Общие сведения

Система счисления — метод символьного типа для записи чисел с помощью определенных знаков. Последние записываются посредством чисел и цифр. Однако не все понимают логического смысла последних терминов. Числом называется некоторая абстрактное значение, характеризующее количественные характеристики какой-либо величины, явления или процесса. Цифра является знаком, который необходим для записи числа.

Цифры бывают 2 видов: арабскими и римскими. Первые являются самыми распространенными. Они представлены знаковым интервалом от 0 до 9. Чисел больше, и поэтому используется набор цифр. Для этого и были придуманы системы исчисления. Они делятся на четыре группы:

1. Позиционные.
2. Непозиционные.
3. Смешанные.
4. Унарные.

К первой группе относятся все разрядные системы, в которых положение и порядок знака играет важную роль. От этого зависит значение величины. Если изменить положение цифр, то число изменится.

Во втором случае простым примером является массив данных с параметром «ключ — значение». Например, массив ассоциативного типа состоит из 3 элементов: 'login' -> 'Ivan10', 'pass' -> '12345' и 'name' -> 'Иван'. В этом случае данные можно менять местами, поскольку логика сохранится.

Смешанной является система, в которой присутствуют данные позиционной и непозиционной групп.Простой пример — деньги. Существуют два типа денежных знаков: монеты и купюры. Например, техника стоит 5250 рублей 50 копеек.

Для получения данной суммы следует использовать некоторое количество купюр и монет: 5250,50 = (5000 + 200 + 50) рублей + 50 копеек.

Унарной называется единичная система с одной цифрой. Последняя может быть представлена в виде 1, черты, креста и любого целого значения. Иными словами, каждый знак соответствует 1. Например, запись «1111111» эквивалентна «|||||||". Если расшифровать ее, то получится число 7. В книге Даниэля Дефо «Робинзон Крузо» герой применял данную систему для подсчета дней, проведенных на острове. Детей обучают математике на начальном уровне с помощью счетных палочек. Если вспомнить историю, то древние люди тоже пользовались унарным счислением.

Позиционные системы в программировании

Наиболее востребованными в IT-сфере являются двоичный и шестнадцатеричный коды. Они применяются для перевода десятичной системы счисления, которая понятна человеку, в машинный язык. Двоичная состоит из двух переменных, которые принимают единичное (1) или нулевое (0) значения. Это очень просто реализовать в электронике и микросхемотехнике.

Микропроцессор персонального компьютера является микросхемой. Она состоит из множества транзисторов, способных кодировать 0 и 1. Схему соединения полупроводниковых приборов составляют так, чтобы они имели два состояния (открыт и закрыт). Кроме того, реализация двоичной системы может быть выполнена в любом устройстве, которое потребляет электрический ток. Наличие кодируется как 1, а отсутствие — 0.

Берутся также некоторые физические процессы: наличие света, сопротивления, намагниченности и так далее. С системой можно связать разные величины, которые имеют два состояния. Новичкам рекомендуется сначала полностью освоить перевод из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. После этого следует приступить к изучению шестнадцатеричного кода, расшифровка которого существенно отличается.

Работа с двоичным кодом

Выполнять манипуляции с двоичным кодом достаточно просто. Для этого следует знать основные правила и методы конвертации десятичной системы в двоичную.

Для преобразования IT-специалисты предлагают 3 метода:

• деление с отсечением остатка;
• представление в виде степеней двойки;
• автоматизированный.

Первый и второй способы используются на первоначальных этапах знакомства с системами. Они считаются ресурсоемкими, поскольку отнимают время. Последний реализуется с помощью специальных программ, поддерживающих конвертацию из одной системы в другую. Этим методом пользуются все программисты. В различных операционных системах есть приложения, работающие в таком режиме (например, калькулятор Windows).

Однако нужно подробнее разобрать первые два метода, поскольку задачи на конвертацию могут быть на экзаменах или контрольных.

Деление с отсечением остатка

Начинающему программисту необходимо обязательно знать алгоритм преобразования, и уметь применять его на практике. К

роме того, на экзаменах по дисциплинам с IT-уклоном может быть задача, в которой следует выполнить конвертацию из одной системы счисления в другую.

Перевод числа из десятичной в двоичную осуществляется по такому алгоритму:

1. Записать число в десятичной форме и определить его четность.
2. Воспользоваться правилом: для четных — 0, а для нечетных — 1.
3. Выполнить деление на 2, записывая 0 или 1.
4. Операцию осуществлять до последнего четного или нечетного числа.
5. Записать результат.
6. Проверить 5 шаг при помощи калькулятора.

Для наглядного примера стоит применить алгоритм на практике.

Для перевода числа 13 нужно выполнить следующие шаги:

1. Число 13 является нечетным.
2. Первый элемент: 13 / 2 = 6 (остаток равен 1).
3. Второй: 6 / 2 = 3 (0).
4. Третий: 3 / 2 = 1 (1).
5. Четвертый: остаток 1.
6. Результат: [1011]{2}.
7. При проверке результаты совпадают.

Нужно обратить внимание на форму записи в 6 пункте.

Таким способом правильно записывается число в системах счисления.

Можно применять также вместо {2} нижний индекс, указывающий искомую систему.

Последний пункт нужно выполнять постоянно, поскольку это поможет избежать проблем при расчетах.

Если ничего нет под рукой, то можно произвести возведение в степень. Это делается следующим образом: [1011]{2} = 2 ³ + 0 + 2 ¹ + 2 ⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = [13]{10}.

Степенной метод

Для реализации этого метода необходимо воспользоваться таблицей степеней двойки (табл. 1). Ее можно составить самостоятельно или скачать из интернета. Суть метода сводится также к вычислениям и подборам значений.

Таблица 1. Степень двойки до 6 и ее значения.

Специалисты рекомендуют воспользоваться обыкновенным калькулятором, который разрешен на экзаменах или тестах. Кроме того, следует составить таблицу, поскольку это оптимизирует процесс вычислений. Для конвертации есть специальный алгоритм:

1. Записать число.
2. Определить интервал, в который оно входит.
3. Найти максимальное значение степени, которое должно быть меньше искомого числа.
4. Записать 1.
5. Вычесть от числа в первом пункте значение, полученное в пункте 3.
6. Повторить процедуру 5 шага до получения минимального значения.
7. Записать число в двоичной системе.
8. Выполнить проверку.

Для проверки рекомендуется воспользоваться специальным калькулятором или выполнить сложение всех значений степеней. Для примера можно рассмотреть конвертацию числа 118 в двоичный код. Операция выполняется таким образом:

1. Число 118 превышает значение, указанное в таблице 1. Следовательно, ее нужно расширить, добавив 2 ⁷ = 128.
2. Для искомого числа выполняется неравенство 2 ⁶ < 118 < 2 ⁷ . Нужно брать величину 2 ⁶ = 64.
3. Первая цифра двоичного кода: 1. Остаток: 118 — 64 = 54.
4. Вторая: 1. Остаток: 54 — 2 ⁵ = 54 — 32 = 22.
5. Третья: 1 (22 — 2 ⁴ = 22 — 16 = 6).
6. Четвертая: 0, поскольку 6 < 2 ³ . Следовательно, берется другая степень.
7. Пятая: 1 (6 — 2 ² = 6 — 4 = 2).
8. Шестая: 1 (2 — 2 ¹ = 0).
9. Седьмая: 0, поскольку остаток равен 0.
10. Запись в двоичном коде: [1110110]{2}.

Чтобы проверить в ручном режиме, нужно произвести обратные вычисления: 2 ⁶ + 2 ⁵ + 2 ⁴ + 0 + 2 ² + 2 ¹ + 0 = [118]{10}.

Шестнадцатеричный формат

Осуществить конвертацию из десятичного в шестнадцатеричный код (HEX — hexadecimal) можно только с использованием программ. Ручной метод основан на двойной конвертации. Для его реализации нужно перевести число, записанное в десятичной системе, в двоичный код, а затем в шестнадцатеричный.

Основанием является целочисленное значение, равное 16. Система состоит из арабских цифр от 0 до 9, а также букв, обозначающих конкретные значения: А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14 и F = 15. В автоматизированном режиме можно воспользоваться переводчиком шестнадцатеричного кода.

Необходимо отметить, что HEX применяется также в низкоуровневом программировании. Выбор этой системы счисления основан на решении в компьютерной технике применять такую единицу информации, как байт (состоит из 8 битов). Его удобно записывать двумя HEX-цифрами (от 0 до 255, т. е. #00 до #FF). Кроме того, шестнадцатеричный код в текст также конвертируется. Примером этому является кодировка Юникод, в которой для записи символа применяются четыре HEX-цифры. Цвет RGB-формата графического изображения также записывается с его помощью.

Способы записи

Существует несколько форм записи числа, представленного в HEX. Математическая форма выглядит таким образом: [DF5]{16}. Можно также найти запись, в которой вместо {16} стоит нижний индекс. Она применяется в информатике.

Запись отличается в языках программирования, поскольку у каждого из них различный синтаксис и правила написания кода. Основные формы представления HEX следующие:

• В С, С++ и похожих применяется префикс «0х».
• В Ассемблере после числа ставится латинская буква «h».
• В Pascal, Delfi, Basic используется символ «$".
• В HTML и CSS — «#".
• В Python — «0х».

Распространенная ошибка новичков заключается в том, что они неверно указывают HEX-числа. В результате компилятор языка выдает ошибку. Программисты рекомендуют основательно изучить синтаксис языка перед написанием приложений.

Алгоритм конвертации

Перевод в шестнадцатеричный код рекомендуется осуществлять с помощью специальных приложений (конвертеров кода). Если же их нет под рукой, то специалисты рекомендуют использовать специальный алгоритм:

1. Выполнить конвертацию десятичной формы записи в двоичную по любому алгоритму.
2. Распределить знаки на тетрады (по 4 штуки или четверичные группы). Если в какой-то группе их количество меньше 4, то дописывается в начале 0.
3. Записать значения для каждой тетрады.
4. Проверить результат.

Операции умножения, сложения, вычитания и деления сложны.

Они осуществляются только с помощью специальных программ или онлайн-сервисов.

Не следует путать четверичные с троичными группами, которые используются в восьмеричном коде.

Например, нужно перевести 118 в HEX-код.

Для этого следует воспользоваться описанным алгоритмом:

1. Степенной метод, описанный выше: [118]{10} = [1110110]{2}.
2. Распределение символов на тетрады (в старшем разряде нужно дописать 0): 0111 0110.
3. Первое значение: 0 + 2 ² + 2 ¹ + 2 ⁰ = 0 + 4 + 2 + 1 = [7]{16}.
4. Второе: 0 + 2 ² + 2 ¹ + 0 = [6]{16}.
5. Результат: [76]{16}.

В некоторых случаях нужно использовать буквы. Например, для перевода числа [11110111]{2} в HEX-код нужно также воспользоваться алгоритмом, разбивая его на тетрады следующим образом: 1111 0111. Первая группа равна 2 ³ + 2 ² + 2 ¹ + 2 ⁰ = [15]{10} = F{16}, а вторая — 0 + 2 ² + 2 ¹ + 2 ⁰ = 7. Результирующая запись имеет такой вид: [11110111]{2} = [F7]{16}.

Таким образом, HEX-код получил широкое применение в IT-сфере, поскольку он очень удобен для записи массивов информации. Однако для его конвертации в ручном режиме нужно изучить двоичную систему счисления, а также основные алгоритмы преобразования.