Неправильные дроби - примеры для 5 класса с решением и объяснением

По смыслу неправильные выражения представляют собой целую и дробную часть, записанную в виде отношения. Поэтому любую смешанную дробь можно превратить в правильную, и наоборот. Деление целого числа на такое же можно объяснить так. Пусть нужно разделить четыре на пять. Значит, единицу понадобится разделить на пять равных частей, то есть 1 / 5. Четыре же единицы дадут 1 / 5 + 1/ 5 + 1 / 5 + 1 / 5 = 4 / 5. В этом случае получается правильное выражение. Но бывает, что числитель количественно превышает знаменатель. Значит, для более понятной формы записи нужно из такого выражения выделить целую часть.

Например, нужно преобразовать число 25 / 8. Это действие подразумевает нахождение целых единиц, содержащихся в выражении. Рассуждать нужно следующим образом. Одна единица может быть представлена как 8 / 8, две — 16 / 8, три — 24 / 8. Значит, число состоит из трёх единиц и оставшейся 1 / 8 части. Поэтому записать его можно так: 3 (1 / 8).

Поняв смысл такого перехода, можно выполнить превращение и в обратную сторону. Чтобы разобраться, как это сделать лучше, проще рассмотреть пример. Пусть имеется смешанное число 4 (5/8), его нужно превратить в неправильную дробь. Иными словами, определить, сколько восьмых долей содержится в четырёх и пяти восьмых. Так как одной единице соответствует 8 / 8, то четырём - 8 * 4 / 8 = 32 / 8. Соответственно в четырёх и 5 / 8 будет 37 / 8 долей.

Такого вида преобразования часто приходится выполнять при решении примеров с дробями в 5 классе. Поэтому понять принцип превращения лучше всего на конкретное задание. При этом можно использовать следующий алгоритм:

• перемножить единицы целой части со знаменателем дробного числа;
• сложить полученное произведение и числитель дроби;
• результат сложения записать в числитель, а знаменатель оставить без изменений.

Итак, пусть имеется выражение 3 (5 / 7). Так как фактически это сумма трёх и пяти седьмых, то следуя алгоритму, можно решение расписать так: 3 + 5 / 7 = (3 * 7 + 5) / 7 = (21 + 5) / 7 = 26 / 7. Аналогичный результат мог быть получен при простом сложении двух частей смешанного числа: 3 / 1 + 5 / 7 = (3 * 7) / 1 * 7 + 5 / 7 = 21 / 7 + 5 / 7 = (21 + 5) / 7 = 26 / 7. Первый вариант, конечно же, более удобен. Его можно выразить формулой: a (c / d) = (a * d + c) / d.

Эту выражение нужно обязательно запомнить, так как его придётся довольно часто использовать при решении задач различной сложности.

Выполнение действий

Отличие неправильной дроби от правильной заключается в том, что первая равна или больше единицы, а вторая меньше её. Поэтому правило выполнения арифметических действий одинаковое для этих двух групп. Для того чтобы ребёнок понял, как правильно решать простые и сложные задания объяснение в 5 классе неправильных дробей и действий над ними начинают с повторения правила разложения числа на простые множители.

Выполняется оно за несколько шагов. Вначале ищут минимальную величину, на которую можно разделить исходное без остатка. Далее, находят результат деления и повторяют действие, но уже для полученного числа. Операцию повторяют до тех пор, пока в ответе не получится единица.

Разложение на простые множители используется при поиске наименьшего знаменателя при сложении или вычитании неправильных дробей с разными делителями. Существует алгоритм, придерживаясь которого можно выполнить любое арифметическое действие над двумя и более дробными выражениями. Он заключается в следующем:

• исследовать числитель и знаменатель на возможность сокращения;
• определить наименьший общий знаменатель (НОЗ) среди делителей;
• найти дополнительные множители;
• выполнить умножение числителей на найденные аргументы;
• в знаменатель записать НОЗ, а в числитель сумму или разность произведений делимых.

Например, 4 / 3 + 9 / 7 = (7 * 4) / 21 + (3 * 9) / 21 = 28 / 21 + 27 / 21 = (28 + 27) / 21 = 55 / 21 = 2 (13 / 21) и 56 / 9 — 6 / 9 = (56 — 6) / 9 = 50 / 9 = 5 (5 / 9).

Неправильные выражения можно не только складывать, но и вычитать. Для того чтобы их перемножить следует отдельно найти произведение делимых и делителей. Затем в числитель записать первый результат, а в знаменатель второй. То есть действие нужно выполнять по формуле: f / n * s / m = (f * s) / (n * m). Выполнить деление также просто. Для этого действия в вычитаемом выражении меняется местами аргументы и выполняется умножение: (f / n) / (s / m) = (f * m) / (n * s).

Возведение в степень и извлечение корня выполняют способом разделения. То есть, делимое от делителя возводится или извлекается отдельно: (s / m) ^j = s^j / m^j и √(s / m) = √s / √m. Например, 3 / 2 * 9 / 6 : 7 / 5 * (3 / 2)³. С какого действия начинать решение не принципиально, но следует обратить внимание, что 9 / 6 можно сократить на три. В итоге получится 9 / 6 = 3 / 2. Далее, решение будет выглядеть следующим образом: 3 / 2 * 3 / 2 : 7 / 5 * 3 ³ / 2³ = (3 * 3) / (2 * 2): 7 / 5 * 27 / 8 = 9 / 4 * 5 / 7 * 27 / 8 = (9 * 5 * 27) / (4* 7 * 8) = 1215 / 224 = 5 (95 / 224).