Компланарные векторы - определение, признаки и свойства

Общие сведения
Под вектором в математике принято понимать линию, которая имеет начало и конец. Иными словами, это отрезок. При этом имеет значение его направление, то есть знание начальной точки и конечной. Расположение векторов в пространстве или на плоскости определяется их координатами. Они соответствуют проекциям отрезка на координатные оси.
Над отрезками можно выполнять различные действия. Их можно между собой складывать или вычитать, умножать на произвольное число, находить произведение. Последнее может быть скалярным или смешанным. Немаловажным параметром является и длина вектора. Находят её путём вычитания из конечных координат начальных. Если векторов несколько, то на их базе строят геометрические фигуры, с помощью которых находят нужные параметры.
Все векторы разделяют по расположению в пространстве на следующие виды:

- Единичные — длина отрезка равняется единице. Их принято называть нулевыми, так как конец и начало имеет одну и ту же координату. При этом длина вектора и модуль равны между собой.
- Коллинеарные — векторы, располагающиеся на одной прямой или параллельные друг другу.
- Сонаправленные — отрезки с одинаковым направлением.
- Противоположные — векторы, направленные навстречу друг другу.
- Компланарные — это линии, параллельные одной плоскости или на ней располагающиеся. При этом так как относительно двух любых векторов будет всегда существовать такая плоскость, то, по сути, они всегда являются компланарными. Отсюда следует, что некомпланарными могут быть только три и более отрезков.
- Равные — это отрезки, которые не только являются коллинеарными, но ещё имеют и одинаковые длины.
Изображение геометрической проекции отрезков на координатных осях называют расположением по базису. За него чаще всего выбирают координатные орды. При исследовании свойств вначале выполняют графическое изображение, а после переходят к алгебраическому расчёту. Это очень удобно и применяется повсюду.
Обозначают вектор двумя заглавными буквами, символизирующими начальную точку и конечную, а сверху ставится стрелочка или риска. Кроме этого отрезок часто обозначают и просто маленькой латинской буквой с чёрточкой. Например, AB или a.
Отрезки на плоскости
Условия, при которых отрезки являются компланарными, изучают в одиннадцатом классе средней школы на уроках геометрии. Так как на одной плоскости условие критерия всегда выполняется, то рассматривается их положение в пространстве. Согласно определению, векторы называются компланарными, если при откладывании их от произвольной точки они будут находиться в одной плоскости. То есть на признак не влияет длина и направление.

Для наглядности определения можно провести эксперимент. Взять три карандаша и расположить их на столе. В этом случае признак компланарности векторов выполняется, они лежат на одной плоскости. Затем параллельно ей приподнять два карандаша перпендикулярно вверх. Они так же будут являться компланарными, так как, если их отложить от одной точки, они будут всё равно лежать в одной плоскости.
Пусть имеются два вектора, a и b, направленные из одной точки. Любая третья ограниченная линия C в плоскости однозначно разлагается по этим неколлинеарным отрезкам: c = xa + yb. Это соотношение берётся из геометрического построения. Если из конца отрезка C опустить линию, параллельную b, а вектор a продлить до пересечения с ней в точке D, то образуется треугольник и отрезок AD коллинеарный a (AD||a). Это обозначает, что существует число икс, при котором получается новый отрезок: AD = xa.
Теперь из точки C нужно провести прямую параллельную AD и рассмотреть вектор AB в нарисованном параллелограмме. Получается, что он параллелен b (AB||b). А это может быть только тогда, когда существует такое число игрек, что оно, умноженное на число b, даст в точности отрезок AB. Отсюда следует, что в плоскости к любому третьему вектору можно применить разложение единственным образом.
Если вектор C можно разложить по линиям a и b, то есть записать как c = xa + yb, где x и y конкретные числа, то эти три отрезка компланарные. Это и есть условие компланарности векторов с простым его доказательством.
Действительно, если рассмотреть чертёж, то можно явно увидеть, что все три линии a, b, c лежат в одной плоскости, образованной их направлениями. Иными словами, три линии, имеющие начало и конец, будут компланарными при условии, что среди них есть пара коллинеарных отрезков. Тогда через коллинеарный и неколлинеарный вектор можно пропустить плоскость, и оставшийся отрезок перенести на неё.
Компланарность в пространстве
Пусть имеются три ограниченных линии в пространстве. Из них можно построить параллелепипед, имеющий общую точку O. Если на плоскости сумма отрезков ищется по правилу треугольника или параллелограмма, то в пространстве используется теорема о многоугольнике. На чертеже следует изобразить диагональ, обозначив её конечную точку буквой F.
Диагональная линия OF по правилу параллелепипеда будет находиться как сумма образующих отрезков: OF = a + b + c. Если в плоскости имеются два неколлинеарных вектора, то можно владеть линиями, принадлежащими ей, то есть третий вектор однозначно разлагается по этим коллинеарным отрезкам. В пространстве же нужны для этого три некомпланарные ограниченные линии.
Это значит, что, если их отложить, они не будут лежать в одной плоскости. Отсюда следует прямая зависимость с четвёртым отрезком, находящимся в пространстве. Она заключается в том, что он однозначно разлагается по трём некомпланарным линиям.
Этот принцип описывается теоремой: любой четвёртый вектор в пространстве будет равняться сумме трёх отрезков, каждый из которых умножен на конкретное число. Равенство записывают в виде формулы: p = xa + yb + xc. При этом если отрезок можно представить как сложение трёх линий в пространстве, то говорят о его разложении, а числа, используемые в записи, называют коэффициентами разложения. Это необходимое условие для выполнения теоремы.

