Расстояние от точки до прямой - формулы и способы определения

Точка и прямая

Прежде чем говорить, как найти расстояние от прямой до точки, необходимо подробно рассмотреть, о каких элементах идет речь.

Известно, что в двумерном или трехмерном пространстве в геометрии для определения места расположения того или иного объекта вводится специальная система координат. Удобнее всего использовать прямоугольную декартову систему, которая представляет собой пересекающиеся под прямым углом оси (2 для плоскости и 3 для трехмерного пространства). На каждой из них существует шкала в выбранных единицах.

Обычно она является равномерной, то есть на каждой оси единица представляет собой отрезок одинаковой длины.

Точечный объект

Или просто точка. Это нульмерный объект, который в двумерном пространстве представляет собой набор двух координат, а в трехмерном — трех. Математически точка записывается так: A (x1; y1), где x1 — ее координата по оси x, y1 — по оси y. Для определения значения координат необходимо от точки провести перпендикуляр к соответствующей оси, их пересечение укажет на искомое значение. Примеры разных точек на плоскости и пространстве:

• P (1; 0);
• Q (2; 3; -1);
• M (0; 0);
• N (-2; -1; 3).

Точка P лежит на оси x, а M в начале координатной системы. Обе они заданы на плоскости, в отличие от Q и N, которые можно построить в пространстве. Также следует отметить, что у координатных осей имеется положительное и отрицательное направления, поэтому точки могут иметь отрицательные координаты.

Уравнения линии

Прямая линия является одним из самых распространенных объектов в геометрии. С помощью нее строятся многие симметричные фигуры, например, пирамида, призма, треугольник, прямоугольник (но не сфера). Прямая линия представляет собой бесконечный объект в одном направлении, и нульмерный в двух других, если речь идет об объемном пространстве.

Для выполнения математических операций с геометрическим элементом существуют разные виды уравнений, которые его задают. Среди них можно назвать:

• общего типа;
• векторное;
• параметрическое;
• в отрезках.

Чаще всего в задачах применяют первые 2 вида. Универсальным уравнением, которое можно с легкостью преобразовать в любые другие формы, является векторное. Задается для трехмерного случая оно следующим образом:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(vx; vy; vz).

Здесь (x; y; z) — координаты произвольной точки, которая принадлежит заданной прямой, (x0; y0; z0) — известная точка, лежащая на объекте, v (vx; vy; vz) — вектор, параллельно которому проходит прямая, он называется направляющим, α - произвольный числовой параметр, который может иметь положительные или отрицательные значения. Очевидно, что для плоского случая количество координат для каждого элемента будет равно двум.

Векторным уравнением удобно пользоваться, поскольку его легко преобразовать в параметрическое или в отрезках. В первом случае получается следующая система:

• x = x0 + α*vx;
• y = y0 + α*vy;
• z = z0 + α*vz.

Для уравнения в отрезках получается такое равенство:

(x-x0)/vx = (y-y0)/vy = (z-z0)/vz.

Чтобы получить из векторной формы уравнение общего типа для случая на плоскости, достаточно написать выражение в отрезках, а затем из него выразить y через x. В итоге получается такой вид:

y = vy/vx*(x — x0) + y0.

Для трехмерного пространства также можно использовать этот математический прием, однако придется выражать не только y через x, но и z через, например, y. Дело в том, что в объемном пространстве прямая задается в общем виде как пересечение двух плоскостей.

Способы определения расстояния

В первую очередь необходимо понять, что называется дистанцией между точкой и прямой линией. Пусть имеется прямая a и точка A. Если из нульмерного объекта провести отрезок к прямой так, чтобы ее он пересекал под прямым углом в некоторой точке A1, то AA1 будет называться перпендикуляром к a. Согласно определению, расстояние от точки до прямой равно длине перпендикулярного отрезка, опущенного из нульмерного объекта к одномерному.

Из геометрических представлений понятно, что длина AA1 будет наименьшей среди всех возможных отрезков, которые можно провести от A к a.

Применение векторных выражений

После получения представлений, что понимают под дистанцией между геометрическими объектами, в докладе можно переходить к рассмотрению первого универсального способа решения этой задачи.

Пусть имеется прямая, заданная в векторной форме в двумерном пространстве: (x; y) = (x0; y0) + α*(vx; vy).

В этой же координатной системе задана точка P (x1; y1). В первую очередь необходимо найти вектор u (ux; uy), который будет перпендикулярен направляющему v (vx; vy). Сделать это несложно, если вспомнить, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. В итоге получается следующее выражение:

(u*v) = 0 = vx*ux + vy*uy =>

ux = -vy*uy/vx.

