Простые числа - свойства, последовательность и примеры

Самым меньшим значением, делящимся на себя и 1, является 2. Это единственное простое значение, являющееся четным. Остальные всегда делятся на два, то есть получают третий делитель. 

Простых чисел много и их количество стремится к бесконечности, потому узнать самое большое невозможно.

Нескончаемость ряда была доказана еще до нашей эры Евклидом. Он предложил перемножить все известные исследуемые значения и прибавить к ним единицу. 

При его делении в любом случае будет оставаться остаток, то есть отнести к составным невозможно. Что противоречит тому факту, что были использованы все известные простые числа, в том числе и самое большое. Значит, предположение о конечности ряда является неверным.

В настоящее время известно значение, имеющее около 25 миллионов знаков. Оно относится к наибольшему из открытых наукой, это 2^{82 589 933}

Множество простых чисел

Множествами называются совокупности элементов, объединенных в одно целое общими свойствами. 

Для изучаемых объектов к ним относятся:

• принадлежность к натуральным;

• наличие максимум двух делителей.

Простые числа можно определить, используя решето Эратосфена. Нужно выписать в ряд все значения, с которыми предстоит работать. Выбрать самое маленькое и вычеркнуть его, затем продолжать действие, убирая кратные ему. 

Например, в ряду от 1 до 100 первым таким объектом будет 2. Поэтому и вычеркивать нужно значения, кратные двойке, то есть те, которые делятся на нее. 

По окончании из оставшихся выбрать новое простое, искать кратные ему и также убирать. Повторять, пока это представляется возможным. 

В итоге, все составные окажутся зачеркнутыми.

Эратосфен использовал свое открытие следующим образом. Он брал папирус, записывал на нем необходимые значения, при отборе прокалывал неподходящие острым предметом (отсюда название «решето Эратосфена»). Поэтому они как будто просеивались через сито, и в списке оставались видимыми только необходимые.

Некоторые свойства простых чисел

Выделяют свойства, объединенные в теоремы, постулаты. Многие являются основой математических правил, используемых в настоящее время. 

Изучением занимается теория чисел, при использовании формул простые числа обозначаются буквой n.

Известны следующие правила:

1. Если рассматривать два простых числа (n), одно из которых делится на другое, то можно утверждать, что они равны.

2. Все являются нечетными, за исключением двойки.

3. Можно выделить пары, разница между которым равна 2. При их сложении получается значение, кратное трем. Их так и называют парными или близнецами. Исключение составляют две первые цифры в ряду, 3 и 5, так как сумму, полученную при их сложении, нельзя разделить на 3.

4. Для каждого натурального значения (N), большего единицы, существует n, превышающее его. При этом удвоенное натуральное будет больше n.

5. Если одно из двух N делится на n, то их произведение также будет делиться на него.

6. Любое N, за исключением единицы, можно отнести к n или представить в виде их произведения.

7. Если взять составное число и разложить его на множители n, то среди них окажется один, квадрат которого будет меньше первоначального составного.

8. Некоторые n имеют пары, которые можно найти, перевернув n наоборот. Например, 13 и 31, 37 и 73. То же самое касается трехзначных n: 107 и 701, 709 и 907.

9. Если N возвести в степень, представленную n, а затем вычесть N, то полученное значение будет делиться на используемое n. Это правило представляет собой малую теорему Ферма.

Действия с простыми числами

Можно использовать разные арифметические действия, складывать, умножать, вычитать, делить. Простые числа могут являться основанием и показателем степени. 

Извлечь корень из них невозможно.

Таблица простых чисел до 1000

Таблица простых числе до 10000

Еще статьи по математике:

• Дружественные числа