Компланарные векторы - определение, признаки и свойства

Общие сведения

Под вектором в математике принято понимать линию, которая имеет начало и конец. Иными словами, это отрезок. При этом имеет значение его направление, то есть знание начальной точки и конечной. Расположение векторов в пространстве или на плоскости определяется их координатами. Они соответствуют проекциям отрезка на координатные оси.

Над отрезками можно выполнять различные действия. Их можно между собой складывать или вычитать, умножать на произвольное число, находить произведение. Последнее может быть скалярным или смешанным. Немаловажным параметром является и длина вектора. Находят её путём вычитания из конечных координат начальных. Если векторов несколько, то на их базе строят геометрические фигуры, с помощью которых находят нужные параметры.

Все векторы разделяют по расположению в пространстве на следующие виды:

1. Единичные — длина отрезка равняется единице. Их принято называть нулевыми, так как конец и начало имеет одну и ту же координату. При этом длина вектора и модуль равны между собой.
2. Коллинеарные — векторы, располагающиеся на одной прямой или параллельные друг другу.
3. Сонаправленные — отрезки с одинаковым направлением.
4. Противоположные — векторы, направленные навстречу друг другу.
5. Компланарные — это линии, параллельные одной плоскости или на ней располагающиеся. При этом так как относительно двух любых векторов будет всегда существовать такая плоскость, то, по сути, они всегда являются компланарными. Отсюда следует, что некомпланарными могут быть только три и более отрезков.
6. Равные — это отрезки, которые не только являются коллинеарными, но ещё имеют и одинаковые длины.

Изображение геометрической проекции отрезков на координатных осях называют расположением по базису. За него чаще всего выбирают координатные орды. При исследовании свойств вначале выполняют графическое изображение, а после переходят к алгебраическому расчёту. Это очень удобно и применяется повсюду.

Обозначают вектор двумя заглавными буквами, символизирующими начальную точку и конечную, а сверху ставится стрелочка или риска. Кроме этого отрезок часто обозначают и просто маленькой латинской буквой с чёрточкой. Например, AB или a.

Отрезки на плоскости

Условия, при которых отрезки являются компланарными, изучают в одиннадцатом классе средней школы на уроках геометрии. Так как на одной плоскости условие критерия всегда выполняется, то рассматривается их положение в пространстве. Согласно определению, векторы называются компланарными, если при откладывании их от произвольной точки они будут находиться в одной плоскости. То есть на признак не влияет длина и направление.

Для наглядности определения можно провести эксперимент. Взять три карандаша и расположить их на столе. В этом случае признак компланарности векторов выполняется, они лежат на одной плоскости. Затем параллельно ей приподнять два карандаша перпендикулярно вверх. Они так же будут являться компланарными, так как, если их отложить от одной точки, они будут всё равно лежать в одной плоскости.

Пусть имеются два вектора, a и b, направленные из одной точки. Любая третья ограниченная линия C в плоскости однозначно разлагается по этим неколлинеарным отрезкам: c = xa + yb. Это соотношение берётся из геометрического построения. Если из конца отрезка C опустить линию, параллельную b, а вектор a продлить до пересечения с ней в точке D, то образуется треугольник и отрезок AD коллинеарный a (AD||a). Это обозначает, что существует число икс, при котором получается новый отрезок: AD = xa.

Теперь из точки C нужно провести прямую параллельную AD и рассмотреть вектор AB в нарисованном параллелограмме. Получается, что он параллелен b (AB||b). А это может быть только тогда, когда существует такое число игрек, что оно, умноженное на число b, даст в точности отрезок AB. Отсюда следует, что в плоскости к любому третьему вектору можно применить разложение единственным образом.

Если вектор C можно разложить по линиям a и b, то есть записать как c = xa + yb, где x и y конкретные числа, то эти три отрезка компланарные. Это и есть условие компланарности векторов с простым его доказательством.

Действительно, если рассмотреть чертёж, то можно явно увидеть, что все три линии a, b, c лежат в одной плоскости, образованной их направлениями. Иными словами, три линии, имеющие начало и конец, будут компланарными при условии, что среди них есть пара коллинеарных отрезков. Тогда через коллинеарный и неколлинеарный вектор можно пропустить плоскость, и оставшийся отрезок перенести на неё.

Компланарность в пространстве

Пусть имеются три ограниченных линии в пространстве. Из них можно построить параллелепипед, имеющий общую точку O. Если на плоскости сумма отрезков ищется по правилу треугольника или параллелограмма, то в пространстве используется теорема о многоугольнике. На чертеже следует изобразить диагональ, обозначив её конечную точку буквой F.

Диагональная линия OF по правилу параллелепипеда будет находиться как сумма образующих отрезков: OF = a + b + c. Если в плоскости имеются два неколлинеарных вектора, то можно владеть линиями, принадлежащими ей, то есть третий вектор однозначно разлагается по этим коллинеарным отрезкам. В пространстве же нужны для этого три некомпланарные ограниченные линии.

Это значит, что, если их отложить, они не будут лежать в одной плоскости. Отсюда следует прямая зависимость с четвёртым отрезком, находящимся в пространстве. Она заключается в том, что он однозначно разлагается по трём некомпланарным линиям.

Этот принцип описывается теоремой: любой четвёртый вектор в пространстве будет равняться сумме трёх отрезков, каждый из которых умножен на конкретное число. Равенство записывают в виде формулы: p = xa + yb + xc. При этом если отрезок можно представить как сложение трёх линий в пространстве, то говорят о его разложении, а числа, используемые в записи, называют коэффициентами разложения. Это необходимое условие для выполнения теоремы.

