Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве - способы решения задач
Заданы две плоскости в пространстве следующими уравнениями:
x + 2*y — z = 0 и
(x, y, z) = (-1,5, 0,) + α*(-2, 1, 0) + β*(1, 0, 1).
Необходимо доказать, что оба объекта являются параллельными.
Для решения этой задачи нельзя сразу воспользоваться одним из трех способов доказательства параллельности, поскольку векторное уравнение не содержит в явной форме нормальный вектор. Чтобы его получить, необходимо векторно умножить два направляющих отрезка этой плоскости:
[(-2, 1, 0)*(1, 0, 1)] = (1, 2, -1).
Для получения этого результата следует воспользоваться правилом векторного умножения в матричной форме.
В свою очередь, нормаль первой плоскости имеет координаты (1, 2, -1), то есть она совпадает с нормалью для второй плоскости. Это означает, что оба двумерных объекта являются параллельными.
Таким образом, плоскости в пространстве могут либо пересекаться, либо быть параллельными. Для выполнения условия параллельности необходимо и достаточно, чтобы их нормали не пересекались, то есть угол между ними составлял 0°.