Для доказательства необходимо построить четыре отрезка. Причём a, b, c будут не компланарными, а четвёртая линия будет произвольной в пространстве. Все векторы отложены от одной точки. Выходящие из одной точки a и b образуют плоскость. Из конечной точки P можно опустить перпендикуляр на ось b, тем самым построив прямоугольник. Точка соприкосновения с осью пусть будет P1. Тогда PP1 = zC. Это следует из коллинеарности. Так как P = OP1 + PP1, а OP1 = xa + yb, то, подставив эти выражения линейных комбинаций, можно записать, что P = xa + yb + zc.
Можно утверждать, если существуют такие числа x, y, z, то любую линию, имеющую начало и конец, можно разложить в линейную комбинацию по трём векторам. При этом такое разложение единственное. Проверить это утверждение достаточно просто, если идти от обратного.
Необходимое условие
При решении заданий обязательно нужно понимать, как можно проверить компланарность векторов. Для этого используется понятие смешанного произведения.

Следует рассмотреть векторное произведение отрезков a и b. По сути, это есть некий отрезок, который можно скалярно умножить на вектор c. При таком умножении в ответе должно получиться число (скаляр). Поэтому произведение вида (a x b) * c имеет конкретное численное значение. Такое произведение и называется смешанным.
Пусть имеются векторы с однозначными координатами:
- a (x1, y1, z1);
- b (x2, y2, z2);
- c (x3, y3, z3).
Тогда смешанное произведение можно найти как определитель третьего порядка. Полученное вычисление очень важно, так как по полученному ответу можно судить о компланарности. Если смешанное произведение равняется нулю — векторы компланарны. В ином случае они некомпланарные и говорят, что они образуют базис пространства. Отсюда следует, что необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов является то, что смешанное их произведение равняется нулю a x b * c = 0.
Решение задачи
Теоретические аспекты любой темы лучше всего понимаются при наглядном их использовании. Поэтому важное место в геометрии и аналитической математике занимают практические задания. Вот пример одной из задач, для решения которой достаточно знать свойства компланарности отрезков и разложение по базису.

Пусть даны ограниченные линии с координатами: x (1, -5, 7); p (0, -1, 1); q (2, 0, 1); r (3, 1, 0). Доказать возможность разложения вектора икс по отрезкам: p, q и r. Для проверки предположения вначале нужно выяснить, образуют ли заданные отрезки базис, а уже после попробовать найти разложение.
Для этого на первом шаге нужно найти смешанное произведение и установить соответствие компланарности. Делается это через составление определителя:
|0 -1 1|
|2 0 1|
|3 0 1|
Выполнив разложение по первой строке, получится: p x q * r = 1 * (0 — 3) + 1* (2−0) = -3 + 2 = -1. Полученный результат не равняется нулю. Поэтому можно сделать вывод, что эти векторы не компланарны, а значит, формируют базис. Отсюда следует, что разложение возможно и оно единственное.

Искомое разложение имеет вид линейной комбинации отрезков: x = a * p + b * q + t * r, где a, b, t — коэффициенты разложения. Поэтому на втором шаге и нужно найти эти числа. Для того чтобы отрезок умножить на число, необходимо каждую его координату перемножить с ним:
- a * p = (0; -2; 2);
- b * q = (2b; 0; b);
- t * r = (rt; t; 0).
Из полученных результатов можно найти вектор икс: x = (2 b + 3 a; -2 + t; t + b) = (1; -5; 7). Фактически получена система из трёхлинейных уравнений:
- 2 b + 3 t = 1.
- -2 + t = -5.
- a + b = 7.
Для решения системы нужно сложить второе и третье уравнение: (2) + (3) = b + t =2. Полученное равенство нужно привести к такому виду, чтобы его можно было сложить с первым. Поэтому левую и правую часть нужно умножить на -3. Теперь можно сложить полученное выражение с первым. В итоге получится, что b = 5.
Зная второй коэффициент, можно найти оставшиеся. Подставив значение в третье уравнение, получится: a = 7 — b = 7 — 5 = 2. Отсюда третий коэффициент равняется: t = -5 + a = -5 + 2 = -3. Теперь можно записать разложение: x = 2 * p + 5 * q — 3 * r. Задача решена.
Использование онлайн-калькулятора
Проверка на условие компланарности обычно не вызывает трудностей в решении примеров из школьного курса. Но на практике, особенно физикам, приходится сталкиваться с большими числами, при этом часто в системе уравнений стоят дробные члены. Поэтому при сложных расчётах благоразумно будет использовать автоматические решатели.
Это такие онлайн-сервисы, которые предоставляют услуги по вычислению различных математических параметров. От пользователя требуется лишь точно ввести в предложенную форму исходные данные и нажать кнопку «Вычислить». Система автоматически рассчитает ответ и выдаст его на дисплей.

Из существующих онлайн-калькуляторов, предоставляющих бесплатно возможность проверки вектора на компланарность, можно выделить:
- Onlinemschool.
- Geleot.
- Math.semestr.
- Matematikam.
- Mathforyou.
Эти сервисы доступны на русском языке. Их страницы не содержат рекламного кода. При этом интерфейс интуитивно понятен.
На всех сайтах имеется информация по проверке векторов на параллельность, компланарность и другие свойства. Поэтому даже неподготовленный пользователь сможет разобраться, откуда взялась в ответе та или иная цифра.
Для удобства пользователь может включить подробное решение. В таком случае ему будет доступно посмотреть каждое действие, связанное с решением задачи, причём с короткими комментариями. Поэтому онлайн-калькуляторы довольно востребованы как среди школьников, студентов, так и среди инженеров, выполняющих ряд сложных векторных вычислений.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов