Эквивалентные функции - формулы, свойства и примеры решений

Определение эквивалентных функций

Эквивалентные функции - это функции, имеющие одинаковое значение. Они могут представлять собой бесконечность малых и больших величин.

Функция может иметь такое понятие лишь при наличии предела. Следует понимать, что одна и та же функция принимает значение малой или большой до бесконечности лишь в единственной точке.

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного

Если при x₁, стремящимся к x₂, f(x)~f₁(x) и g(x)~g₁(x) существует предел:

то существует и предел:

Доказательство

Допустим, что следствие этой теоремы часто применяемое. Если мы имеем частное, являющееся результатом произведения функций:

в этом случае, при нахождении предела, можно сделать замену этих функций на эквивалентные:

при этом:

f(x) ~ f₁(x), p(x) ~ p₁(x), … , r(x) ~ r₁(x), g(x) ~ g₁(x), q(x) ~ q₁(x), … , s(x) ~ s₁(x).

Выражения равны друг другу, это значит, что при существовании одного из таких пределов, применимо существование выражения, равного первому. Соответственно, если не существует такой предел, то не может существовать и второй. 

Следует отметить, что можно делать замену как одной величины функции, так и нескольких одновременно. 

Таблица эквивалентных функций

Ниже приведена таблица равнозначных функций и формул при t → 0. В данном случае величина t может представлять собой как переменную, так и до бесконечности малую функцию t = t(x) при x → x₀: 

Эквивалентность при t → 0	Равенство при t → 0
sin t ~ t	sin t = t + 0(t)
arsin t ~ t	arsin t = t + 0(t)
tg t ~ t	tg t = t + 0(t)
artg t ~ t	artg t = t + 0(t)
1-cos t ~	1-cos t = + 0(t2)
et – 1 ~ t	et - 1 = t + 0(t)
at – 1 ~ t ln a	at – 1 = t ln a + 0(t)
ln (1 + t) ~ t	ln (1 + t) = t + 0(t)
loga (1 + t) ~	loga (1 + t) =  + 0(t)
(1 + t)b - 1 ~ bt	(1 + t)b - 1 = bt + 0(t)
sh t ~ t	sh t = t + 0(t)
arsh t ~ t	arsh t = t + 0(t)
th t ~ t	th t = t + 0(t)
arsh t ~ t	arsh t= t + 0(t)
ch t – 1 ~ t2/2	ch t – 1 ~ t2/2 + 0(t2)

Всегда ли можно сделать замену функций эквивалентными?

Свойства замены функций равносильными доступны для дробных выражений с перемножаемыми величинами и произведений, где необходимо найти предел. 

В этом случае величины в числителе или знаменателе допускается заменить равнозначными функциями. Если математическое выражение представляет собой сумму чисел, замену сделать нельзя.

Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Для сравнения рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Вычислить

Начнём решение, учитывая, что tg2x ~ 2x, sin3x ~ 3x при x → 0, тогда

Пример 2

Найти

Пусть arcsin x = t, тогда x = sin t и t → 0 при x → 0. Исходя из этого:

Значит, arcsin x ~ x при x → 0. 

Пример 3

Вычислить

Решение: если sin (15x) ~ 15x, tg (10x) ~ 10x, тогда

Для решения пределов можно использовать онлайн калькуляторы, размещенные на ресурсах в свободном доступе.