных чисел подразумевается функция (x, y) для соответствующих элементов, принадлежащих указанному координатному пространству. Из определения вытекает линейность СП по первичному аргументу.

Для косинуса и синуса справедливо смешанное сопряжение. СП принимает положительную определённость, если соблюдается условие, что x=0. Для вычислений показателя в алгебре используется следующая форма: а = [a1, a2, …, an] и b = [b1, b2, …, bn].

Пример: нужно найти в трёхмерном пространстве произведение двух скаляров [1, 3, −5] и [4, −2, −1]. Решение: необходимо перемножить градиенты (вектора). [1, 3, −5] х [4, −2, −1] = 1 х 4 + 3 х (-2) + (-5) х (-1) = 3.

Геометрическое определение отличается от физического и алгебраического. Чтобы вычислить СП, используя длину и угол между градиентами, которые введены независимым способом, используется следующее выражение: (а, b) = lal x lbl x cos (a, b). Базисом аксиоматики считается скалярное произведение. После его нахождения определяется длина основного вектора и угла.

В современных теоремах понятие СП находится в основе некоторых производных, включая евклидову норму. Термин «длина» используется по отношению к конечномерным векторам. Если имеет смысл криволинейный путь, тогда применяются векторы ненулевой длины. Чаще они находятся в бесконечномерном пространстве.

Угол между такими величинами отличен от нуля. Его значением является число, косинус которого — отношение их СП к произведению их длин. Если пространство псевдоевклидовое (конечномерное, для которого характерна невырожденная индефинитная метрика), понятие «угол» применяется относительно скаляров без изотропных прямых.

Сам угол является числом. Чтобы дать ему значение, вычисляется гиперболический косинус: отношение модуля СП к произведению длин векторов. При перпендикулярности либо ортогональности на плоскости СП равняется нулю. Это свойство скалярного произведения векторов характерно для любого промежутка с положительно определённым СП.

При соблюдении такого условия пространство называется вещественным либо комплексным. Конечномерный вещественный промежуток с положительным СП называется евклидовым, а комплексный — унитарным (эрмитовым).

Если скалярное произведение отрицательное либо не считается знакоопределённым, промежуток называется индефинитной метрикой. Примером такого промежутка является пространство Минковского. СП на таких участках не порождает нормы. Из бесконечномерных выделяются пространства:

• Крейна.
• Понтрягина.

Описание свойств

С помощью специальных математических онлайн сервисов или калькулятора легко находится значение СП через теорему косинусов: a = arccos (a, b)/√(а, а)(b, b). Знак зависит от косинуса угла. В норме значения векторов только положительные. СП больше нуля, если угол острый, и меньше, когда он тупой.

Главные свойства умножения скаляров:

1. Если умножить СП само на себя, получится значение, равное либо большее нуля.
2. СП, умноженное само на себя, равно нулю, если скаляр равен нулевому вектору.
3. СП скаляра самого на себя равняется квадрату его модуля.
4. Для скалярного умножения характерна коммуникативность.
5. Если СП двух отличных от нуля векторов равно 0, тогда множители считаются ортогональными.
6. Для операции скалярного умножения характерна дистрибутивность (согласованные бинарные операции, определённые на одном множестве).

Задача 1: вычислить СП векторов а = {1;2} и b = {4;8}. Решение: а х b = 1 х 4 + 2 х 8 = 20.

Задача 2: найти СП скаляров а и b, если из длины равны 3 и 6, а угол — 60 градусов. Решение: а х b = lal x lbl cos α = 3 х 6 х cos60 = 9. Для лучшего усвоения материала два вектора перемножается с помощью матрицы. Чтобы различать множители, первый оформляется в строку, а второй — в столбец. Если в условиях задачи указываются три величины, тогда последняя оформляется в скобки в форме квадратов. Их скалярное произведение вычисляется путём умножения матриц. Результат — единственное число.

Задача 3: нужно найти СП пар векторов: а = (1; 5; 1), b = (1; -5; 2) и с = (2; 1; 3/2), d = (0; 0; 1). Решение: вычисления проводятся с помощью матричного представления. Первый вектор записывается в строку, а второй — в столбец. Чтобы найти скалярное произведение векторов, потребуется умножить матрицу-строку на матрицу-столбец. Если вектор а умножить на вектор b, получится -22. Аналогично находится значение второй пары. Результат равен 3/2. Простым обобщением конечномерного СП в тензорной (линейной) алгебре считается свёртка с повторяющимся индексом.

Применение в физике

Впервые скалярное произведение ввёл У. Гамильтон в 1846 году. Одновременно учёные начали использовать в своих работах векторное произведение, сумму скаляров. Понятие получило широкое применение и в физике. На его основе сформулированы главные законы электродинамики и механики.

Скаляр является физической величиной. Чтобы его задать, используется одно число. Примеры скаляров в физике:

• масса тела, равная 4 кг;
• температура воздуха на уровне +10 градусов.

В каждом предложенном варианте величина задаётся с помощью одного числа, поэтому масса тела и температура относятся к скалярам. Но это понятие в физике не считается простым числом. Для него характерна размерность.

Если в условиях задачи известно, что масса тела равна 3, необходимо указывать единицу измерения (килограммы, граммы). В математике можно сложить числа 3 и 10, а в физике суммируются только скаляры с одинаковой размерностью: массы с массой, градусы с градусами.

Если рассматривать векторную физическую величину, она характеризуется следующим образом:

1. Неотрицательность.
2. Направленность в пространстве.

Понятие скаляр — модуль вектора либо абсолютная величина. Если предположить, что транспортное средство двигается со скоростью 60 км/ч, такая информация считается неполной. В физике важно знать направление движения. Кроме модуля скорости как абсолютной величины, потребуется знать направление в пространстве, поэтому скорость считается векторной величиной.

Если на земле лежит кирпич массой в 1 кг и на него действует сила в 100 Н (модуль), потребуется найти направление движения объекта. Невозможно выяснить параметр, если нет информации о направлении действия силы. Если она идёт вверх, тогда и кирпич будет двигаться в аналогичном направлении.

Если сила идёт вдоль горизонта, тогда объект поедет горизонтально. При вертикальном воздействии силы вниз кирпич останется на прежнем месте. Он будет вжиматься в землю. Подобные явления указывают на то, что сила является вектором, поэтому для неё характерна размерность, модуль.

Для обозначения вектора в физике используются латинские буквы и стрелка:

• вектор скорости: →v;
• вектор силы: →F.

Стрелка является направленным отрезком. Её начальная точка — начало вектора, а конечная или остриё — конец вектора. В математике величина с начальной точкой А и концом В обозначается →АВ. Если начало и конец направленного отрезка совпадают, тогда получается нулевой вектор. Он обозначается →0.

Такой отрезок считается точкой. У него нет конкретного направления, а длина равняется нулю. К безразмерным скалярам относятся коэффициенты трения и полезного действия, показатель преломления света.