Точки разрыва функции - алгоритмы и примеры решения

Общие сведения

Функцией называется зависимость одной переменной от другой. Если записать ее в виде равенства w = f (p), то величина «w» зависит от «р». Первая называется значением функциональной зависимости, а вторая — ее аргументом. Последний может принимать любые значения, кроме превращающих «w» в пустое множество. Примером является выражение w = [(p — 2)(p + 7)] / (p ² — 1). При значениях р1 = -1 и р2 = 1 получается пустое множество, поскольку на нуль делить нельзя.

Когда математики говорят, что нужно произвести исследование функции на непрерывность, т. е. необходимо найти точки разрыва первого и второго рода. Если же таковых нет, то данное утверждение следует доказать математическим методом.

Непрерывной называется функция, которая не имеет точек разрыва, и меняется без существенных скачков в некоторых точках или промежутках, т. е. обладает определенным знакопостоянством. Это свойство определяется при помощи метода, представляющего совокупность математических преобразований. Последние основываются на теоремах. Они позволяют доказать существование или отсутствие точек и интервалов разрыва графика функции.

Базовые знания

Базовые знания — совокупность навыков, необходимых для решения какой-либо задачи. Для нахождения точек разрыва необходимы такие знания:

• Область определения — D.
• Решение уравнений.
• Нахождение пределов при известных значениях левосторонней и правосторонней границ.
• Классификация точек разрыва.

Когда список сформирован, тогда необходимо приступать к изучению материала. После полного понимания первого пункта необходимо переходить к последующему. Все пять элементов связаны между собой. Специалисты рекомендуют не заучивать наизусть понятия и термины, а понимать их.

Область определения

Областью определения некоторой функции w = f (p) называется интервал или числовой промежуток всех значений аргумента «р», при которых существует эта функция. Величину следует обозначать литерой «D». Конечная запись для вышеописанного тождества имеет такой вид: D (w) или D (f (р)).

Следует отметить, что D (w) зависит от ее вида. В алгебре бывают только простые и составные. К первым нужно отнести следующие подтипы:

• Алгебраические: рациональные (целые и дробные) и иррациональные (знак радикала).
• Тригонометрические (sin, cos, tg, ctg и производные от них).
• Трансцендентные (степенные, показательные и логарифмические).

К рациональным равенствам целого типа относятся любые выражения без корней, степеней, дробей, логарифмов, а также тождества, не содержащие каких-либо тригонометрических функций. В этом случае D соответствует всему интервалу действительных, которые обозначаются литерой «Z».

Для дробных D (w) зависит от знаменателя. В этом случае нужно решить уравнение, приравняв знаменатель к нулю. Например, чтобы найти D у функции вида w = [(p — 2)(p + 7)] / (p ² — 1), нужно приравнять знаменатель дроби к 0.

Когда выражение является иррациональным, тогда нужно обратить внимание на степень корня и подкоренное выражение. Если степень четная, то выражение не должно быть отрицательным числом. Функция действительна для всех Z, кроме тех, которые превращают выражение под корнем в пустое множество. Например, для w = (p — 2) / [(p ² — 1)]^(½) нужно решить неравенство (p ² — 1) > 0. Интервалы, которым соответствует решение, можно записать в таком виде: (-бесконечность;-1) U (1;бесконечность). Бесконечность можно еще обозначать «inf».

Выражение под натуральным логарифмом должно быть всегда больше 0. В этом случае решается также неравенство, состоящее из тождества, находящегося под его знаком. Интервал для косинуса и синуса — все Z. Однако для tg (x) рекомендуется исключить значения аргумента (Pi / 2) + Pi * k, а для и ctg (x) — Pi * k (к принадлежит множеству Z).

Решение уравнений

Уравнения бывают нескольких видов: линейными, квадратными, кубическими и биквадратными. Первые являются самыми простыми, и решаются при помощи такой методики:

• Выполнение математических преобразований, упрощающих выражение.
• Перенос неизвестных в одну, а известных — в другую часть.
• Определение неизвестной.

К квадратным относятся равенства вида ap ² + bp + c = 0. Математики их классифицируют на неполные и полные. К первым относятся только равенства, которые не содержат второй или третий член. Квадрат при первом коэффициенте должен быть всегда. Существует 4 метода решения:

• Если а = 1, то решается по теореме Виета.
• Использование дискриминанта.
• Разложение на множители.
• Построение графика.
• Использование программного обеспечения.

