Теорема о трех перпендикулярах - правило, формулировка и примеры решения задач
Одним из важных утверждений стереометрии (так называется геометрия в пространстве) является теорема о трёх перпендикулярах.
Она помогает при нахождении прямых углов, сведении задачи к применению теоремы Пифагора и тригонометрических функций, что в целом значительно упрощает вычислительную работу.
Формулировка теоремы о трёх перпендикулярах
Прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и к самой наклонной.

Доказательство теоремы
Существуют принципиально различные методы.
Первый метод
Основан на равенстве наклонных при равных проекциях.
Проведя к плоскости α отрезок AB, AB ⊥ α, B ∈ α через точку A_AC, C ∈ α, b ⊥ BC, C ∈ b, b ⊂ α, возникает необходимость убедиться, что b ⊥ AC.

От C на прямой b откладывают равные отрезки CD, CE, затем соединяют точки D; E с B, A.

Поскольку CD, CE равны по построению, b ⊥ BC, BC - общий катет, то треугольники ΔBCD, ΔBCE, являющиеся прямоугольными, равны. Следовательно, BD = BE.
Из полученного условия вытекает равенство наклонных AD, AE (lkz rjnjhs[ BD, BE – проекции). Поэтому ΔAED является равнобедренным.
По построению CD = CE, откуда следует искомая перпендикулярность прямых AC и b.
Доказано.
Второй метод
Основан на определении, свойствах, признаках перпендикулярности прямой и плоскости.
AB и b – скрещивающиеся. BC – их общий перпендикуляр, AC – наклонная к α.
Проводя FC параллельно AB, получают FC ⊥ α.

Так как по условию b ⊥ AC, по построению b ⊥ FC, то b ⊥ ACF.
Из того, что C ∈ ACF, A ∈ ACF, следует, что AC ⊂ ACF, отсюда b ⊥ AC.
Доказано.
Теорема, обратная теореме о трёх перпендикулярах
Меняя местами понятия проекции и наклонной, получают взаимно обратное утверждение:
Если прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Доказательства аналогичны уже приведённым ранее.
Решение задач на применение теоремы
Класс заданий, связанных с использованием рассматриваемого материала, довольно обширен. Многие стереометрические задачи сводятся к поиску прямых углов в исследуемом объекте, после чего вопрос о существовании и нахождении неизвестных компонент переходит в область несложных вычислений.
О единственности подхода говорить не приходится, поскольку любые формулы, правила, свойства могут быть получены, исходя из различных базовых данных и условий.
Задача №1
Доказать, что каждая точка прямой, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр вписанной окружности, равноудалена от его сторон.

Решение.
Условие со всеми дополнительными построениями изображено на рисунке.
В силу касания окружностью сторон, каждый из радиусов OA, OB, OC образует угол в 90º. Отрезки SA, SB, SC составляют со сторонами прямые углы, а их длины являются искомыми расстояниями
от точки S.
ΔAOS = ΔBOS = ΔCOS по двум катетам (SO – общий, OA = OB = OC = r), следовательно, SA = SB = SC.
Доказано.
Задача №2
Основанием пирамиды MABCD служит прямоугольник со сторонами 6 и 8. Высота MB равна 2. МВ перпендикулярна плоскости прямоугольника АВСD.
Найти расстояние от точки M до диагонали CA и длину ребра MD.
Решение.

Для ответа на первый вопрос требуется знать определение расстояния. Это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки на прямую.
Пусть MH – искомое расстояние. Тогда MH ⊥ AC.

По второму утверждению BH ⊥ AC.
Поскольку ΔABC – прямоугольный, то BH, как высоту, можно вычислить по формуле:

Вычислить AC несложно:

Таким образом,

Отсюда:

Учитывая, что диагонали прямоугольника имеют одинаковые длины, находят MD:

Ответ:

Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов