Десятичные дроби - правила умножения, деления, сложения, вычитания, перевода с примерами

Определение и понятие

История возникновения десятичных дробей тесно связана с учением о мерах. В Древнем Китае десятичную систему использовали для обозначения порядка. Полную теорию дробей в XV веке предложил узбекский астроном Джемшид Гиясэддин ал-Каши. Позже Стевин в своей книге «Десятая» начал записывать такие выражения в одну строку. Таким же образом их обозначал и Иоганн Кеплер. Используемая им запись осталась актуальной и сегодня.

Под дробью в математике понимают число, в состав которого входит одна или несколько равных долей единицы. Если стоит задача определить дробь конкретной величины, то её считают соответствующей единице. Например, пусть имеется круг, разделённый на шесть равных частей. Эти части называют долями. Всего их шесть, то есть каждая доля составляет шестую часть круга, исходную величину которого принимают как равную единице.

В математике это отношение обозначают в виде записи 1/6 и называют дробью. Читают его как «одна шестая». Любая дробь состоит из трёх элементов:

• Числителя — цифры или числа, стоящей в верхней части. Он показывает, сколько частей отобрано у целого, и является делимым.
• Знаменателя — числа, показывающего, на какое количество долей разделяют числитель.
• Дробной черты — разделяет числитель со знаменателем и фактически заменяет собой знак деления.

В школьных классах для того, чтобы ученики запомнили, где находится числитель, а где — знаменатель, предлагают ассоциации. Например, человек стоит на земле, она снизу, знаменатель — внизу. Таким образом, запись 3/6 будет обозначать, что круг разделили на шесть частей и три из них убрали.

Форма записи

При записи десятичной дроби используют следующую форму: сначала пишут целую часть, затем ставят разделитель целой и дробной доли (запятую), а после уже указывают дробную составляющую. Количество цифр, идущих после запятой, зависит от размерности. Различают десятые доли, их записывают одной цифрой, сотые — двумя, тысячные — тремя и так далее.

Записанные десятичные отношения выглядят так: 6,7; 3,26; 0, 234. Их принято указывать без знаменателя. Например, 7/10 = 0,7; 32/100 = 0,32. Удобнее всего пояснить на реальном примере. Пусть есть дробь 69/10. В знаменателе стоит число десять, имеющее один ноль. Отсчитав справа налево в числителе количество знаков, соответствующих числу нулей, в этом случае один, ставят запятую. В рассматриваемом примере запись будет выглядеть как 6,9. Тут 6 — целая часть, а 9 — дробная.

С отношениями можно выполнять любые действия. Их можно складывать, вычитать, делить и умножать. Десятичные дроби — это один из видов отношений. Они соответствуют выражениям, где знаменатель определяется как 10 в степени n, а n — натуральное число, то есть возникающее при счёте естественным образом.

Виды дробей

Дробные числа используют не только в математике, но и повседневной жизни. Наиболее типичное применение — это кулинария, где приготовление еды происходит с помощью смешивания определённых частей ингредиентов между собой. В качестве примера можно привести и спортивные состязания, пошив одежды, нумерацию.

Кроме десятичных отношений, существуют ещё и другие виды дроби:

• обыкновенная (простая) — записывают как отношение двух рациональных чисел;
• правильная — это выражение, у которого значение числителя меньше знаменателя;
• неправильная — в этом случае числитель больше или совпадает по величине со знаменателем;
• смешанная — образуется из неправильных как сумма натурального числа и правильной дроби.

Любую дробь можно преобразовать в другую. Самая простая операция, которую можно сделать — это перевод обыкновенного отношения в десятичное. Для этого вначале конвертируют числитель, а затем знаменатель. Но не с каждой дробью это возможно сделать.

Есть правило, по которому легко определить, существует ли возможность преобразования. Согласно ему, обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную лишь в том случае, если её знаменатель можно разложить на множители два и пять, которые имеют свойство повторяться. Например, 11/40, знаменатель можно представить в виде произведения 2*2*2*5, поэтому привести к десятичной её возможно. А вот 13/60 преобразовать нельзя, так как в знаменателе при разложении есть число три: 5 * 2 * 2 * 3 = 60.

Для переведения простого отношения в десятичное нужно верхнюю и нижнюю часть выражения умножить на одно и то же число, но таким образом, чтобы внизу записи появилось число, кратное десяти. Например, 7/20 = 7*5/20*5 = 35/100 = 0,35. Или такой пример: 13/40 = 13/2*2*2*5 = 13*25/40*25 = 325/1000 = 0,325.

Есть и более сложный способ приведения, но при этом используют его чаще. В основе метода лежит деление уголком. То есть выполняют просто деление числителя на знаменатель. Например, 69/200. На первом этапе следует убедиться, что дробь может быть конечной десятичной, для этого раскладывают знаменатель: 200 = 5*5*2*2*2. На втором шаге выполняют деление в столбик и получают ответ: 0,345.

Популярность второго способа связана с тем, что всё же некоторые отношения проще разделить, чем подбирать, как правильно преобразовать знаменатель. Наиболее часто встречаются следующие дроби, которые поддаются преобразованию: ½ = 0,5; ¼ = 0,25; ¾ = 0,75; 1/5 = 0,2; 1/8 = 0,125; 1/10 = 0,1. А вот такие выражения, как 1/3, 1/7, 5/6, преобразовать в десятичные числа невозможно.

Преобразование отношения

Любое число можно преобразовать в дробь. Десятичные числа как слышатся, так и пишутся. Ноль целых три сотых — дробь 3/100. Выражение одна целая десять сотых можно записать как 1 (10/100).

Преобразуя десятичное число в дроби, можно сокращать. Например, 1,06 = 1 (5/100) = 1 (1/20). Часто приходится выполнять и обратное преобразование: 4/100 = 0,04. Смешанное отношение вида 3 (4/5) может быть преобразовано в неправильное. Для этого нужно целую часть умножить на нижнюю часть дроби и сложить с верхней. Знаменатель оставляют без изменений. То есть (3*5+4)/5 = 19/5.

При превращении смешанной дроби в неправильную используют правило сложения дробей. Например, выражение 3 (2/13) можно записать как 3 + 2/13 = 3/1 + 2/13 = (3*13+2)/13 = (39+2)/13 = 41/13. Для того чтобы перевести смешанную дробь в десятичную, необходимо выделить целую долю.

Выделяя часть, нужно определить, сколько целых знаменателей вмещается в числитель. Пусть нужно преобразовать 27/6. Вначале следует определить, сколько шестёрок помещается в числе 27. Для этого нужно 27 разделить на шесть, число, стоящее перед запятой, будет искомым. Это четыре. Далее найти числитель по правилу 4*6 = 24 и вычесть полученное значение из знаменателя 27 − 24 = 3. Теперь находят лишнее, что осталось от числителя 27, если убрать максимально помещающее число шестёрок. В результате получится ответ: 27/6 = 4 (2/3).

По похожему алгоритму выполняется преобразование периодической дроби в обыкновенную. Для решения задания нужно из числа, занимающего позицию до второго периода, отнять число, стоящее до первого периода, а полученную разницу перенести в числитель. В знаменатель записать девятку столько раз, сколько цифр в периоде. После девяток пишут нули, количество которых определяется числом цифр стоящих между запятой и первым периодом. Например, 0,23 (7) = (237 — 23)/900 = 214/900 = 107/450.

Действия с десятичными числами

С дробями можно также выполнять и сравнения. Для этого используют алгебраические правила. Сложение дробей между собой осуществляют по правилу столбика. Это удобный метод, практически не позволяющий допускать ошибок. Согласно объяснению способа в математике, для сложения нужно записать два числа друг под другом так, чтобы их правые цифры были в одном столбике. Затем сложить цифры в нём, используя способ переноса десятков.

При сложении десятичных дробей происходит всё то же самое, но при этом нужно обязательно расположить выражения так, чтобы их запятые стояли чётко друг под другом. Сложение выполняют так, как и с натуральными числами, не учитывая запятые. После подсчёта запятую просто сносят вертикально вниз, отделяя целую часть от дольной.

При вычитании происходит всё аналогичным образом. При сложении и вычитании выполняют четыре пункта:

• Уравнивают количество знаков после запятой.
• Записывают дроби друг под другом так, чтобы запятые совпадали по вертикали.
• Складывают или вычитают по правилам арифметики.
• В полученном числе ставят запятую соответственно другим записям.

Для умножения дробей их записывают в столбик, а далее находят произведение, как и с обычными числами. Затем считают количество знаков после запятой первого умножаемого и умножителя и складывают их количество. Для получения ответа справа налево отсчитывают такое же количество знаков и после последнего ставят запятую. Умножаться могут любые дроби, исключений нет.

Чтобы разделить десятичную дробь, следует знать правило: если целая часть делимого меньше делителя, то в частном целых не будет. Деление выполняют по правилу того же столбика. Две части записывают через уголок и определяют неполное частное, сравнивая делимое с делителем. Далее выполняют действие, записывая цифру в частное. При записи под неполным частным правая его величина должна располагаться над правой цифрой произведения. После того как закончится деление целой части делимого, ставят запятую.

Если число после запятой бесконечно повторяется, то оно будет называться периодом. В этом случае используют сокращение записи. Например, если в ответе получают 4, 67644444, то его можно заменить на запись 4,67 (4). Такое выражение называют бесконечной десятичной дробью.

Сравнение выражений

Чтобы сравнить две дроби, нужно составить уравнение из их целых частей. Если их части равные, то сравниваются десятые доли. Стоит отметить, что в этом случае учитывают разряд числа. Меньшей будет та дробь, у которой значение числа в разряде меньше.

Для того чтобы провести сравнение дробей, применяют следующую последовательность действий:

• Пробуют сократить выражения.
• Приводят дроби к одинаковому числу знаков путём дописывания в случае необходимости нулей.
• Выполняют сравнение по старшинству разрядов, начиная с целой части, а в случае равенства — с десятой, сотой и так далее.
• Если при сравнении разрядов один из них будет больше или меньше, задача считается выполненной.

Например, нужно сравнить дроби 237,4 и 238,2 и результат выразить через процентное отношение. Так как 237 меньше 238, то дробные части сравнивать уже будет не нужно. Для того чтобы определить процентное отношение, большую часть принимают за 100%, а меньшую — за X. Составляют пропорцию и делают вычисление: 237,4 * 100 = 238,2 * Х.

Это обыкновенное уравнение с одним неизвестным: Х = 237,4 * 100 / 238,2 = 99,66%. То есть первое выражение меньше второго на 100 — 99,66 = 0,34%. Десятичные выражения, как и натуральные, можно записывать в ряд, а значит, откладывать на координатной прямой. На ней правее будет стоять отношение, которое больше.

Небольшие задания решать несложно. Но существуют задачи, для решения которых нужно не только проявить максимальное внимание, но и затратить много времени. Например, как при вычислении совместных дробей. В таких случаях есть резон использовать калькулятор десятичных дробей с запятыми онлайн. Чтобы им воспользоваться, особых знаний не нужно. Загрузив сайт и введя в таблицу исходные данные, пользователю нужно всего лишь нажать кнопку «Рассчитать» и получить точный результат.