Для доказательства необходимо построить четыре отрезка. Причём a, b, c будут не компланарными, а четвёртая линия будет произвольной в пространстве. Все векторы отложены от одной точки. Выходящие из одной точки a и b образуют плоскость. Из конечной точки P можно опустить перпендикуляр на ось b, тем самым построив прямоугольник. Точка соприкосновения с осью пусть будет P1. Тогда PP1 = zC. Это следует из коллинеарности. Так как P = OP1 + PP1, а OP1 = xa + yb, то, подставив эти выражения линейных комбинаций, можно записать, что P = xa + yb + zc.

Можно утверждать, если существуют такие числа x, y, z, то любую линию, имеющую начало и конец, можно разложить в линейную комбинацию по трём векторам. При этом такое разложение единственное. Проверить это утверждение достаточно просто, если идти от обратного.

Необходимое условие

При решении заданий обязательно нужно понимать, как можно проверить компланарность векторов. Для этого используется понятие смешанного произведения.

Следует рассмотреть векторное произведение отрезков a и b. По сути, это есть некий отрезок, который можно скалярно умножить на вектор c. При таком умножении в ответе должно получиться число (скаляр). Поэтому произведение вида (a x b) * c имеет конкретное численное значение. Такое произведение и называется смешанным.

Пусть имеются векторы с однозначными координатами:

• a (x1, y1, z1);
• b (x2, y2, z2);
• c (x3, y3, z3).

Тогда смешанное произведение можно найти как определитель третьего порядка. Полученное вычисление очень важно, так как по полученному ответу можно судить о компланарности. Если смешанное произведение равняется нулю — векторы компланарны. В ином случае они некомпланарные и говорят, что они образуют базис пространства. Отсюда следует, что необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов является то, что смешанное их произведение равняется нулю a x b * c = 0.

Решение задачи

Теоретические аспекты любой темы лучше всего понимаются при наглядном их использовании. Поэтому важное место в геометрии и аналитической математике занимают практические задания. Вот пример одной из задач, для решения которой достаточно знать свойства компланарности отрезков и разложение по базису.

Пусть даны ограниченные линии с координатами: x (1, -5, 7); p (0, -1, 1); q (2, 0, 1); r (3, 1, 0). Доказать возможность разложения вектора икс по отрезкам: p, q и r. Для проверки предположения вначале нужно выяснить, образуют ли заданные отрезки базис, а уже после попробовать найти разложение.

Для этого на первом шаге нужно найти смешанное произведение и установить соответствие компланарности. Делается это через составление определителя:

|0 -1 1|

|2 0 1|

|3 0 1|

Выполнив разложение по первой строке, получится: p x q * r = 1 * (0 — 3) + 1* (2−0) = -3 + 2 = -1. Полученный результат не равняется нулю. Поэтому можно сделать вывод, что эти векторы не компланарны, а значит, формируют базис. Отсюда следует, что разложение возможно и оно единственное.

Искомое разложение имеет вид линейной комбинации отрезков: x = a * p + b * q + t * r, где a, b, t — коэффициенты разложения. Поэтому на втором шаге и нужно найти эти числа. Для того чтобы отрезок умножить на число, необходимо каждую его координату перемножить с ним:

• a * p = (0; -2; 2);
• b * q = (2b; 0; b);
• t * r = (rt; t; 0).

Из полученных результатов можно найти вектор икс: x = (2 b + 3 a; -2 + t; t + b) = (1; -5; 7). Фактически получена система из трёхлинейных уравнений:

1. 2 b + 3 t = 1.
2. -2 + t = -5.
3. a + b = 7.

Для решения системы нужно сложить второе и третье уравнение: (2) + (3) = b + t =2. Полученное равенство нужно привести к такому виду, чтобы его можно было сложить с первым. Поэтому левую и правую часть нужно умножить на -3. Теперь можно сложить полученное выражение с первым. В итоге получится, что b = 5.

Зная второй коэффициент, можно найти оставшиеся. Подставив значение в третье уравнение, получится: a = 7 — b = 7 — 5 = 2. Отсюда третий коэффициент равняется: t = -5 + a = -5 + 2 = -3. Теперь можно записать разложение: x = 2 * p + 5 * q — 3 * r. Задача решена.

Использование онлайн-калькулятора

Проверка на условие компланарности обычно не вызывает трудностей в решении примеров из школьного курса. Но на практике, особенно физикам, приходится сталкиваться с большими числами, при этом часто в системе уравнений стоят дробные члены. Поэтому при сложных расчётах благоразумно будет использовать автоматические решатели.

Это такие онлайн-сервисы, которые предоставляют услуги по вычислению различных математических параметров. От пользователя требуется лишь точно ввести в предложенную форму исходные данные и нажать кнопку «Вычислить». Система автоматически рассчитает ответ и выдаст его на дисплей.

Из существующих онлайн-калькуляторов, предоставляющих бесплатно возможность проверки вектора на компланарность, можно выделить:

1. Onlinemschool.
2. Geleot.
3. Math.semestr.
4. Matematikam.
5. Mathforyou.

Эти сервисы доступны на русском языке. Их страницы не содержат рекламного кода. При этом интерфейс интуитивно понятен.

На всех сайтах имеется информация по проверке векторов на параллельность, компланарность и другие свойства. Поэтому даже неподготовленный пользователь сможет разобраться, откуда взялась в ответе та или иная цифра.

Для удобства пользователь может включить подробное решение. В таком случае ему будет доступно посмотреть каждое действие, связанное с решением задачи, причём с короткими комментариями. Поэтому онлайн-калькуляторы довольно востребованы как среди школьников, студентов, так и среди инженеров, выполняющих ряд сложных векторных вычислений.