Теорема о трех перпендикулярах - правило, формулировка и примеры решения задач

Одним из важных утверждений стереометрии (так называется геометрия в пространстве) является теорема о трёх перпендикулярах.

Она помогает при нахождении прямых углов, сведении задачи к применению теоремы Пифагора и тригонометрических функций, что в целом значительно упрощает вычислительную работу.

Формулировка теоремы о трёх перпендикулярах

Прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и к самой наклонной.

Доказательство теоремы

Существуют принципиально различные методы.

Первый метод

Основан на равенстве наклонных при равных проекциях.

Проведя к плоскости α отрезок AB, AB ⊥ α, B ∈ α через точку A_AC, C ∈ α, b ⊥ BC, C ∈ b, b ⊂ α, возникает необходимость убедиться, что b ⊥ AC.

От C на прямой b откладывают равные отрезки CD, CE, затем соединяют точки D; E с B, A.

Поскольку CD, CE равны по построению, b ⊥ BC, BC - общий катет, то треугольники ΔBCD, ΔBCE, являющиеся прямоугольными, равны. Следовательно, BD = BE.

Из полученного условия вытекает равенство наклонных AD, AE (lkz rjnjhs[ BD, BE – проекции). Поэтому ΔAED является равнобедренным.

По построению CD = CE, откуда следует искомая перпендикулярность прямых AC и b.

Доказано.

Второй метод

Основан на определении, свойствах, признаках перпендикулярности прямой и плоскости.

AB и b – скрещивающиеся. BC – их общий перпендикуляр, AC – наклонная к α.

Проводя FC параллельно AB, получают FC ⊥ α.

Так как по условию b ⊥ AC, по построению b ⊥ FC, то b ⊥ ACF.

Из того, что C ∈ ACF, A ∈ ACF, следует, что AC ⊂ ACF, отсюда b ⊥ AC. 

Доказано.

Теорема, обратная теореме о трёх перпендикулярах

Меняя местами понятия проекции и наклонной, получают взаимно обратное утверждение:

Если прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Доказательства аналогичны уже приведённым ранее.

Решение задач на применение теоремы

Класс заданий, связанных с использованием рассматриваемого материала, довольно обширен. Многие стереометрические задачи сводятся к поиску прямых углов в исследуемом объекте, после чего вопрос о существовании и нахождении неизвестных компонент переходит в область несложных вычислений.

О единственности подхода говорить не приходится, поскольку любые формулы, правила, свойства могут быть получены, исходя из различных базовых данных и условий.

Задача №1

Доказать, что каждая точка прямой, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр вписанной окружности, равноудалена от его сторон.

Решение.

Условие со всеми дополнительными построениями изображено на рисунке.

В силу касания окружностью сторон, каждый из радиусов OA, OB, OC образует угол в 90º. Отрезки SA, SB, SC составляют со сторонами прямые углы, а их длины являются искомыми расстояниями 

от точки S.

ΔAOS = ΔBOS = ΔCOS по двум катетам (SO – общий, OA = OB = OC = r), следовательно, SA = SB = SC.

Доказано.

Задача №2

Основанием пирамиды MABCD служит прямоугольник со сторонами 6 и 8. Высота MB равна 2. МВ перпендикулярна плоскости прямоугольника АВСD.

Найти расстояние от точки M до диагонали CA и длину ребра MD.

Решение.

Для ответа на первый вопрос требуется знать определение расстояния. Это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки на прямую.

Пусть MH – искомое расстояние. Тогда MH ⊥ AC.

По второму утверждению BH ⊥ AC.

Поскольку  ΔABC – прямоугольный, то BH, как высоту, можно вычислить по формуле:

Вычислить AC несложно:

Таким образом,

Отсюда:

Учитывая, что диагонали прямоугольника имеют одинаковые длины, находят MD:

Ответ: