Алгебраические выражения - виды, формулы и примеры

Математические термины

Алгебра — это наука, изучающая действия над числовыми и буквенными величинами. Кроме того, она занимается решениями уравнений и связанными с ними действиями. Под буквенными величинами обычно понимают конкретные или переменные числовые значения. Входящие в состав записи буквы могут иметь различные числовые величины. Например, в формуле S * 4 + 12 символом S может быть заменена известная или неизвестная величина или даже целое выражение.

Математики под алгебраическим выражением понимают запись, составленную со смыслом, состоящую из букв и цифр, обозначающих числа. При этом она может содержать скобки и знаки арифметических действий. Исходя из этого простейшего определения можно утверждать, что формулы 2 * k — s, 4 * (y — 3/2), 0,89 * a — g * (9a + 4b), a² и (29p — 56) / log (a + c) являются примерами алгебраических выражений. Так как буквы в записях обозначают различные числа, то их считают переменными, а само уравнение — выражением с переменной.

Если же значение переменной известно и его можно подставить на место буквенного обозначения, то результат, полученный после выполнения указанных в уравнении действий, называется ответом алгебраического выражения. Но если число, подставляемое вместо буквы, приводит к бессмысленности записи, то оно считается недопустимым. Из этого можно сделать вывод, что одна и та же алгебраическая запись при различных величинах букв может иметь отличные значения.

На практике приходится сталкиваться с довольно сложными и громоздкими алгебраическими выражениями, поэтому над ними приходится выполнять ряд действий, правил, законов или использовать свойства для упрощения записи.

Кроме определений здесь применяется понятие «тождественность». Под ним понимают два выражения, для которых при любых значениях переменных, входящих в их состав, будет справедливо их равенство, например, 56* (x+с) = 56 * x + 56 * с.

Эти два выражения можно заменить друг другом или, выражаясь математическим языком, — «выполнить тождественное преобразование».

Виды выражений

В школе на уроках алгебры приходится сталкиваться с различными видами выражений. Обычно они состоят из нескольких членов. В математике существует группирование, объединяющее сходные элементы. Обучение понятиям начинают в седьмом классе с того, что приводят следующие определения:

1. Одночленом называют числа или переменные, а также степени, имеющие натуральные показатели. Таким образом, одночленами могут быть просто числа или составленные из них произведения, например, 3, 5 * x, 5b / (6 * b).
2. Многочленом считается запись, состоящая из суммы одночленов, например, 2x+4, 16b / 23 + b.

Многочлен всегда подразумевает выполнение действий. При описании понятия используют и такие термины, как коэффициент, член, степень. Во время работы с одночленами применяют тождественное их приведение к стандартному виду.

В нём выражение представляют как произведение числового множителя и натуральной степени разных переменных, например, 2 * a, −x * 3.

Выражения в алгебре могут быть следующих видов:

1. Рациональные (алгебраические) дроби. Это запись, в которой числитель и знаменатель представляют в виде многочлена. Следует понимать, что любая обыкновенная дробь будет алгебраической.
2. Целые рациональные. Математические записи, в которых не содержится деление на уравнения с переменными или выражения с отрицательной степенью.
3. Степенные. Формулы, в состав которых входит одночлен или многочлен, возводимый в степень.
4. Иррациональные с корнями. Записи уравнений, содержащие подкоренные члены.
5. Тригонометрические. К ним относят уравнения, связанные с прямыми и обратными тригонометрическими функциями.
6. Логарифмические выражения. Формулы, которые содержат логарифмы.

Все указанные виды относят к простым, но с 7 класса алгебраические выражения будут усложняться. Сложный вид записи обычно состоит из многочлена, включающего в себя извлечение корня, логарифмы и возведение в степень, например, ln (x² — 1) * tg ((x + p) / cos x). И хоть среди них попадаются перечисленные типы, их относят к общему виду.

Вычисление сложных выражений подразумевает выполнение преобразований, которые позволят проще решить задание и найти правильный ответ.

Алгебраические действия

Решая задачу, приходится выполнять те или иные преобразования. Чаще всего сложность задания определяется громоздкостью и объёмом соответствующих преобразований, поэтому в школе на уроках элементарной математики часто попадаются задачи на упрощения.

Основу всех алгебраических действий составляют три закона. Это правила, касающиеся сложения и умножения: переставное, соединительное и распределительное. Но наряду с ними применяют и формулы сокращённого умножения.

На начальном этапе обучения рекомендуется даже записать данные правила отдельно на листик и пользоваться им, пока применение законов не дойдёт до автоматизма. Вот некоторые практические рекомендации, решаться с которыми примеры будут намного легче:

1. Выполнять вычисления и преобразования нужно последовательно, шаг за шагом, на каждом этапе максимально упрощая полученный результат.
2. Важным элементом преобразований, необходимым для решения различных задач с любых разделов, является умение раскладывать на множители те или иные одночлены или многочлены. Как правило, результат достигается благодаря удачной группировке слагаемых.
3. При возможности всегда нужно использовать правило замены переменных, то есть вводить условные равенства. Переход к новым обозначениям и заменам — это нужный приём, с помощью которого решают не только различные задачи элементарной, но и высшей математики.
4. Сильно упростить выражение позволяет приведение подобных членов. Если слагаемые имеют одинаковые буквенные части, то их числовые коэффициенты прилагаются, а буквенная часть сохраняется: 9* a²b — 3 * a²b — 4a²b = (9 — 3 — 4) * a²b = 2 * a²b.
5. Используя правила распределительного закона, можно осуществить вынесение множителя за скобки и их раскрытие. В этом также помогают теоремы действий со степенями: 4ax²y + 3 * а²bxy² — 2 * abx² = ax * (4 * xy + 3 * aby² — 2 * bx²).
6. Во время преобразований нужно помнить о знаках. Так, если множитель перед скобками имеет отрицательный знак, то при их раскрытии знак изменится у всех слагаемых на противоположный.

Не стоит забывать и о такой операции, как деление многочлена. Для этого используют метод столбика. Заключается он в размещении слагаемых многочлена в порядке убывания степени переменной и разделения первого слагаемого числителя многочлена на первое слагаемое знаменателя.

Затем результат умножают на делитель и отнимают ответ от делимого.

Применение преобразований

Алгебраические выражения, показывающие, что одна величина больше другой или равна ей, называют уравнениями и равенствами. При этом их используют для составления формул, то есть для записи, выражающей зависимость между двумя или несколькими переменными. Это удобно, так как преобразования позволяют привести формулу к простому для запоминания виду.

При решении примеров важно знать все существующие методы. Какой из них применять, конкретно указать нельзя, всё зависит от личных предпочтений и опыта решения подобных заданий. Например, пусть нужно упростить сложное выражение (a³ (b — c) + b³ (c — a) + c³ (a — b)) / (a² (b — c) + b² (c — a) + c² (a — b)).

Сначала можно попробовать разложить на множители делитель и делимое. Один из вариантов преобразования числителя следующий:

a³ (b — c) + b³ (c — a) + c³ (a — b) = a³b — b³c — a³c + b³c + c³(a — b) = ab (a^{2 —} b²) = ab (a² — b²) — c (a³ — b³) + c³(a — b) = (a — b) (ab (a + b) — c (a² + ab + b²) + c³ = (a — b) (a²b — a²c + ab² — abc + c³ — cb²) = (a — b) (a² (b — c) + ab (b — c) — c (b² — c²) = (a — b) (b — c) (a² — c² + ab — cb) = (a — b) (b — c) (a — c) (a + b + c).

По аналогии раскладывая знаменатель, можно прийти к результату: (a — b) (b — c) (a — c). В итоге получится равенство (a³ (b — c) + b³ (c — a) + c³ (a — b)) / (a² (b — c) + b² (c — a) + c² (a — b)) = ((a — b) (b — c) (a — c) (a + b + c)) / ((a — b)(b — c)(a — c)) = a + b + c.

В числителе возможно выделить множитель (a — b) на том основании, что делимое равно нулю, когда a совпадает с b. Обычно в двух взаимно обратных операциях выполнение одной сложнее, чем другой. Это касается, в частности, выполнения умножения алгебраических выражений и разложения на множители или возведения в степень с извлечением корня. Например, легко увидеть, что (5 + 3 √2)² = 43 + 30 √2, но значительно труднее прочитать это равенство справа налево.

Следует помнить, что когда при решении задачи встречается выражение подкоренного вида √с + n * √k или √a + b√k, то необходимо попытаться добыть соответствующий корень. Если же это невозможно, то нужно воспользоваться подбором.

Если нужно упростить выражение √11 + 6 √ 2, то его можно представить как c + b √2. Следовательно, справедливо будет следующее равенство: 11 + 6 √2 = с² + 2b² + 2 cb √2. Поиск целых (рациональных) c и b приведёт к решению системы: a² + 2b² = 11, ab = 3.

При этом подобрать нужную пару целых легко: a = 3, b = 1, то есть можно записать равенство как √11 + 6√ 2 = 3 + √2.