Подставляя в это равенство произвольное значение uy, можно получить координату ux. Если одна из координат вектора v равна нулю, например, vx=0, тогда uy=0 для любых значений ux отличных от 0.

Зная координаты направляющего вектора u для перпендикуляра, можно построить для него векторное уравнение прямой, которая будет проходить через P:

(x; y) = (x1; y1) + β *(ux; uy).

Теперь необходимо найти точку пересечения обеих прямых. Для этого можно выразить y через x для каждой из них, а затем, решить систему из двух линейных уравнений. Например, получилась точка Q (x2; y2).

Для решения задачи остается сделать последний шаг: найти длину отрезка, заключенного между точками P и Q. Искомая формула имеет вид:

PQ = ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)^0,5.

Описанный способ определения дистанции от прямой до точки можно использовать для задач на плоскости. Дело в том, что в трехмерном пространстве существует бесконечное количество перпендикуляров заданной прямой, поэтому для трехмерного случая придется вводить еще одно условие на поиск перпендикулярного отрезка: он должен лежать в плоскости, проходящей через заданные прямую и точку. Этот факт усложняет решение задачи.

Использование формулы

Применение известной формулы для решения геометрических проблем является самым простым способом. Пусть имеется некоторая прямая, которая в векторной форме задается так:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(vx; vy; vz).

Известна также точка P (x1; y1; z1). Теперь следует выбрать произвольную точку на прямой, пусть это будет Q (x2; y2; z2). Следует отметить, что координаты Q удовлетворяют векторному уравнению заданной прямой. Далее, нужно построить вектор PQ, его координаты определяются так:

PQ = (x2-x1; y2-y1; z2-z1).

После этого следует рассмотреть параллелограмм, который однозначно может быть построен на векторах PQ и v (vx; vy; vz) — направляющий отрезок заданной прямой линии (для наглядности фигуру можно изобразить на рисунке). Известно, что площадь параллелограмма может быть определена двумя способами:

1. Произведение основания на опущенную на него высоту: S = |v|*h, где |v| - длина вектора v (основание параллелограмма), h — длина опущенного из P перпендикуляра к основанию v.
2. Модуль векторного произведения задающих фигуру направленных отрезков: S = |[PQ*v]|.

Поскольку оба выражения используются для нахождения одной и той же площади S, их можно приравнять и выразить высоту h:

h = | [PQ*v]|/ |v|.

Поскольку высота параллелограмма является искомой дистанцией d от точки P до заданной в задаче прямой, получается следующая простая формула:

d = |[PQ*v]|/ |v|.

Вычисление векторного произведения проще всего выполнять с помощью матрицы и алгебраического дополнения (стандартная операция вычисления определителя). Удобство полученной формулы заключается в ее универсальности, то есть она применима как для трехмерного пространства, так и для случая на плоскости. Для двумерной задачи в координатной форме выражение примет вид:

d = ((x2-x1)*vy+(y2-y1)*vx)/ (vx ² + vy ² )^0,5.

Это выражение является несколько громоздким, поэтому рекомендуется запомнить только его векторную форму.

Решение задачи

Для закрепления материала необходимо решить следующую короткую задачу. Пусть заданы 3 точки на плоскости: A (1;0), B (2; -3) и C (-1; 1), то есть имеется треугольник с вершинами в них и со сторонами AB, BC и CA. Необходимо найти расстояние от точки с до прямой ав.

Для начала нужно находить направляющий вектор прямой. Его координаты будут соответствовать следующим значениям:

AB = B — A = ((2−1); (-3−0)) = (1; -3).

Теперь следует найти вектор AC:

AC = C — A = ((-1−1); (1−0)) = (-2; 1).

Прежде чем воспользоваться формулой для определения расстояния, можно заранее вычислить модуль векторного произведения [AB*AC] и длину AB:

| [AB*AC] | = 5, |AB| = 10 ⁰ , 5.

Тогда дистанция d от точки C до прямой, проходящей через A и B будет равно:

d = 5/ 10 ⁰ , 5 ≈ 1,58 единиц длины.

Таким образом, для определения расстояния между известными прямой и точкой в пространстве существует 2 способа.

Первый предполагает использование ряда математических рассуждений с выкладками. Он справедлив только для задач на плоскости. Второй способ позволяет воспользоваться универсальной формулой.