В первом случае нахождение корней осуществляется с помощью двух формул: р1 + р2 = -b и р1 * р2 = с. Однако при а > 1 нужно воспользоваться формулой для расчета некоторого вспомогательного параметра. Он называется дискриминантом (D). Для решения уравнения по второй методике рекомендуется применять такой алгоритм:

• Рассчитать D по формуле: D = b ² — 4ac.

• D > 0 (два корня): р1 = [(-b) + (D)^(½)] / (2 * а) и р2 = [(-b) — (D)^(½)] / (2 * а).
• D = 0: р = (-b) / (2 * а).
• D < 0: уравнение не имеет решений.
• Подставить значения корней в исходное выражение (должно получиться тождество 0 = 0). Это свидетельствует об их соответствии условию. Если по какой-то причине тождество недействительно, то следует повторить решение еще раз или корень является ложным.

При с = 0 применяется методика разложения на множители. Нужно вынести р за скобку: р * (ар + b) = 0. В этом случае будут получены два линейных уравнения: р1 = 0 и а * р2 + b = 0.

Графический метод — построение графика параболы. Точки пересечения с осью ОХ и будут корнями уравнения. Можно также воспользоваться дополнительным программным обеспечением — онлайн-калькулятором. Этот метод позволит существенно сэкономить время решения задачи, и избежать ошибок. Однако им специалисты рекомендуют пользоваться только для проверки результата.

Решение кубических и биквадратных уравнений осуществляется при помощи введения замены переменной на другую. В этом случае происходит простое понижение степени до квадрата. Затем решается квадратное уравнение, а его корни подставляются в выражение замены.

Нахождение пределов

Нахождение предела функции — основа математического анализа. В некоторых источниках описаны разнообразные формулы и теоремы. Предел состоит из трех элементов:

• Знака «lim».
• Запись «t->a», которая означает, что аргумент «t» стремится к некоторой величине «а».
• Функция.

Для примера следует рассмотреть функцию w = [(t — 2)(t + 7)] / (t ² — 1). Ее предел записывается в таком виде: lim [((t — 2)(t + 7)) / (t ² — 1)] | (t -> 2). Читается запись следующим образом: предел функции w = [(t — 2)(t + 7)] / (t ² — 1) с аргументом t, значение которого стремится к 2. Данный предел является простым, и решение сводится к подстановке аргумента в функцию: lim [((t — 2)(t + 7)) / (t ² — 1)] | (t -> 2) = [((2 — 2)(2 + 7)) / (2 ² — 1)] = 0.

Существует еще один тип пределов, в которых необходимо делить на 0 или бесконечность (inf). Найти решение очень просто: lim [((t — 2)(t + 7)) / (t ² — 1)] | (p -> 1) = бесконечность и lim [7 / (t ² — 1)] | (t -> +inf) = lim [7 / бесконечность] | (t -> +inf) = 0.

Более сложные пределы не решаются первым способом (подстановкой). Если ее произвести, то может получиться соотношение inf/inf. В этом случае нужно разделить числитель и знаменатель на старшую степень, а затем выполнить подстановку. Процедуру можно выполнять неограниченное количество раз до получения необходимого результата. Для нахождения значения предела lim [((t — 2)(t + 7)) / (t ² — 1)] | (t -> +inf) нужно воспользоваться таким алгоритмом:

1. Раскрыть скобки в числителе: (t — 2)(t + 7) = t ² + 7t — 2t — 14 = t ² + 5t — 14.
2. Разделить числитель и знаменатель на t ² : lim [(t ² / t ² + 5t / t ² — 14 / t ² ) / (t ² / t ² — 1 / t ² )] | (t -> +inf) = lim [(1 + 5/t — 14 / t ² ) / (1 — 1 / t ² )] | (t -> +inf).
3. Подставить значение переменной: lim [(1 + 5/t — 14 / t ² ) / (1 — 1 / t ² )] | (t -> +inf) = (1 + 0 — 0) / (1 — 0) = 1/1 = 1.

