Теорема о трех перпендикулярах - правило, формулировка и примеры решения задач
Меняя местами понятия проекции и наклонной, получают взаимно обратное утверждение:
Если прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.
Доказательства аналогичны уже приведённым ранее.
Решение задач на применение теоремы
Класс заданий, связанных с использованием рассматриваемого материала, довольно обширен. Многие стереометрические задачи сводятся к поиску прямых углов в исследуемом объекте, после чего вопрос о существовании и нахождении неизвестных компонент переходит в область несложных вычислений.
О единственности подхода говорить не приходится, поскольку любые формулы, правила, свойства могут быть получены, исходя из различных базовых данных и условий.
Задача №1
Доказать, что каждая точка прямой, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр вписанной окружности, равноудалена от его сторон.
Решение.
Условие со всеми дополнительными построениями изображено на рисунке.
В силу касания окружностью сторон, каждый из радиусов OA, OB, OC образует угол в 90º. Отрезки SA, SB, SC составляют со сторонами прямые углы, а их длины являются искомыми расстояниями
от точки S.
ΔAOS = ΔBOS = ΔCOS по двум катетам (SO – общий, OA = OB = OC = r), следовательно, SA = SB = SC.
Доказано.
Задача №2
Основанием пирамиды MABCD служит прямоугольник со сторонами 6 и 8. Высота MB равна 2. МВ перпендикулярна плоскости прямоугольника АВСD.
Найти расстояние от точки M до диагонали CA и длину ребра MD.
Решение.
Для ответа на первый вопрос требуется знать определение расстояния. Это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки на прямую.
Пусть MH – искомое расстояние. Тогда MH ⊥ AC.
По второму утверждению BH ⊥ AC.
Поскольку ΔABC – прямоугольный, то BH, как высоту, можно вычислить по формуле:
Вычислить AC несложно:
Таким образом,
Отсюда:
Учитывая, что диагонали прямоугольника имеют одинаковые длины, находят MD:
Ответ:
