Математические основы информатики для учеников 8 класса

Общие сведения

Изучение любой дисциплины начинается с теории, и информатика не является исключением. Математические основы информатики в 8 классе по учебнику М. И. Босова изучаются подробно. К ним относятся направления:

1. Математическая логика.
2. Вычислительная физико-математическая дисциплина (вычислительная алгебра).
3. Кодирование информации и перевод из одной системы счисления в другую.
4. Основы теории моделирования.
5. Методика принятия решений.

Чтобы раскрыть суть дисциплины, требуется подробно разобрать все компоненты, входящие в ее состав. На основании полученных знаний специалисты рекомендуют составить кроссворд "математические основы информатики" для повышения интереса учащихся к предмету.

Математическая логика

Математическая логика — раздел математической информатики, который занимается изучением построения различных логических элементов, входящих в состав устройств любой компьютерной техники. У компонента существует и другое название — булева алгебра. Ее основы должен знать каждый, поскольку она применяется для построения различных алгоритмов и логических конструкций.

У математической логики существуют инструменты, которые изучаются отдельно, как самостоятельные дисциплины. К ним относятся:

1. Теоретические основы алгоритмов.
2. Системы параллельных вычислений.
3. Теоретические основы автоматики.

Первая изучает различные методы построения алгоритмов. Она применяется для быстрого решения задач с начальными условиями. Вторая подробно рассматривает принципы построения различных систем, существенно оптимизирующих вычислительный процесс. На базе этого создаются новые многозадачные операционные системы, программные продукты для обработки изображений, видео и игровые платформы, оказывающие значительную нагрузку на микропроцессор, сопроцессор и видеокарту.

Последняя дисциплина применяется для автоматизации расчетов и обработки информации, изучения новых направлений в компьютерной индустрии. Она используется для создания высокопроизводительных компьютеров и портативных вычислительных устройств (планшетов и телефонов).

Вычислительная алгебра

Вычислительная математика (алгебра) — дисциплина, состоящая из алгоритмов и программного обеспечения для решения различных задач на персональном компьютере. Она описывает все процессы, на основании которых строятся различные модели, используемые в игровой индустрии.

Дисциплина используется для инженерных и научных расчетов. Это база прикладных естественных наук, т. е. вычислительная физика, химия, биология. Идеология возникновения вычислительной математики возникла еще в Месопотамии. Она использовалась для определения корня квадратного уравнения и анализа траектории небесных тел.

Затем появились таблицы, позволяющие вычислять некоторые функции с точностью до 16 знаков после запятой, логарифмическая линейка, арифмометры. Позднее в XX веке был изобретен компьютер. С его помощью можно было выполнять множество вычислений. Для этой цели возникла необходимость написания программного обеспечения для ведения расчетов.

Отличие вычислительной математики от обычной заключается в системах счисления. Машины используют двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Это связано с первыми компьютерами, в которых кодирование информации происходило посредством индукции катушек (есть индуктивность — 1, нет — 0). Единицей измерения информации является бит. Последовательность из 8 последних называется байтом.

Позднее с изобретением полупроводниковых транзисторов размеры электронно-вычислительных машин (ЭВМ) заметно уменьшились. В современных компьютерах применяются интегральные микросхемы. Последние состоят из множества транзисторов, нанесенных методом напыления под микроскопом. Подробнее можно прочитать в руководстве по интегральным микросхемам, в различных справочниках по цифровым логическим элементам и т. д.

Кодирование данных

Методы кодирования данных на компьютере изучает дисциплина, которая называется математической основой информации. Средства вычислительной техники не работают напрямую с десятичной системой счисления. Для начала необходимо рассмотреть классификацию СИ:

1. Десятичная.
2. Двоичная.
3. Восьмеричная.
4. Шестнадцатеричная.

Первая применяется в повседневной жизни. Она состоит из множества действительных чисел, которое обозначается литерой "R". К нему принадлежат целые и дробные значения. Обозначается в информатике число в десятичной системе следующим образом: [23]{10}.

Вторая, третья и четвертая применяются в вычислительной технике для кодирования информации. Во вторичной существует только 2 значения: 0 или 1. Величина записывается следующим образом: [0001011001]{2}. Следует отметить, что иногда запись "{2}" можно опускать, поскольку восьмеричная и шестнадцатеричная записывается совершенно другим способом.

В восьмеричной всего 8 цифр, т. е. от 0 до 7. Для представления величины в этой форме нужно десятичное число перевести в двоичное, а затем, воспользовавшись определенной методикой, конвертировать в искомое значение.

Иначе обстоят дела с шестнадцатеричной системой счисления. Она состоит из цифр от 0 до 9, а также литер, обозначающих определенное число, т. е. A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 и F=15. Однако для получения искомого значения требуется также определенная методика.

Работа с двоичной

Существуют определенные методики прямой и обратной конвертации. Из двоичной в десятичную она осуществляется по такой методике:

1. Записывается число: 000101111.
2. Читается справа налево.
3. Расписываются и складываются степени: 0000111101=2^0+0^1+2^2+2^3+2^4+2^5+0^6+0^7+0^8+0^9=1+4+8+16+32=[61]{10}.

Алгоритм выполнения обратной операции является довольно сложным. Он заключается в подборе величин. Например, необходимо перевести 61 в двоичную систему. Для этого требуется следовать следующей методике:

1. Написать исходное число 61.
2. Разделить его на 2, указав остаток: 61/2 (1).
3. 30/2 (0).
4. 15/2 (1).
5. 7/2 (1).
6. 3/2 (1).
7. (1), т. к. число является нечетным.
8. Результат записывается слева направо: 111101.

Выполнить конвертацию можно и другим методом. Он состоит из следующих шагов:

1. Записать значение: 61.
2. Подобрать максимальное значение: 2^6=64>61 (не подходит, поскольку не должно превышать исходную величину). Взять 2^5=32<61.
3. Вычислить следующее число: 61-32=29.
4. Следующее максимальное число: 2^4=16<29.
5. Разность: 29-16=13.
6. 2^3=8: 13-8=5.
7. 2^2=4: 5-4=1.
8. 2^1: нет, т. к. остаток 1.
9. 2^0=1.
10. Ответ: 111101.

Для решения можно использовать специальные сервисы. Однако специалисты рекомендуют их применять только для проверки результата, поскольку на начальных этапах обучения нужно понять сам принцип и алгоритм конвертации.

Действия с восьмеричной

Для конвертации значения десятичной формы в восьмеричную нужно воспользоваться предыдущим алгоритмом, а затем разбить величину на триады:

1. Перевести значение из десятичной в двоичную форму: 1111101.
2. Разбить на триады, начиная с единиц: {111} {101}.
3. Перевести триады: 111=2^0+2^1+2^2=1+2+4=7 и 101=2^0+2^2=4+1=5.
4. Результат: 75{8}.

При несоответствии количества разрядов можно добавлять нули, т. е. 1000111000={001}{000}{111}{000}=1070{8}. Алгоритм обратного перевода строится на разложении каждого элемента в триады. Реализуется он таким образом:

1. Записывается число: 7207{8}.
2. Представляется каждый элемент в виде триад, т. е. {111}{010}{000}{111}.
3. Искомый результат эквивалентен величине в двоичной форме: 111010000111.

При помощи восьмеричной записи кодируются некоторые сообщения, каналы связи, информация о клиенте.

Конвертация в шестнадцатеричную

Операция преобразования в шестнадцатеричную похожа на предыдущую (восьмеричную), но разряды собираются не в триады, а по 4 элемента. Кроме того, вводятся обозначения A, B, C, D, E и F. Для операции применяется определенный алгоритм:

1. Перевести в двоичный код: 111010011101111.
2. Распределить по 4 элемента: {0111}{0100}{1110}{1111}.
3. Записать результат: {0111}=7, {0100}=4, {1110}=14=E и {1111}=15=F.
4. Ответ: 74EF.

Обратная операция выполняется также по определенной методике:

1. Написать число: 74EF.
2. Расписать каждый элемент отдельно: 7={0111}, 4={0100}, E={1110} и F={1111}.
3. Записать результат, убрав фигурные скобки: 111010011101111.

На основании шестнадцатеричной системы Клод Шеннон придумал алгоритм шифрования — md5-хеш и получил за это премию Тьюринга. Позднее С. И. Ларичев предложил использовать для повышения безопасности пароля проверочное слово. Последнее шифруется вместе с паролем.

В результате этого взломать последний очень проблематично. Например, пароль - 12546, а контрольное слово — людоед. При их комбинации генерируется пароль, который записывается в базу данных сервера. Если обобщить процедуру шифрования, получить доступ невозможно.

Теория моделирования

Моделирование — направление в математической информатике, которое изучает модели различных объектов и использует формулы для их описания. При этом модель стремятся приблизить к оригиналу по функциональным возможностям. История возникновения направления связана с Месопотамией, где были предприняты попытки создать идеальную модель для решения квадратных уравнений.

Моделирование делится на 2 основных направления. К ним можно отнести следующие:

1. Имитационное. Происходит изучение и моделирование физических процессов. Далее происходит запись в математическом виде. Этот прием получил широкое применение в области игровой индустрии.
2. Массовое обслуживание. Моделируются системы передачи и обработки больших объемов информации. Этот прием используется при изготовлении прототипов новых моделей микропроцессоров, спецпроцессов и других узлов вычислительных устройств.

Проектирование модели должно состоять из информативных блоков, т. е. подробного описания процессов или явлений. Разработчик должен уметь обобщать весь материал, используя статистику, формулы, теорию вероятности и физико-математические законы.

Методика принятия решений

Теория принятия решений — важнейшая дисциплина, используемая при проектировании различных логических устройств. Она включает в свой состав:

1. Исследование операций.
2. Теория игр.

В первом случае происходит подробный анализ на наличие ошибок, а также дополнения алгоритмов и методик, позволяющих получать правильные решения определенного класса задач. Теория игр изучает варианты поведения персонажей и окружающего игрового мира.

Огромный вклад в математическое описание теории игр сделал Д. Нэш. Премия в области экономики и постоянное стремление к самосовершенствованию позволили математику основать первоначальные постулаты анализа стратегии создания игровых платформ.

Таким образом, основы информатики состоят из ряда направлений, которые будут полезны для начинающего разработчика программного обеспечения любой сложности.