Теорема Вариньона - формулировка, доказательство и следствия

Теоретическая часть

Пьер Вариньон — великий ученый, достигший небывалых успехов в изучении математики и механики, родившийся в 1654 г. во Франции. Окончив университет в Кане, Пьер готовился посвятить свою жизнь духовенству, но серьезно увлекся точными науками, такими как механика и математика. Он посвятил себя изучению геометрии, физики и гидромеханики. В начале XVIII века он возглавил «Журнал ученых», где размещали свои труды многие известные математики и физики того времени. Какой же вклад был внесен в развитие точных наук древним ученым?

Древний математик стал первым, кто доказал, что центр каждой стороны образовывает внутри исходного выпуклого четырехугольника вершину параллелограмма.

Базовые определения

Перед началом работы необходимо ознакомиться с базовыми определениями. Они даются для того, чтобы разобраться с ключевыми моментами во время решения задачи и включают в себя основу теоремы и доказательств.

1. Теорема Вариньона — геометрический феномен, доказанный П. Вариньоном, утверждавшим, что любой произвольный четырехугольник образовывает в центре многогранник, если последовательно соединить точки, разделяющие его грани посередине, площадь которого равна ½ площади выпуклого четырехугольника.
2. Бимедианы — это отрезки, которые соединяют центральные точки диаметральных сторон, являющихся диагоналями вариньоновского параллелограмма.
3. Параллелограмм, вершины которого находятся в центральных точках соседних сторон произвольного четырехугольника, называют вариньоновым, или вариньоновским.

Основные свойства параллелограмма

Знание основных свойств параллелограмма Вариньона позволяет быстрее разобраться с поставленной задачей и сэкономить время на ее решение. Кроме того, умение применять данные знания понадобятся при дальнейшем изучении предмета.

1. Центральная точка рассматриваемого четырехугольника разделяет на равные части отрезок, соединяющий две диаметральные стороны исходного квадрата, ромба или трапеции.
2. Диагоналями внутреннего многогранника являются именно те отрезки, которые соединяют между собой середины сторон исходного многоугольника, расположенных противоположно друг к другу.
3. Длина диагоналей исходного четырехугольника в сумме равнозначна периметру образованного прямоугольника или ромба.
4. Площадь вариньонового параллелограмма составляет ½ площади произвольного четырехугольника.
5. Стороны многогранника, расположенного внутри ромба всегда будут располагаться под углом 90 °C, а в центре трапеции или квадрата будет только ромб.

• Образованный четырехугольник будет иметь форму ромба только в том случае, когда диагонали исходного многогранника абсолютно равны, а его бимедианы располагаются строго перпендикулярно.
• В том случае, когда диагонали начального квадрата или трапеции располагаются под прямым углом друг к другу, а его бимедианы имеют равную длину, образованный многогранник имеет форму прямоугольника.
• В случае когда исходный четырехугольник имеет форму ромба с равнозначными диагоналями, которые расположены под прямым углом, а его бимедианы также имеют равные значения и находятся под углом 90 °C, образованный многоугольник будет иметь форму квадрата.

Практическая часть

Применение теоремы Вариньона на практике. Цель — значительное уменьшение времени, затраченного на поиск решения задачи.

Следствие первое

Доказательство теоремы основывается на свойствах срединных линий треугольника Фалеса.

В центре основного прямоугольника ABCD расположен параллелограмм KLMN. В начальном многограннике проведена диагональная линия, соединяющая углы A и C, и разделяющая его на 2 равнозначных треугольника ABC и ACD. При рассмотрении треугольника ABC можно определить, что точки K и L, которые являются центрами сторон AB и BC, соединенные отрезком, представляют собой срединную линию треугольника ABC.

Согласно свойствам средней линии треугольника,

KL // AC,

KL = ½ AC,

Также MN — линия, разделяющая треугольник ACD, а значит:

MN // AC,

MN = ½ AC.

Формулировка свойств параллельности прямых линий заключается в том, что если 2 прямые расположены параллельно относительно третьей, то это значит, что они расположены параллельно по отношению друг к другу. Из этого следует, что если отрезки KL и MN расположены параллельно разделяющей линии AC, то они располагаются параллельно друг другу.

Повторив расчеты в отношении диагонали BD, видно, что все диаметральные стороны четырехугольника KLMN параллельны и равны, значит, согласно определению, полученный, путем сообщения срединных линий, многогранник и есть параллелограмм.

Следствие второе

Доказательство равенства площади вариньоновского параллелограмма и ½ площади начального квадрата.

Допустим, что диагональ AC проведена внутри прямоугольника. Значит, площадь треугольника ABC равна (AC * h1) / 2, где h 1 — высота треугольника ABC, выходящая из вершины B.

Таким же образом рассчитывается площадь треугольника ACD, которая равна (AC * h 2) / 2, где h 2 — высота треугольника ACD, выходящая из вершины D.

Исходя из проведенных расчетов, площадь начального прямоугольника равна AC *(h 1+ h 2) / 2, где (h 1+ h 2) / 2 — суммированное расстояние до диагонали AC от точек K и M, а значит, это значение является высотой полученного ромба KLMN. Исходя из того, что сторона LM составляет ½ AC, общая площадь ромба KLMN равнозначна ½ площади данного прямоугольника ABCD.

Что и требовалось доказать.

Несмотря на то что Пьер Вариньон жил очень давно, его труды, преодолев временной барьер, имеют большое значение и для современного школьника, помогая решать сложные задачи.