При «0/0» рекомендуется упростить числитель и знаменатель. Например, следует вычислить lim [(2t ² — 3t — 5) / (t + 1)] | (t -> -1). Для упрощения числителя нужно решить уравнение 2t ² — 3t — 5 = 0. Следует воспользоваться вышеописанным алгоритмом:

1. D = (-3)^2 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0.
2. Корни: t1 = -1 и t2 = 5/2.

Следовательно, 2t ² — 3t — 5 = (t + 1) * (2t — 5). После разложения нужно вычислить предел: lim [((t + 1) * (2t — 5)) / (t + 1)] | (t -> -1) = lim [2t — 5] | (t -> -1) = [2* (-1) — 5] = -2 — 5 = -7. Уравнения могут объединяться в системы.

Виды разрывов

Чтобы исследовать функцию на непрерывность, нужно уметь определять характер разрыва. Он классифицируется следующим образом: первого и второго рода. Первые бывают двух типов: устранимые и неустранимые.

Разрыв I рода существует в том случае, когда оба предела (левосторонний и правосторонний) являются конечными, т. е. не равны inf. Когда оба предела равны, то это точка устранимого разрыва. В противном случае (при неравенстве односторонних пределов) — разрыв является неустранимым, и называется «скачком».

Возможен вариант, когда один из пределов эквивалентен бесконечности. В этом случае говорят, что это разрыв II рода. Запись левого и правого пределов имеет такой вид: p -> -5 — 0 и p -> -5 + 0 соответственно.

Решения задач

После получения базовых знаний необходимо разобрать примеры решения. Точки разрыва функции следует искать по следующему алгоритму:

1. Вычисление пределов.
2. Сравнение.
3. Выводы.

Однако для начала нужно найти область определения, которая играет важную роль в решении. Если она является множеством всех действительных чисел, то искать разрыв не имеет смысла. Он не существует. Если указанная функция содержит неизвестную, которая может превратить ее значение в неопределенность, то нужно вычислить правосторонний и левосторонний пределы (пункт 1). После этого их нужно сравнить, и сделать выводы о принадлежности точки к какому-нибудь виду.

Простые варианты

Нужно исследовать функцию w = (r ² — 1) / (r — 2) на непрерывность или доказать, что она разрывная. Область определения D (w) = (-inf;2) U (2;+inf). Существует некоторый разрыв в точке r = 2. Для классификации его характера необходимо найти пределы:

1. lim [(r ² — 1) / (r — 2)] | (r -> 2 — 0) = lim [((2 — 0)^2 — 1) / (2 — 0 — 2)] | (r -> 2 — 0) = 3 / -0 = -inf.
2. lim [(r ² — 1) / (r — 2)] | (r -> 2 + 0) = 3 / 0 = inf.

Из полученных вычислений можно сделать вывод, что r = 2 является разрывом II рода. Это были простые задачи. Однако существуют более сложные, в которых нужно выполнять математические преобразования.

Сложное задание

Дано некоторое выражение: (2s ² — 98) / (4s ² — 8s — 16). Необходимо представить его в виде функции, и доказать существование типа разрыва в пространстве. Для доказательства нужно сначала решить уравнение в знаменателе:

• Вынести общий множитель, и сократить его (должен быть числом): 4 (s ² — 2s — 4) = s ² — 2s — 4 = 0.
• Найти D: D = 4 — 4 * (-4) = 20.
• Корни: s1 = (-2 — 2 * 5^(½)) / 2 = -1 — 5^(½) и s2 = 5^(½) — 1.

Это свидетельствует о том, что разрыв есть. Далее нужно определить его характер по такому алгоритму:

1. lim [(2s ² — 98) / (4s ² — 8s — 16)] | (s -> 5^(½) — 1 — 0) = 2 * lim [(s ² / s ² — 49 / s ² ) / (2s ² / s ² — 4s / s ² — 8 / s ² )] | (s -> 5^(½) — 1 — 0) = (- 11,25) / [(2 — 4 / (5^(½) — 1 — 0) — 2].
2. Если выполнить такой же расчет для правосторонней границы, то ее значение будет соответствовать левосторонней.

Выполнять вычисления для двух точек необязательно, поскольку пределы будут равны и в этом случае. Следовательно, это устранимый разрыв I рода.

Таким образом, для нахождения разрывов необходимо знать некоторые особенности и методику, позволяющую правильно классифицировать их характер.